通过黎曼 - 刘维尔运营商及其Dirichlet级数的评价中的应用广义分数阶伯努利功能

抽象

在这项工作中，我们定义了一类新的使用黎曼 - 刘维尔分数次积分算伯努利类型的功能和导出这些类广义函数生成函数。然后，这些功能被用于某些Dirichlet级数推导公式。

1.简介

伯努利多项式由生成函数定义[1] 什么时候 ， 被称为伯努利数。以下属性是众所周知的： 此外，Bernoulli多项式由下面的傅立叶级数定义[2]： 伯努利多项式的各种推广已经被提出。例如，Natalini [3]给出如下的概括： 哪里是两个参数米塔格 - 莱弗勒的功能，所以，很明显， 。另一概括由Balanzario [给定4]： 哪里，并给出 。如果 对于 ，然后 是常用的 -次Bernoulli多项式。Balanzario和桑切斯[五]推导出以下生成函数在定义（五）： 哪里，并给出 ;他们用这些广义的伯努利多项式某些Dirichlet级数的推导公式。

Rahimkhani等。[6]定义分数阶伯努利功能，诸如通过改变可变获得的功能至在（3），以及应用这些函数在求解分数Fredholem-Volterra积分方程。

在本文件中，新的功能称为广义分数阶伯努利功能由的概括定义（五），将获得的生成函数的推广（6）。此外，由于傅里叶级数的推广（3），我们使用这些函数以导出公式某些狄利克雷系列最后，示出了一些例子。

2.预赛

在本节中，我们给出了它们在这项工作中用到的基本定义和分数微积分理论的性质。

定义1。订单的黎曼 - 刘维尔分数次积分 由下式定义 哪里 和是伽玛功能。

它可以直接验证 哪里 和 。

定义2。的顺序Caputo分数衍生物 由下式定义 哪里 ， 对于 和 对于 。

现在，当 ，的Caputo分数微分算子提供操作相反的黎曼-刘维分数积分算子 ;证明中可以看到[7]。

引理3。让 和在区间的连续函数 。然后， 。

现在，我们定义的拉普拉斯变换函数一个可变的 通过 如果积分收敛，并通过逆 同 ，哪里收敛的横坐标。

在适当的条件下，拉普拉斯变换Caputo分数衍生物的是（谁）给的 [7]

定义4。这两个参数米塔格 - 莱弗勒功能 推广了经典的米塔格 - 莱弗勒功能

使用定义4，我们得到的公式 哪里 ， ，和 。从上面的公式，我们有 下面分化公式定义的直接后果4 使用定义4和期限，通过长期的整合，我们到达 哪里 和 。从（18） 我们获得

它由著名的离散正交关系遵循 和式（18），其

现在，我们国家的拉普拉斯变换和米塔格 - 莱弗勒功能之间有重要关系;证明中可以看到[8]。

引理5。下式是正确的： 哪里 ， ，和 。

3.广义分数阶伯努利功能

在本节中，我们首先由黎曼 - 刘维尔分数整合运营商的方式定义一组新的分数阶伯努利功能。

定义6。让是周期1的一个周期函数，我们通过确定分数阶伯努利功能 哪里 和 。

在这种情况下， ，然后被伯努利的泛化在多项式定义（五）。例如，当 对于 ，前两个分数阶伯努利功能

定义的函数（25）满足下列性质： 这些断言后跟积分（25）和引理3， 鉴于 ，对于 。

在下面的定理，获得用于在所定义的分数阶伯努利功能的生成函数（25）。

定理7。让将周期1的周期函数假设具有在开区间连续的衍生物 。让 和可以在序列由下式定义（25）。那么对于 ，

证明。我们正式着手为[9，问题9.785]。请看下面的分数微分方程： 为一个给定函数和 运用拉普拉斯变换（29），并使用（12）， 我们获得 哪里 。然后，使用逆拉普拉斯在上面的公式变换，我们到达公式 因此，通过引理（25），并考虑到 ，我们得到 哪里是狄拉克δ函数，并 是的函数的卷积和 。现在，我们整合（33）从0到1相对于和（27）和（18） 我们获得 求解 而代中（33）我们得到我们的结果。

注意，如果我们将 和 对于 定理7，那么我们得到的生成函数的相应的统一和泛化（1）通常的伯努利多项式。如果 定理7，我们得到的生成函数（6）。

在接下来的定理，我们计算分数阶中所定义伯努利函数（25）通过两个参数米塔 - 列夫勒函数。

定理8。让是一个周期的周期函数和分段连续在开区间 。让和像定理7。那么对于 ， 哪里 和和是的傅里叶系数 。

证明。证据是通过数学归纳法 。以来是分段连续的话，我们可以考虑它的傅里叶级数 让 。然后，通过（22），（23），以及（25） 我们获得 现在，我们假设定理真正对于给定的我们将证明它是有效的 。从（25） 应用（8），（19），以及（20）和上面的公式我们得到的结果。

4.评价某些狄氏系列

对于以下的证明定理一个进行如Balanzario [10]，使用定理8和（16）。

定理9。让是周期T的复数的序列，以使得 对所有人 。让 ， ，和像定理8。假设是意料之中和 每个 并假设是IMPAR和 每个 和 。然后 哪里

定理10。假设定理的符号10。如果是IMPAR和 每个 而如果是意料之中和 每个 和 ，然后 哪里

最后，给出了一些例子。

实施例1。作为第一个例子，我们考虑是周期中的一个，使得 对于 。让 ， ， ， ， ，和 。应用定理9，我们得到 哪里是菲涅尔正弦积分由下式给出 。

实施例2。这是定理的另一个例子9。让是周期中的一个，使得 对于 。让 ， ， ， ，和 。然后

实施例3。让是周期中的一个，使得 对于 。让 ， ， ， ，和 。通过应用定理10， 我们获得 哪里是菲涅尔余弦积分和由下式定义的超几何函数

数据可用性

没有数据来支持这项研究。

利益冲突

作者宣称，有兴趣就本文发表任何冲突。