多目标优化、数值和预订的最大元素

文摘

我们描述的存在(弱)帕累托最优解经典的多目标优化问题,指的自然相关的预订和他们的有限(Richter-Peleg) multiutility表示。紧凑的设计空间的情况下适当的被认为是通过使用结果有关预订的最大元素的存在。调整的多目标优化问题的可能性,确定弱帕累托最优解的数值程序终于为特征。

1。介绍

很有名的多目标优化(见,例如,当天艳阳高照1]和Ehrgott [2)允许各种可用的选项中选择多个代理的存在(或标准),所以它代表了流行和重要工具出现在许多不同的学科。是这种情况,例如,设计工程(见,例如,Das (3]和Pietrzak [4]),投资组合选择(见,例如,Xidonas et al。5)、经济学和风险共担的(见,例如,Chateauneuf et al。6]和Barrieu Scandolo [7]),和保险理论(见,例如,Asimit et al。8])。

的多目标优化问题(拖)通常是通过制定标准的符号(不用说,这配方的多目标优化问题是等价的,“比照” ;我们使用的方法的最大为了方便): 在哪里是选择设置(或设计空间),是决策函数(在这种情况下效用函数相关)th个人(或标准), 向量值函数定义的吗 对所有 。

一个元素 是一个(弱)的帕累托最优解决问题(1),每 ,如果 对于每一个 ;然后 对每一个指标(分别为每一个 ,如果 对于每一个 ;然后 至少一个索引)。在这种情况下,点 据说是(弱)的帕累托最优或者一个(弱)有效点(拖)。通常情况下,是的一个子集和凹性限制的功能(见,例如,Ehrgott和镍(9])。在这种情况下,一个合适的scalarized问题可以考虑来确定帕累托最优解(看到当天艳阳高照13.4.5,定理和3.5.4))。此外,健壮的多目标优化已经在文献中也被认为是(见,例如,Bokrantz和弗雷德里克松10])。

应该注意的是,帕累托最优也可以考虑从一个家庭不一定总预订的一组(见,例如,d 'Aspremont和Gevers11])。

在本文中,我们的方法的多目标优化问题(1)指的是自然与这个问题相关的预订。这意味着,对于确定帕累托最优解,我们介绍了预订在定义, ,通过 确定弱帕累托最优解决方案,我们将预订在定义, ,通过 一个元素的考虑 是一个(弱)的帕累托最优解决问题(1)当且仅当 是一个最大元素预订吗( ,),分别观察函数 是一个(Richter-Peleg) multiutility表示的预订( ,)允许我们提供了各种结果关于解决多目标优化问题的存在,也在经典案例设计空间是一个紧凑的拓扑空间。我们记得的概念(有限)的multiutility表示预订被引入和研究了好12)和Evren好(13),而Richter-Peleg multiutility表示被Minguzzi介绍(14),然后研究了Alcantud et al。15]。

紧凑的设计空间的考虑允许我们使用古典与预订最大元素的存在相关的结果在紧凑的空间(见Rodriguez-Palmero和Garcia-Lapresta [16]和Bosi Zuanon [17])。我们还通过使用经典的结果解决数值问题决策理论有关潜在的最大元素的最优性(见Podinovski [18,19])。特别是,我们指的是一个经典的定理白(20.),根据每一个预订最大元素是由一个保序函数最大化(提供一个保序函数存在)。特别是,我们表明,当考虑到多目标优化问题(1)为了确定弱帕累托最优解,这个问题可以作为一个等价的一分之一新配方,每一个弱帕累托最优解是由一个目标函数最大化。

应该注意的是,结果呈现相当一般,和我们不强加任何限制都选择集 ,通常认为配合吗 ,也不实值函数通常认为是凹的文献。

2。符号和预赛

让是一个非空的设置(决定空间)和表示一个预订(例如,一个反射性的和传递二元关系) 。如果除了是反对称,那么它就是一个订单。像往常一样,表示严格的一部分的(例如,对所有 , 当且仅当 )。此外,代表了冷漠的关系(例如,对所有 , 当且仅当 和 )。我们有是一个等价关系在 。我们表示的商的订单在商集 (例如,对所有 ,当且仅当 ,在那里 是冷漠类与 )。

对于每一个 ,我们设置

给定一个收到组 ,一个点 据说是一个最大的元素 如果没有 它发生 。结果我们表示所有收到的最大元素的集合 。请观察,可以是空的。

表示由的无比的关系与预订相关在一组(例如,对所有 , 当且仅当 )。

我们回想一下,一个函数 据说是(1)等渗或增加如果 对所有 ;(2)严格的等张或保序如果是等渗,此外, 对所有 。

严格的等渗功能 也被称为Richter-Peleg表示的在经济文献(见,例如,里克特(21]和法勒[22])。

定义1。一个家庭 (一定是等渗)功能 据说是(1)一个有限multiutility表示的预订在如果对所有 , (2)一个有限Richter-Peleg multiutility表示的预订在如果是一种有限multiutility表示,除了每一个函数 是Richter-Peleg表示 。

Alcantud et al。15,评论注意到一个(有限)Richter-Peleg multiutility表示的预订在一组还描述了严格的一部分的 ,在这个意义上,为每一个 ,

定义2。考虑到多目标优化问题(1)。然后一个点 据说是(1)帕累托最优的函数 如果没有 它发生 对所有 和在同一时间 至少一个索引 ;(2)弱帕累托最优的函数 如果没有 它发生 对所有 。

定义3。所有(弱)帕累托最优的集合元素的功能 将用( ,分别)。

很明显, 对于每一个正整数 ,每个非空的集 ,和每一个功能 。

定义4。考虑到多目标优化问题(1)。然后我们介绍了预订和在定义如下 :(1) (2)

备注5。请注意,冷漠的关系和严格的部分的预订 ,以及冷漠的关系和严格的部分的预订 ,定义如下,所有 :

定义6。一个预订在一个拓扑空间 据说是(1)上层半封闭如果 是一个封闭的子集对于每一个 ;(2)上半如果 是一个开放的子集对于每一个 。

虽然它是保证预订在一个紧凑的拓扑空间 有一个最大的元素提供了吗要么是上层半封闭(见小病房。23,定理])或上半(参见[斯通定理24]),描述的最大元素的存在为预订一个紧凑的拓扑空间 提出了由Rodriguez-Palmero和Garcia-Lapresta [16]。

定义7(见Rodriguez-Palmero Garcia-Lapresta [16定义4])。一个预订在一个拓扑空间 据说是转移传递低连续如果对于每一个元素 这不是最大的元素存在一个元素 和一个邻居的这样 意味着 对所有 。

定理8(见Rodriguez-Palmero Garcia-Lapresta [16定理3])。一个预订在一个紧凑的拓扑空间 当且仅当它有一个最大的元素转移传递低连续的。

我们回想一下,一个实值函数在一个拓扑空间 据说是上半如果 是一个开放的设置 。一个受欢迎的定理保证了较高的半连续实值函数达到它的最大的一个紧凑的拓扑空间。

像往常一样,对一个实值函数在一个非空的设置 ,我们表示所有的点的集合 这样达到它的最大值(例如, )。

3所示。存在的最大元素和帕累托最优

一个有限的家庭 在一个非空的实值函数的集合产生一个预订在承认的(Richter-Peleg) multiutility表示 。很容易与这样一个预订的最大元素相关的多目标优化问题的解决方案(1)。

定理9。让一组是一个预订 。然后下面的语句:(1)如果承认一个有限multiutility表示 然后 。(2)如果承认一个有限Richter-Peleg multiutility表示 然后 。

证明。假设预订在承认一个有限(Richter-Peleg) multiutility表示 。为了显示 ,考虑对位,一个元素 。然后有一个元素 这样 ,或等价 对所有 与索引 这样 (分别 对所有 )。然后我们有不是帕累托最优(弱)。在一个非常类似的方法可以证明 ( )。因此,证据就完成了。

下列命题是一个直接后果的定义4。

命题10。考虑到多目标优化问题(1)。然后 是有限的(Richter-Peleg) multiutility表示预订吗( ,分别)。

从定理9和主张10,我们马上到达以下命题。

命题11。考虑到多目标优化问题(1)。以下条件是等价的一个点 :(我) (弱)帕累托最优的函数 。(2) 是最大的预订吗() 。

4所示。多目标优化在紧凑的空间

下面的定理提供了一个描述存在的帕累托最优解多目标优化问题(1)的选择集的紧性和适当的半连续性条件的严格的部分自然相关的预订。

定理12。考虑到多目标优化问题(1)。以下条件是等价的:(我) 非空的。(2)存在一个紧凑的拓扑在和一个上层半封闭预订在这样 。(3)存在一个紧凑的拓扑在这样是断断续续的。

证明。(我)(二)。(非空的,我们有由命题非空的11。因此,条件(2)验证了Bosi和Zuanon17,推论 ,(我)(2)]。
(2)(我)。是一个紧凑的拓扑空间上半封闭预订吗 ,有一个最大的元素从病房Jr。23,定理]。因此,也()有一个最大的元素这一事实 ( )。
(我)(3)。Alcantud [25,定理 ,(一)(b))。
因此,证据就完成了。

推论13。考虑到多目标优化问题(1),具有紧凑的拓扑 。然后非空的前提是存在一个正整数吗和一个函数 所有的实值函数 上半,验证以下条件:(我)对所有 ,意味着 对所有 和存在 这样 。

证明。由定理9和主张11我们有, 非空的提供存在上层半封闭预订吗在 这样 。让 是一个函数的显示属性。定义一个预订在通过 的预订是上层半封闭 自上半连续的吗 和 是(有限)multiutility表示 。(我)恰恰意味着条件 。因此,定理12(二)(i)、应用和推论的证明。

推论14(见Ehrgott [2定理2.19])。考虑到多目标优化问题(1),具有紧凑的拓扑和实值函数 都是断断续续的。然后非空的。

证明。这是一个特殊情况下上述推论13,当 和 。

作为一个定理的应用8,让我们最后提出一个描述存在的帕累托最优解多目标优化问题(1)在一个紧凑的空间。在情况下,是一个预订一套吗 , 是一种元素的 ,和是的一个子集 ,圣经 代表“ 对所有 ”(分别 对所有 ”)。

定理15。考虑到多目标优化问题(1),具有紧凑的拓扑 。然后非空的是当且仅当每一个元素 这不是帕累托最优存在一个元素 和一个邻居的这样, ,如果 ,然后对所有 。

5。数值和帕累托最优的表示元素

在这一段我们的数值相当一般条件下的多目标优化问题。

白色(证明了以下定理20.]。鉴于任何最大的元素相对于一个预订在一组 ,它保证一些保序功能的存在达到它的最大值 。

定理16(见白(20.定理1])。让 一组收到,假设存在一个保序函数 。如果非空的,那么对于每一个吗 存在一个有界的保序的功能 这样 。

下面的定理的推论是一个简单的结果16。

推论17。考虑到多目标优化问题(1)。以下条件是等价的一个点 :(我) 。(2)存在有界实值函数在这是预订的保序吗在这样 。

证明。不失一般性,我们可以假定函数出现在多目标优化问题(1)都是有界的。自 是有限的(Richter-Peleg) multiutility表示预订吗( ,由命题)10,这是很容易看到的功能 保序的预订吗( ,分别)。然后我们准备申请定理16。

简单的以下引理的证明是留给读者。

引理18。对于任何两个函数 和 ,如果 ,然后 。

像往常一样,如果任何非空的子集的吗 ,我们表示 的基数的 。

定理19。考虑到多目标优化问题(1)。以下条件是等价的:(我)存在一个正整数 和一个函数 满足下列条件:(一) ;(b) 对所有 。(2) 。

证明。言外之意”(我)(2)“是明确的。让我们显示,也言外之意”(2)(我)”适用。让 和 。白色(证明后20.,定理),我们可以定义,对于每一个 和 , 在哪里 是正实数。此外,定义 为 。通过这种方式,实值函数 都是保序的这样 为 。
很明显, 对所有 这 。它仍然显示 。这一目标,由引理18这就可以证明 或者同样的下列财产适用于所有元素 : 三种情况需要考虑。(1) 和 。我们为每一个 , 和 。因此,上述财产显然是验证。(2) 和 。在这种情况下存在 这样 , ,因此我们有 。另一方面,从这一事实这是矛盾的,我们存在吗 这样 。因此,房地产在这种情况下也验证。(3) 和 。很明显,我们必须有或 。在第一种情况下,很明显,属性拥有平等两岸的等价性。在第二种情况下, ,存在 这样 和 。另一方面,函数的定义暗示的存在 这样 ,因此, ,我们有 。类似地,存在 这样 ,因此, ,我们有 。这就完成了证明。

6。结论

我们方法的多目标优化问题使用自然的预订与帕累托最优的概念,分别弱帕累托最优解决方案,在某种意义上,帕累托最优和弱帕累托最优解决方案正是这些预订的最大元素。这个解释给我们使用所有的可能性定理有关预订的最大元素(尤其是在紧凑的空间)为了保证解决多目标优化问题的存在。这个重新解释允许我们国家相当一般条件下的数值结果。我们的分析并不需要任何特殊要求有关多目标优化问题中出现的功能或选择集。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。