一个新颖的方法解决非线性沃尔泰拉积分微分方程系统

文摘

介绍了一种有效的迭代法,用于解决非线性沃尔泰拉积分微分方程组的一种。该计划是基于光谱的组合搭配技术和参数迭代法。这种方法很容易实现,不需要繁琐的计算工作。给出了一些数值例子表明该方法的有效性和效率相比,相应的精确解。

1。介绍

积分微分方程组及其解决方案领域的发挥关键作用的科学,工业数学、金融数学、控制理论与工程(1- - - - - -3]。物理系统,如生物种群动态应用程序,和遗传学,自然产生的冲动或者是由控制系统建模的积分微分方程(4,5]。初值问题的非线性积分微分方程组是用来模拟肿瘤细胞和免疫系统之间的竞争6]。在[7),两个特定的非齐次积分微分方程组进行了研究以检查噪音现象。因此应用数值方法求解这些方程是有吸引力的。这导致了近年来大量的研究使用变分迭代法等数值方法(8],微分变换方法[9贝塞尔曲线方法[],10)、径向基函数网络(11),双正交的系统(12),块脉冲函数法(13),和搭配方法结合操作伯恩斯坦多项式的矩阵(14]。

参数迭代法(PIM)是一个解析近似方法,它提供了线性和非线性问题的解作为迭代的序列。事实上,PIM作为一个固定的点迭代法是一种变分迭代方法的重建。因为PIM的实现通常会导致不必要的方面的计算,在更多的时间消耗在重复计算系列解决方案,为了克服这些缺点,一个有用的改善提出了PIM (15]。

这项工作的目的是提出一个有效的算法,不需要繁琐的计算工作,基于改进的PIM和光谱搭配技术获得一个精确的解决方案下面沃尔泰拉积分微分方程组如下: 为 和 。的函数 给出了实值函数, , 内核的积分方程, 线性或非线性的函数吗 。

验证了该方法的效用,沃尔泰拉积分微分方程组的一些例子,使用既定的方法解决。结果与精确解进行比较。在所有情况下,目前的算法表现优异。

2。参数迭代法

PIM提供迅速收敛采用逐次逼近精确解的如果存在这样的一个解决方案;否则,近似可用于数值目标。转达这个方法的基本思想,我们首先考虑(1)如下: 在哪里表示辅助线性算子对 。在(2)是一个非线性连续算子对吗和源项。

接下来,我们建立一个家庭的显式迭代过程(2)[15,16] 在哪里 与初始条件 。

同时,我们可以构造一个家庭的隐性PIM (2)如下: 使用上面的初始条件。

最初的猜测,可以自由地发现从求解相应的线性方程( 或 )和下标表示迭代。的参数 表示所谓的辅助参数,可以轻松高效地识别技术提出了(15]。我们也可以自由选择辅助线性算子 ,辅助参数 ,和初始近似 ,这是基本的PIM的有效性和灵活性。因此,连续的近似 PIM的迭代关系将很容易获得辅助参数 。因此,准确的解决方案可以通过使用以下:

当最初的PIM失败时,参数的存在在(3)或(5)可以发挥重要作用在PIM的框架。然而,我们总能发现一个有效的地区策划每一个物理问题的解决方案或其衍生品与参数在一些点。一个近似最优值的收敛加速参数可以在订单确定残留误差的近似(17]:

现在,一个可以最小化(7通过实施要求) 。

3所示。描述的方法

PIM过程提供了沃尔泰拉积分微分方程组的解的迭代序列;其逐次迭代可能非常复杂,这样产生的积分迭代关系可能不能进行分析。这里,我们将克服这个缺点的PIM解决(1)提出了一种光谱搭配PIM。稍后将本文所示,新的方法将非常简单的实现和节省时间和计算。

假设 , ,是解决方案的组件还有th方程系统(1)。考虑基函数 ,多项式的学位 令人满意的 (注意,对移位的切比雪夫节点 和 ): 未知函数( )和一系列截断多项式近似。的多项式 插入的点 , ,也就是说, ,在那里 和 是向量。一阶导数的插值多项式的值的节点 , ,那里的区分矩阵的元素是 。同时积分的值定义的节点 , ,在那里沃尔泰拉积分矩阵(18,19)(更多细节观察(19])。

一般来说,为了解决系统(1)使用光谱搭配方案,插值多项式( )需要满足的方程系统内部节点。插值多项式的值在内部节点 是 ,在那里表示行 单位矩阵和导数值 。初始条件,包括插值多项式可以由使用公式 ,这个符号表示最后一行的 单位矩阵。

插值多项式来满足th沃尔泰拉积分微分方程组的微分方程(1在每个内部节点),搭配方程 应该满足。用微分和积分矩阵关系(10),我们得到

现在,鉴于(3)和的定义和 ,用微分和集成矩阵关系,我们将有以下明确PIM解决(1),被称为光谱PIM (SPIM):

如果我们定义 , , ,然后我们将有以下显式迭代关系寻找解向量 这里的向量被定义为

现在可以从最初的猜测获得的近似 。

4所示。说明性的例子

在本节中,我们给一些测试例子来证实我们的分析。检查结果的准确性,和是用来评估SPIM方法的效率。所有的计算都使用软件Matlab和执行当前迭代满足时终止 ,在那里的解向量th SPIM迭代。

例1。考虑以下沃尔泰拉积分微分方程组(20.]: 与初始条件 和 。这个系统的精确解 。

表1说明了和为不同值的错误以及迭代次数达到上述停止标准。也算1显示了该方法的绝对误差 。正如所料,指数收敛速度观测系统的非线性沃尔泰拉积分微分方程,证实了我们的理论预测。

例2。考虑以下沃尔泰拉积分微分方程组的精确解 (8]: 受到初始条件 和 。

的结果和的错误和为不同的值以及迭代次数达到停止条件表2。图2描绘了绝对误差的方法 。观察到的指数收敛速度的非线性沃尔泰拉积分微分方程组。

例3。最后,让我们考虑以下非线性沃尔泰拉积分微分方程组(20.]: 的初始条件 和 给出的是谁的精确解 和 。

的错误和迭代次数的不同的值展示在表3。其他结果呈现在图3与 类似的例子1和2。

5。结论

在本文中,我们提出了一个强大的数值方法基于切比雪夫谱的组合搭配技术和参数迭代法求解线性和非线性系统沃尔泰拉积分微分方程。该方法继承了PIM的优点,易于实现,是准确的,当应用于沃尔泰拉积分微分方程的线性和非线性系统。近似解与精确解的比较表明,本方法非常准确和方便解决沃尔泰拉积分微分方程的线性和非线性系统。

的利益冲突

穆罕默德·侯赛因·Daliri Birjandi,魔法师Saberi-Nadjafi Asghar Ghorbani宣布没有利益冲突有关的出版。

引用

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