一维水质模型的数值模拟流使用Saulyev技术与二次插值初边条件

文摘

一维advection-diffusion-reaction方程数学模型描述运输和扩散问题,如污染物和悬浮物在河流或运河。如果在放电点污染物浓度不均匀,然后介绍了数值方法和数据分析技术。在本研究中,数值模拟一维水质模型提出了一个流。非均匀的控制方程是advection-diffusion-reaction方程边界条件的功能。Saulyev近似污染物浓度得到的有限差分技术。边界条件的功能由于非均匀放电点污染物浓度是由二次插值技术。模型的近似解与解析解对比验证了。提出的数值技术工作很好给可靠和准确的解决这些类型的一些实际应用。

1。介绍

水质必须保护和维护几个使用,主要的是国内供水,能源生产,工业,农业,鱼,和野生动物。数学建模水污染测量和控制的水域已被检查。在[1),仿真过程表明水污染水平可以减少一个商定的标准提出了以最低的成本。

在[2),数学建模的运输盐度、污染物和悬浮物在浅水区,涉及运动的对流方程的数值解。提出了有限差分方法的新技术。在[3),作者还提出了一个数学建模的运输盐度、污染物和悬浮物在浅水区,涉及运动的对流方程的数值解技术flux-corrected有限差分方法的方案。它是用于解决depth-integrated运动形式的对流方程。在[4,5],平流扩散条款是由两个不同的数值方法解决。

在[6),作者使用了加权离散化方法与修改后的等效运动偏微分方程求解一维对流方程。在[7),作者介绍出一些负面的中心差分近似在邻近的细胞浓度由于海面通量大。在[8),作者提出了一个数值色散引入一个上游插值方法,即快速(上游二次插值对流运动学)一维非定常流。在[9抛物型偏微分方程,非标准的初始条件,出现在许多现象的数学模型,提出了。Saulyev明确的计划是一个经济的实现使用。这些无条件的明确的计划非常简单的程序和计算。新的显式方案开发非常有效,并且他们需要更少的CPU时间比隐式方法。显式有限差分方案很容易实现类似的高维问题。在[10),用户友好的和灵活的解决方案算法提出了运动一维对流方程的数值解(正面),和一个显式的电子表格仿真(ESS)技术是用来代替计算机代码。正面使用有限差分的数值解,或者一个小的报数量如0.05 - -0.10用于oscillation-free结果或人为扩散使用,以减少振动。为了提供对小型报数字,有必要选择一个小的时间步长和/或网格大小;然而,这增加了计算时间。而提议的ADEESS解决方案技术使用无条件稳定Saulyev计划,它给出了高度精确的结果甚至对柯朗数的值高达2 - 3。通过改变只是时间加权参数的值 ,分别为0、0.5、1,问题解决。模型结果的价值 似乎是在良好的协议与解析解。

在[11),一个更好的解决动态一维有限差分格式advection-dispersion-reaction方程(肾上腺)是专注于,以及非均匀水流的影响被认为是在一个流。有两个数学模型用来模拟污染排放污水造成的。第一个模型是一个水动力模型的数值技术。Crank-Nicolson方法用于近似的解决方案。第二个模型是一个advection-dispersion-reaction模型;介绍了显式方案。修改后的显式方案修改从均匀流流问题的两种计算方法:提出时间中央空间(ftc)和Saulyev方案分散模型。比较两种方案的稳定性方面,说明他们的适用性提供了现实世界的问题。

色散模型提供了污染物浓度场。在[12),随后修改修正方法用于分散模型。该方法是一个简单的显著改变修正方法,使其更准确的没有任何重大损失的计算效率。获得的结果表明,拟议中的修改修正方案并提高预测精度比传统的修正方法。在[13],作者提出了一个简单的修正的修正和Saulyev计划提高其准确性高沛克莱数问题,命名为Saulyev和修正方案,分别,大大提高了预测精度在原始的。他们提出了一个新的方案,保证了积极的解决方案大小任意一步。在[14),他们开发了一种数值方法近似advection-diffusion-reaction方程的解决方案在一个空间维度与恒定速度和扩散。在[15),Preissmann四点分节点隐格式用于求解一维水动力和水质模型。在[16),一个无量纲形式的二维水动力模型与广义边界条件和初始条件来描述的水波在一个开放的统一提出了水库。采用分离变量法和数学归纳法找到模型的解析解。在[17),传统的Crank-Nicolson方法还用于水动力模型。在每个步骤中,流速字段从水动力模型计算水质模型的输入。新的四阶方案和Saulyev方案同时受雇于水质模型。在[18),加上水质的水动力学模型建立了MIKE21FM软件来模拟洱海的现状。水质也由二维流体动力学模拟和水质耦合模型。简单的显式方案在计算简单的优点而不丧失更多的准确性和这些计划几个模型应用先例。确定最好的其中一个简单的方案,比较研究是必要的。

收集现场数据不适合输入一个数学模型。多种多样的数据。排放污染物浓度的时间分布和水流速是必需的。它是复杂的工作,如果我们输入到计算机实现在给定函数简单操作。本研究的目的是提出一种插值技术的所有字段数据收集诸如水污染物浓度在污水发布点和水流速沿水流。修正显示良好的协议解决方案。该技术适用于在几个现实问题,因为它是容易计划,因为坦率的实现。根据现场水质数据,数据将实现一个函数的边界条件。拉格朗日插值技术用于合成所需的边界条件。一个简单的使用Saulyev advection-diffusion-reaction数值模拟提出了方案。 The proposed numerical technique uses an unconditionally stable method. A large or small time step and/or grid size can be employed in the proposed techniques. We apply the method to two problems with different data for obtaining the right and left boundary conditions. The results of the model show that the calculated results are reliable approximations.

2。一维水质模型

2.1。的控制方程

在本节中,我们考虑到抛物型方程。描述传输和扩散过程的数学模型是一个一维advection-diffusion-reaction方程(肾上腺):

2.2。初始和边界条件

初始条件是 和边界条件 在哪里沿着溪流纵向距离,是时间,是最后一次, , ,和插值函数,而 深度的平均浓度和时间 , 水流的速度吗方向为所有 在时间 , 弥散系数,质量衰减率。

3所示。数字技术

3.1。一个显式有限差分技术

问题的解决方案域覆盖网格的网格线。网格点 被定义为 对所有 和 对所有 在这和是正整数,在哪里和坐标轴平行的空间和时间。常数时空网格间距 和 。

考虑下面的运动近似导数的对流方程结合时间权重如下(10]: 在哪里权重因子。用(4)(1),我们得到10] 为 和 ,在那里 是报数量和 沛克莱数。

尽管(5)似乎并不明确,因为和是在左边,一个合适的使用方程的显式。

因此,(5)可以被写成以下形式: 平流项,我们应用的方案 或 。因此,该计划仅限于单方向速度场,被流运输从左到右,所以Saulyev计划是适当的选择离散化平流项。在(6),这个词时的水平 , ,已经在空间点计算吗 由行进的方向增加 。这个方案是一个显式有限差分法。在这种情况下,只有一个值, ,将未知。这个方案被称为Saulyev公式和它的主要优势是,它是无条件稳定的和明确的10]。

3.2。迭代法的初始和边界条件

插值

定理1(维尔斯特拉斯逼近定理,19])。假设定义和持续 为每一个 存在一个多项式 ,的财产 ,尽管在

泰勒多项式尽可能同意一个给定的函数在一个特定的点,但他们集中精度接近这一点。一个好的插值多项式需要提供一个相对准确的近似在整个区间,和泰勒多项式一般不这么做。泰勒多项式是(19] 泰勒多项式,用于近似的所有信息都集中在单个数字 ,所以这些多项式通常会让我们远离不准确的近似 。这限制了泰勒多项式近似的情况需要哪些近似只在数字接近 。对于普通计算的目的,更有效的使用方法,包括信息在不同的点。的主要使用泰勒多项式近似的数值分析不是目的,但对于数值技术的推导和误差估计。

拉格朗日插值多项式。确定一个多项式的问题通过的程度 不同的点 和 是一样的近似函数的 和 通过一级多项式插值或同意的值在给定的点。使用这个多项式逼近给定的时间间隔内的端点称为多项式插值。定义的函数 线性拉格朗日插值多项式 和 是 请注意, 这意味着 然后,是学位最多的独特多项式经过吗 和 在这种情况下,我们首先构造,为每一个 ,一个函数的财产 ,当 和 。为了满足 为每一个 应的分子包含这个词

为了满足 的分母必须是这个术语,但评估 。因此,

定理2(见[19])。如果 是 不同的数字和是一个函数的值是在这些数字,然后一个独特的多项式在大多数的学位存在与 ,对于每一个
这个多项式给出的 在那里,每 , 我们将编写仅仅是当没有混乱的程度。

定理3(见[19])。假设 不同的数字是间隔吗和 。然后,为每个在 ,一个数字(一般未知)之间 ,因此在 ,存在与 在哪里是给定的插值多项式(13)。错误的公式(15)是一个重要的理论结果,因为拉格朗日多项式都广泛用于数值微分和集成方法。

错误在应用数学的区别是一个真正的价值和估计,或近似的价值。在数值分析中,舍入误差以无理数的真实值之间的差异。一些数据的近似误差之间的差异是一个精确值和一些近似。近似误差可能发生因为数据不精确的测量仪器和近似代替真正的数据。在(14),这是暗示线性插值的误差 ,在哪里插值多项式。

插值的th拉格朗日插值多项式可以形容一个更简单的形式 。很难插入一个河道,因为它有未知函数的初始条件和边界条件。字段数据使用的插值(15插值)(6)。使用每3节点 不同数量的间隔通过迭代的显式有限差分技术找到第二拉格朗日插值多项式 ,在那里是插值多项式(19]。

4所示。数值实验

假设污染物浓度的测量在非均匀流流与纵向距离,1.0总长度(公里)和1.0 (m)深度。有一个工厂排放污水到河流和污染物浓度在放电点 和 在 对所有 和 在 。运动一维对流方程的解析解 给药 现场数据的预测边界可以用二次插值获得初始和边界条件(见(13))。插值用于插入正确的边界条件,左边界条件,初始条件: 对所有 和 在 ,在那里 ,插值函数。

污染物浓度的近似获得使用Saulyev有限差分技术(见(6)与内插初边条件函数(见(17)和(18))。计算结果如表所示1- - - - - -3和数字1- - - - - -6。

5。讨论

在这个研究中,污染物浓度的近似运动的一个简单的对流反应数值模拟使用Saulyev方案如表所示1- - - - - -3和数字1- - - - - -6。提出了三个数值技术值:0、0.5和1,分别。的情况下 给出了一个光滑的解决方案相比其他值。增加质量衰变率影响最大浓度水平。必须粗网格插值结果字段数据。数值结果可以细网格或粗糙的网格。在表1和数字1- - - - - -5,我们可以看到的最大误差近似污染物浓度降低而沛克莱数量减少。分析和插值技术的最大误差如表所示2;正确的边界条件 ,左边界条件 ,和初始条件 。比较分析和插值技术的数字所示1- - - - - -6。提出的数值插值技术提供良好的协议的结果。拉格朗日插值技术的准确性是用来预测他们的初始和边界条件。

6。结论

拟议中的Saulyev有限差分格式的初边值条件下二次插值技术是一种无条件稳定的有限差分法。大或小的时间步长和/或网格大小可以使用该技术。数值实验表明,计算结果是合理的近似。修正显示良好的协议解决方案。提出了插值技术适用于现实世界的问题,因为它是易于计算机代码和因为坦率的计算机实现。根据收集到的水质数据,必须实现满足边界条件的函数。计算结果验证了数值精度。该技术提供了可靠的解决方案,这些过程。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者感谢金融数学卓越中心的支持下,高等教育委员会,泰国。他们也非常感谢宝贵意见收到教授Chatchai Leenawong。

引用

1. n . Pochai s Tangmanee l . j .起重机和j·j·h·米勒,“水污染控制的数学模型,利用有限元方法,”程序在应用数学和力学》第六卷,没有。1,第756 - 755页,2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. d·b·斯伯丁”小说有限差分公式涉及第一和二阶导数的微分表达式,”国际期刊工程中的数值方法,4卷,不。4、551 - 559年,1972页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. j·p·鲍里斯和d . l .书”Flux-corrected运输。沙士达山,流体传输算法。”计算物理学杂志,11卷,不。1,38 - 69年,1973页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. r . j .索贝”分裂算法河口大规模运输。”国际期刊液体中的数值方法,3卷,不。6,567 - 581年,1983页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. 李y s和j·p·沃德”,一个高效split-operator运动方案二维对流方程使用有限元素和特色,“应用数学建模,13卷,不。4、248 - 253年,1989页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. b . j . Noye和h·h·谭”,三阶semi-implicit有限差分法求解一维对流扩散方程,”应用数学建模13卷,第253 - 248页,1988年。视图:谷歌学术搜索
7. d . c . l .林”,计算机模拟污染物运输在伊利湖,”水污染25卷,第89 - 75页,1975年。视图:谷歌学术搜索
8. b·p·伦纳德,”一个稳定和精确的对流模型上游过程基于二次插值,”计算机应用力学和工程方法,19卷,不。1,59 - 98年,1979页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. m . Dehghan”数值方案对于非标准初始条件的一维抛物方程,”应用数学和计算,卷147,不。2、321 - 331年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
10. h . Karahan“无条件稳定的显式有限差分运动技术对流方程使用电子表格,“工程软件的进步,38卷,不。2、80 - 86年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. n . Pochai”数值处理的无量纲形式的水质模型在非均匀流流使用Saulyev方案,“数学问题在工程491317卷,2011篇文章ID, 15页,2011年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. n . Pochai”数值处理修改修正方案的无量纲形式的水质模型在非均匀流流,”应用数学学报ID 274263条,卷。2014年,8页,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. 李g和c·r·杰克逊,“简单、准确和有效的修改页和Saulyev计划:高沛克莱数字,”应用数学和计算,卷186,不。1,第622 - 610页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
14. b . m . Chen-Charpentier和h v Kojouharov“无条件积极保护运动方案对流反应方程,”数学和计算机模拟卷,57号9 - 10,2177 - 2185年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
15. y, c . Tang z,美国,和c,“一维水动力和水质模型与multihydraulic调水工程结构,”数学问题在工程卷,2017年,页1 - 11,2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. k . Thongtha和j . Kasemsuwan”解析解在开放统一的水库水动力模型,”差分方程的进步,第2017卷,第149页,2017年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
17. n . Pochai“无条件稳定数值技术的水质模型在非均匀流流,”差分方程的进步,第2017卷,第286页,2017年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
18. c .朱问:梁、f .燕和w·郝”减少废水在洱海基于MIKE21水动力和水质模型,”科学世界日报ID 958506条,卷。2013年,9页,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. r . l .负担和j . d .神仙数值分析,小溪和科尔,波士顿,质量,美国第九版,2011年。视图:出版商的网站

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