伯格曼的有界性,部分运营商

文摘

我们给有界性的充分必要条件的伯格曼部分运营商。

1。介绍和语句的结果

我们感兴趣的是这个注意伯格曼分数算子的有界性。伯格曼部分运营商最近已被证明是非常有用的理解非对角的问题伯格曼操作符(见[1,2])。我们的目标是提供一个充分必要条件,这个算子的有界性。在下一行,我们提供了一些概念和定义所需的续集。

让上半平面,即集。我们表示勒贝格的空间,也就是说,所有功能的空间这样

为和伯格曼,加权空间的子空间组成的分析功能。众所周知,伯格曼空间()是一种再生核希尔伯特空间的内核。也就是说,对于任何,下面的表示: 为简单起见,我们写什么。积极的伯格曼运营商被定义为

注意的有界性暗示的有界性。这是一个基本运动证明伯格曼投影是有界的当且仅当(见,例如,3])。

伯格曼分数运算符被定义为 在哪里。相应的积极的运营商将会用并可以被视为上半空间模拟的黎兹潜力也被称为分级操作符(见[4])。还要注意,,仅仅是伯格曼投影。

我们有以下的有界性的充分必要条件和。

定理1。让,,。以下条件是等价的:(一)操作员是有界的来。(b)操作员是有界的来。(c)以下关系:

不同的单位球(见[5]),上述结果不能推导出的有界性Bergman-type运营商考虑的家庭(2,6]。

我们备注算子的有界性从来暗示的有界性从来,在那里。因此,我们有以下。

命题2。让,,。以下条件是等价的:(一)操作员是有界的来。(b)操作员是有界的来。(c)以下关系:

足够的证据情况下,我们将使用非对角的舒尔测试由于Okikiolu [7]。

2。定理的证明1和主张2

我们首先回顾以下简单的事实(见[3])。

引理3。让是真实的。然后函数,,属于,当且仅当和。在这种情况下,

足够的证明部分在我们的研究结果是基于以下非对角的Schur-type测试。

引理4 (Okikiolu [7])。让是正数,这样和让是一个可测量的复值函数假设存在可测量的功能和和非负常数和这样 如果是由 在哪里,然后是有界的,对于每一个吗,

我们证明如下。

引理5。让,,。如果操作员是有界的来,然后

证明。我们假设运算符是有界的来。让并将任何函数相关联,函数定义为。然后它很容易看到 它遵循也从一个简单的变化的变量 因此 它遵循从上面考虑的有界性它存在一个常数这样,对于任何, 也就是说, 后者适用于任何和任何,我们必须有 也就是说,。

下面是获得如上所述。

引理6。让,,。如果操作员是有界的来,然后

我们下一个证明条件(5)是足够的分数算子的有界性。

引理7。让,,。假设 然后操作员是有界的来。

证明。我们假定。
让我们把 很明显,。作为,我们可以找到两个数字和这样 让 这 我们观察到操作员可以表示成 在哪里。让我们定义 应用Okikiolu测试我们第一次获得 从我们的选择我们有。使用的定义和,我们获得 因此我们得到从上面观察和引理3那 同样的,我们第一次 从我们的选择,我们有。定义的和,我们获得 因此我们得到从上面观察和引理3那 证明已经完成。

定理的证明1。很明显,。那是引理5。那是引理7。证明已经完成。

命题的证明2。很明显,。那是引理6。那遵循从引理7的有界性从来暗示的有界性从来。证明已经完成。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

1. b . Sehba“锋利的加权范数估计分数伯格曼运营商,“https://arxiv.org/abs/1703.00852。视图:谷歌学术搜索
2. b . Sehba“锋利的非对角的加权范数估计伯格曼投影,”https://arxiv.org/abs/1703.00275。视图:谷歌学术搜索
3. d . Bekolle a . Bonami g . Garrigos c .娜娜m . Peloso f·里奇,“课堂讲稿伯格曼投影仪在锥管领域:一种分析和几何的观点,”《国际研讨会在经典分析,(印和阗' 01)2001年,喀麦隆雅温得。视图:谷歌学术搜索
4. e·m·斯坦奇异积分和函数的可微性属性普林斯顿大学数学系列,30号。,Princeton University Press, Princeton, NJ, USA, 1970.视图:MathSciNet
5. r·赵”泛化舒尔的测试和它的应用程序的类C运营商的单位球上的积分ⁿ”,积分方程和算子理论,卷82,不。4、519 - 532年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
6. j·s·Bansah和b . t . Sehba”,一个家庭的有界性Hilbert-type运营商及其Bergman-type模拟”伊利诺斯州数学杂志卷,59号4、949 - 977年,2015页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
7. g . o . Okikiolu“积分算子的不平等,”格拉斯哥数学杂志11卷,第133 - 126页,1970年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

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