文摘
用动力系统的方法,精确行波解的耦合非线性Schrodinger-Boussinesq方程进行了研究。基于这种方法,得到了有限的精确行波解含有孤波解和周期行波解。孤波解和周期行波解是表达的双曲函数及雅可比椭圆函数,分别。结果表明,发现改善相关的先前的结论。此外,数值模拟的孤波解和周期行波解给出了显示我们的结果的正确性。
1。介绍
在激光和等离子体物理、非线性的布西涅斯克之间的相互作用下的重大问题领域和复杂非线性薛定谔场了1]。特别是,耦合Schrodinger-Boussinesq方程的调查吸引了很多物理学家和数学家的注意。在[2),研究了该方程解的存在。在[3),郭和杜研究了局部和全局的周期边值问题的适定性问题的非线性Schrodinger-Boussinesq系统。在[4),非线性的近似解和守恒定律Schrodinger-Boussinesq方程研究了。耦合非线性Schrodinger-Boussinesq方程的研究中起着至关重要的作用在非线性科学领域的研究。
在本文中,我们考虑下面的耦合非线性Schrodinger-Boussinesq方程(5]: 在哪里,是真实的参数。是复杂的功能和是真正的功能。方程(1)是描述各种物理过程在激光和等离子体物理,如朗缪尔场幅度、modulational不稳定,和强烈的电磁波6]。研究行波解耦合Schrodinger-Boussinesq方程也吸引了很多物理学家和数学家的注意。在[7),法拉和牧师使用()扩展方法来构造方程行波解。在[8),陈和许用扩张的方法来获得一些周期波解(1)。在[9),蔡等人研究了耦合方程(1)通过修改后的扩张方法等等。然而,我们注意到前面的作者没有研究的非线性动力学(1),没有发现所有可能的行波解。因此,有必要研究非线性动力学(1)和找到所有可能的行波解(1)。在这里,我们用动力系统的方法来解决(1),给一些有界行波解(1)[10,11]。
本文的其余部分是建立如下。节2,给出了动力系统的描述方法。节3,我们应用此方法去解决(1)和数值模拟是进行孤波解和周期行波解(1)的帮助下枫软件。最后,给出一个结论部分4。
2。动力系统的方法
在本节中,我们描述了动力系统的方法找到非线性波方程的行波解。假设一个维非线性偏微分方程给出如下: 动力系统方法的主要步骤如下。
步骤1(减少(2))。做一个转换,,(2)可以减少到一个非线性常微分方程 在哪里非零常数和波的速度。整合几次(3),如果它可以减少二阶非线性常微分方程 然后让;(4)可以简化为一个二维动力系统 在哪里是一个积分表达式或一小部分。如果等一小部分吗和,不存在时。然后我们将做一个转变;系统(5)可以写成 在哪里是一个参数。如果(2)可以减少系统(5)或(6),那么我们可以继续下一步。
步骤2(分岔的阶段的肖像的讨论系统(5))。如果系统(5)是一个整体系统,系统(5)和(6)可以减少微分方程 然后系统(5)和(6)第一积分(即相同。哈密顿)如下: 在哪里是一个积分常数。根据第一个积分,我们可以得到各种各样的相位参数空间的肖像。因为定义了向量场的相位轨道系统(5)(或系统(6)确定他们所有的行波解(2),我们可以调查阶段的肖像的分支,系统(5)(或系统(6)寻求的行波解(2)。通常,一个周期轨道总是对应于一个周期波解;同宿轨道总是对应于一个孤立波解;两个轨道(或所谓的连接轨道)总是对应于扭结波(或次方)的解决方案。当我们找到所有阶段的轨道,我们可以得到的价值或其范围。
步骤3(第一个方程的计算系统(5))。后确定,我们可以得到下面的关系(8): 也就是说,。如果表达式(9)是一个积分表达式,然后用它的第一项(5),积分得到 在哪里和0是最初的常数。通常,最初的常量可以由一个根(9)或旅行波的拐点。采取适当的初始常数和集成(10),通过雅可比椭圆函数(12),我们可以获得准确的行波解(2)。
从上面的“三步法”的描述我们可以看到解决方案(2)可以通过学习和解决的动力系统简化(2)。因此,这种方法称为动力系统方法。不同的非线性波方程对应不同的动力系统。不同的动力系统对应于不同的行波解。这是整个过程的动力系统的方法。
3所示。行波解(1)
3.1。的动力系统(1)
使用转换 在哪里,,,是行波参数。用(11)的第一个方程(1),取消和分离的实部和虚部 显然,从(12),我们知道如果,(1)简单的解决方案。否则,(12)必须满足: 用(11)第二个方程(1)和两次积分(积分常数为零) 因此,(1)是减少到 很难通过一些普通的方法来解决这些方程的耦合(1),所以我们考虑到特殊的转换以微妙的方式: 在这里,是一个常数以后待定。虽然在一般情况下没有线性关系和,转换是一个关键的行波解(1)。用(16)(15),(15)变成 相比之下,第二个方程和第三个方程的系数(17),他们遵循 由于这些参数的自由是一致性;条件下(18),(17)简化为如下方程: 假设和写,。因此,(19)具有以下形式: 这对应于二维哈密顿系统
3.2。系统的分岔的相图(21)
我们除以(21)和伯努利方程解一阶微分方程;我们有第一个积分
让积分常数;也就是说,。现在我们考虑相位的画像(21)。让右手的系统(21)是零;也就是说,和;我们获得系统(21)有两个平衡的点和。为,我们写,。因为只有有界行波有意义的物理模型,我们只是我们关注的有界解(1),身体可以接受的。此外,因为,这里我们只考虑相位的画像(21)当。改变的参数群和系统有不同的相图(21),如图1(由软件绘制枫)。
从图1,我们总结重要结论如下:(1)当,是一个尖端;当(),是一个鞍点(中心点)和是一个中心(鞍点);(2)如果系统(21)有一个独特的同宿轨道这是渐近的马鞍和封闭中心;(3)如果,有一个家庭封闭的周期轨道中心和填充的内部同宿轨道。
在第一图的形象1,我们将,。在第二个图的形象1,我们将,。在第三图的形象1,我们将,。
3.3。的精确行波解(1)
我们可以得到下面的关系(22): 然后替换成第一项(21)和集成我们使用枫软件和雅可比椭圆函数;我们有以下参数表示。
当,,(见第三图的形象1),存在一个光滑的孤独的解对应于一个光滑的同宿轨道(21)定义为;我们有参数表示:
当,,(见第二个图的形象1),存在一个光滑的孤独的解对应于一个光滑的同宿轨道(21)定义为;我们有参数表示:
当(),,()(见第二图像和第三个图的形象1),同样,存在周期行波解对应于家庭的周期轨道(21)定义为,();我们有以下参数表示: 的参数,,和是由。
利用上述结果,考虑条件(18根据(),11),我们获得的行波解(1)如下。通过使用数值模拟方法,有界解的3 d图形(1)也如图2- - - - - -7。
当,,,
当,,,
当(),,(),
从数据2- - - - - -7,很容易看到,,,所表达的是孤波解双曲函数。和周期行波解,由雅可比椭圆函数表达。请注意,我们的解决方案是不同的从给定的5,8,9]。
4所示。结论
总而言之,用动力系统的方法,有界的精确行波解(孤波解和周期波解)耦合的非线性Schrodinger-Boussinesq方程获得。动力系统方法是一个很好的方法来获取准确的解决方案,不仅可以得到精确解也理解行波的非线性动力学方程。我们表明,双曲函数解和雅可比椭圆函数解我们发现本文不同于其他作者提出的解决方案。结果丰富的多样性的波结构耦合的非线性Schrodinger-Boussinesq方程。
此外,如果没有的情况系统(21),另一个例子。当(),存在周期行波解相应的周期轨道的家庭(21)定义为,();我们有以下参数表示: 的参数,,和是由。然后我们获得额外的行波解(1)如下:
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者欣然承认中国的国家科学基金会的支持下批准号11261049下的中国和美国国家科学基金会资助。41161001。