文摘

一种潜在的估计方法是为了获得一些先天的边界用于特定类的狄利克雷问题的解与nondivergence结构椭圆方程。

1。介绍

在本文中,我们关心的是某些方面相关的研究强烈的古典第一类边值问题的可解性 在空间 , ,在那里 是一个足够普通有限开放的子集 , , 二阶线性微分算子nondivergence形式吗

再次证明了示例c .璞琪(援引Talenti (1]), 的有界性和椭圆率 并不足以获得强大的可解性问题(1)。有两种方法可以克服这个困难:第一种方法在于实施合适的规律的 ,而第二个假设系数不分散太多,满足条件比均匀椭圆率(见,例如,2为更广泛的调查在这个问题上)。

关于第一种方法,经典的结果(见,例如,(3)确保足够正则集 对于系数 , ,一个获得独特的强大的可解性(1)绑定在一起 然后嵌入定理 为 。让我们指出常数 在(4)是独立的 但取决于所需的系数的规律性。

第二种方法后,Talenti获得存在唯一性结果问题(1), 考虑,在1),所谓Cordes系数满足条件: 条件(5)允许他证明了估计 后来,Campanato, (4),将这些结果扩展到的值 足够接近2。

考虑到这些结果,在最近的一篇论文5),我们假设系数 , ,是对称的有界可测函数满足以下新假说: 假设(7)推广了经典Cordes条件,因为(见备注3), ,满足运营商的类(7)是更广泛的比验证Cordes假设。

在[5我们证明估计(4),显示指数的范围 ,恒 是独立的规律性系数。这可以通过假设 有一个扩展,属于某些广义水列夫空间 (见部分2)验证很限制条件本质上由于缺乏文献涉及功能空间的扩展的结果。我们指出,获得规律性的估计与一个常数独立绑定的系数是一个重要的特性,因为它可以允许减弱的规律的假设 。

目前的工作的目标是实现一个先验约束问题的解决方案(1)在同一框架的5),但数据上的限制条件 ,要求。

我们的主要结果,假设获得的 是限制 的一个函数 属于 (粗略地讲, 是限制 黎兹的潜力 的一个函数 , ),由以下评估: 为 ,不断 又独立的规律性系数。

实现的主要工具(8)某些潜在类型估计之前获得同样的问题的解决方案(1),但有规律的基准。我们将估计(35)在步骤 和(52)在步骤 的定理5。我们的话,假设(7)是关键的引理的证明4,它允许显示上述潜在的类型范围。

2。一类广义水列夫空间

本部分介绍的主要类的属性的定义和广义水列夫空间数据的地方 将(参见[5])。

为了我们的目标,我们回忆起黎兹势的主要特性和超奇异积分仅关注一些特定的方面,需要我们的需要。为我们参考读者更广泛和更深入的调查,例如,(6- - - - - -9]。

让 和 。众所周知,如果 然后积分 几乎所有的绝对收敛 。

这个函数 在(9)定义,一个积极的乘法常数取决于 黎兹的潜力 。

为 和 ,因此可以考虑的空间 巴拿赫空间,对规范 此外,如果 ,一个包含有以下严格: 而且

现在,让 , , 。的特征奇异积分的黎兹势(见[7)允许我们定义空间 超奇异积分的 这个函数 在(14)被称为黎兹的导数 ;它是用 ,可以解释成反比的黎兹的潜力。

为 , , ,空间 因此可以重写为 这是一个巴拿赫空间赋予常态 从定义(15),它似乎是清晰的 概括的概念水列夫空间的部分情况。

众所周知, 是密集的 ,像往常一样, 代表所有的类 功能 紧凑的支持。

定义1。让 是一个开放的子集 , 。为 , , ,我们定义 设置的限制 的功能 。也就是说, 如果存在一个函数 这样 在 。

的空间 是巴拿赫空间赋予常态

3所示。主要结果

让 是一个开放的子集 , 。我们想证明一些强解的先验估计的狄利克雷问题: 。

在这里 是一个二阶线性微分算子nondivergence形式 与系数 是对称的有界可测函数满足均匀椭圆率条件;因此,存在一个常数 这样 几乎每一个 和任何 。

在我们假设的续集 并设置 我们假设 条件(23)等价于 在哪里 , 矩阵的特征值 。

备注2。的定义 它很容易, 。

备注3。为 运营商满足假设的类(23)是更广泛的比验证Cordes条件。事实上Cordes假设读取 或者同样的 因此,如果(26)是由(满意,26)的定义 ,接下去 。这给了(24) 。

现在让我们国家以下引理,证明了在5),是一个重要的工具在我们的主要结果的证明。

引理4。让 中定义的操作符(19)满意(20.)和(23)。如果 , , 是一个非负函数 对于一些固定 足够小,那么 潜在的 是这样的, 乙醯。 ,因此 是 超低。

我们现在能够证明我们的主要结果。

定理5。让 是一个有限域 , , 规律的财产,让 中定义的操作符(19)满意(20.),(21)和(23)。让 , 。如果 是一个解决问题(18与基准) ,那么存在一个正的常数 这样 与 在定义1。

证明。定理5将证明在三个步骤。在前两个我们展示一些潜在类型估计某些辅助问题的解决方案。在最后一个,我们利用估计的步骤 实现(29日)。
一步1。基准 ;因此根据定义1存在一个函数 这样 在 。因此,通过(14我们可以找到 这样 用 和 积极的和消极的部分功能 分别通过经典结果我们得到光滑的事实存在两个序列和非负函数 和 这样 让 把它的值在一个正实数序列数字并设置收敛于零 与 。然后,考虑到古典的解决方案 和 的问题 在这一步我们要显示 与 正的常数, 这一目标,把 鉴于引理4存在一个正的常数 这样 与 。然后 此外,由(33)和(37),一个人 因此,由于我们假设,它的古典形态的最大原则适用(见,例如,3),定理 和 由(),因此32)和(37)我们有 这最后的不平等和组成部分积分公式(见,例如,6)给那么 与 正的常数。遵循同样的论点之一获得类似的函数的估计 : 结合不等式(42)和(43)和定义(36)我们(35)。
一步2。让 是经典的问题的解决方案 在哪里 。
针对的唯一性问题的解决方案(33),(34)和(44)(见,例如,(3),定理 )人, 因此, 是负的,观察到(41), 。因此,(35)给下面的估计潜在的类型 : 我们想通过时的极限 在(45)。
经典估计(观察到问题的系数(44)是光滑的,因此(3),引理 适用),我们得到 为 和 ,对于任何固定 ,(36),(32),Beppo李维斯定理,我们得到 勒贝格控制收敛定理,最近发生在收敛 : 因此 在我们组 放在一起(46)和(49),我们得到 是一个柯西序列 。因此,的完整性 ,存在 这样 在 ,因为 。因此,随后发生的事情,仍然用 ,我们有 考虑到(51),我们终于可以传递到极限 在(45),获得以下潜在型估计 : 一步3。结合(52)和(13)我们有 与 。
证明我们的要求,我们想通过极限 在(53)。
从(31日),(36)和(13),它遵循 在我们组 。
因此,自 ,(54)我们有 观察到,现在的独特性, 问题的解决方案吗 经典结果给那么 所以,在收敛视图(56),我们得到 在哪里 问题的解决方案(18)。
的嵌入 然后确保 最后,通过收敛(54)和(60我们可以通过的极限 在(53),获得 我们现在可以得出结论的证明。实际上,由(61年)和(13),我们得到 与 。
此外, 的函数 和 不相交的支持。
因此,通过(62年),(63年)和(16),我们得到我们的估计 与 。

信息披露

莎拉Monsurro和玛丽亚Transirico Gruppo重回国家队的成员每l 'Analisi Matematica, la Probabilita e勒洛Applicazioni (GNAMPA)史重回di Alta Matematica (INdAM)。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。