文摘
研究了一维谐振子与相对论效应。在某些条件下的参数,一个独特的稳定周期解的存在证明了扭曲的类型。结果取决于扭转非线性希尔方程的定理是建立和证明。
1。介绍和主要结果
在本文中,我们研究一个稳定的周期解的存在(一维周期响应)迫使谐振子与相对论效应: 在哪里质量在休息,真空中的光速,是弹簧刚度系数,,是外力的振幅和频率。身体上,我们假设一个狭义相对论的基本原理:一个移动的物体的质量不是恒定的,而是取决于它的速度。这可以从一个适当的拉格朗日方程或哈密顿公式(1]。这个系统的哈密顿协会
混沌行为的存在相对论谐振子一直在调查数值(2]。更普遍的是,混沌动力学的相对论性粒子的存在(相对混乱)已经被报道在许多不同的情况下(3- - - - - -6]。
从更多的数学的角度来看,(1)可以被视为一个单一的拉普拉斯算子振荡器(7),然后Landesman-Lazer条件成立,并存在一个周期解的值参数。换句话说,相对论效应杀死经典线性共振现象。
朱等人已被证明在8平衡的稳定性与可变长度的相对论摆。我们用类似的方法来证明一个周期解的稳定性(1)获得通过上下颠倒顺序(见部分的解决方案2)。
另一方面,近年来一些关于类似的振荡器相对论效应的结果,像相对论迫使摆9- - - - - -11),已经出版。有作者已经证明了周期解的存在性和多重性的相对论迫使摆变分和拓扑方法。
我们的目标是研究周期解的存在性和稳定性相对谐振子(1),期我们搜索所谓周期解决方案的扭转型,这意味着其弗洛凯乘数不真实和不th-root团结的,它首先比尔科夫的系数为零(见部分是不同的4定义)。
它的外观是一个众所周知的事实周期解,扭曲的类型,通常展品锦场景,即存在周期性的解决方案在所有任意大社区,其中一些将椭圆和其他人将双曲线。双曲解决方案一般相关的稳定和不稳定流形之间的横向交叉路口(12,13]。
genericity是理解通过飞机相对于特定的拓扑构造函数(13]。接近那些十字路口,某些不变的紧凑集庞加莱转换几乎总是(一般来说)出现,称为斯梅尔的马蹄。流行导致的理论动力系统是动态斯梅尔的马蹄礼物密集周期轨道和敏感对初始条件和随机线路(混乱的行为)。
根据这个,周期解的存在性的证明扭曲类型是第一步的理解混乱行为数值体现在2]。
定理1本文的主要结果。
定理1。假定的参数,,,满足下列条件:(H1) ,(H2) ,(H3) ,然后驱动相对论谐振子(1)具有独特的周期解的扭曲类型,因此李雅普诺夫稳定。
假设(H3)可能看起来相当奇怪的;然而,它给一些有趣的推论方式直接。
推论2。与固定,,,在(1),有这样,如果然后定理的结论1成立。
推论3。与固定,,,在(1),存在一个临界频率这样,如果然后定理的结论1成立。
两个推论遵循很容易通过限制条件的定理1。此外,关键值,数值计算。例如,和。
剩下的纸是组织如下。部分2致力于分析周期解的存在。评论之前,这种存在是直接从的结果(7),虽然我们目前的另一种方法给了我们一些边界的解决方案。关键的想法是减少(1一个等价的牛顿非线性振荡器。然后,上部和下部的解决方案提供了存在的使用以及一些必要的续集。部分3周期解的唯一性和线性稳定性分析。最后,在节4一个新的转折定理提出的线(14- - - - - -16证明,应用部分5为了证明定理1。注意,它是不可能直接应用定理3.2 (16因为估计(3.39)是不正确的。正确的估计是建立和证明引理8,这将是基本为了建立扭曲标准(定理7)。
2。周期解的存在性
当我们提到的介绍和主要结果,存在一个周期解的(1)是一个直接的结果中包含的结果(7]。我们用另一种方法基于上下的解决方案,因为它为解决方案提供了明确的界限以后这将是至关重要的。
哈密顿(2),我们得到了汉密尔顿的方程 这个系统通过在第二个方程推导,相当于二阶方程 与 更准确地说,注意相关的一阶系统(4)与状态变量和可以获得(3)通过下面的辛与乘数变量的变化: 因此,很明显,在两个系统的稳定性研究是等价的,因为庞加莱映射是共轭。因此,驱动相对论谐振子的动力学等效的驱动的非相对论振荡器的潜力。牛顿方程最小周期我们感兴趣的一些关键动力方面周期解的存在性及其稳定性特性。以下结果保证了我们,(4)(以及因此(1)至少有一个周期性的解决方案。
命题4。让一个假设。然后,(4)有一个周期性的解决方案这样 对所有。
证明。它遵循从上部和下部的经典理论的解决方案(17定理4.1)。很容易验证较低的解决方案和吗是一个上的解决方案,这样吗对所有。此外,请注意,,这是解决方案的条件存在上部和较低的解决方案之间颠倒顺序。
3所示。唯一性和线性稳定性
在本节中,我们研究的稳定周期解线性意义上的前一节中找到。让我们解决周期性的解决方案(4),它总是存在的命题4,我们把它翻译的起源做规范的改变变量因此,我们导致等效方程 现在的平衡是一个解决方案。线性化的是希尔的方程 在哪里 根据定义,据说是椭圆的弗洛凯乘数希尔方程(9与±1)复共轭数字不同。一个椭圆的解决方案是在特定的线性稳定。
以下范围在很容易推导出: 与
现在我们可以制定和证明下面的结果。
命题5。假设 然后,(4)有一个独特的周期性的解决方案它是椭圆形的。
命题的证明5。从(13)和(11)- (12),我们推断出
然后,一个应用程序的古典Lyapunov-Zukovskii稳定性判据(见[18,19])暗示的椭圆率(9)。
的独特性,假设是另一个周期解。然后,是一个希尔方程周期解:
在哪里
通过应用中值定理,考虑,我们得到
对所有。正如我们前面所说,(15)是椭圆;因此,唯一的周期解是微不足道的,所以这证明了独特性。
4所示。非线性李雅普诺夫稳定性
系统研究是保守的,所以稳定性的李雅普诺夫不能直接来自第一个近似,因为可能同步更高的条款导致共振的影响。西格尔的作品后,莫泽[12),众所周知,非线性的稳定意义上一般取决于第三周期解的近似。所以,我们将专注于第三个近似减少问题(4在周期解)。
从的角度来看锦理论(12,20.,21]),泰勒扩张的非线性项在一个给定的周期解考虑决定的动态增长在这样一个解决方案。的基本思想在于表达系统在合适的几何坐标作为规范系统的扰动可积,因此拥有不变的圆环面附近的周期解。这些不变的花床下持续扰动和产生监狱或障碍的流量捕获里面的轨道。作为一个副产品,它获得了典型的锦场景在周期解(见[12,22])。同宿横点的有效存在的庞加莱映射(生成斯梅尔的马蹄动力学)为这个模型是一个有趣的问题。然而,众所周知,这个属性是通用的区域保存映射(13,22]。
最近,这些想法有了更新的兴趣从一些奥尔特加的作品(14,23,24),为我们提供一些基于第三近似稳定标准。一些相关的引用(15,16,25- - - - - -29日]。我们遵循这一方法,给一个新的稳定性判据在[符合15定理2.2]和[16,定理3.1和]。
注意,估计在[(3.39)16),因此,定理3.2的条件(3.49),论文必须仔细审查。正确的估计是表示,在本节(引理证明8)。所有这些事实的动机的重写一个干净的标准,至少在所谓第一稳定区域。
我们考虑到非线性希尔方程: 的功能是连续的,和都不等于零,其余的呢,,满足 解决方案是一个平衡的18)。
的线性化(18)希尔的方程:
让的单值矩阵(20.)。特征值的被称为“弗洛凯乘数(20.)。(弗洛凯乘数的20.)满足 在一个经典的术语,据说(20.)(或)是椭圆形的,如果抛物线,如果,双曲如果,分别。在双曲型的情况下,不稳定,也不仅是线性方程解决方案(18)。
鉴于我们说,平衡(18)是共振如果它是椭圆和弗洛凯乘数满足我们说是强烈的共振如果它是共振的或。
庞加莱映射与(18)定义原点附近 在哪里独特的解决方案(18),这样
请注意,然后的稳定性(如周期性的解决方案(18))的稳定性不动点的。其它基本属性的庞加莱映射的州是一个单值矩阵(20.),然后它的特征值的弗洛凯乘数(20.)。如果(20.)是椭圆而不是强烈的共振通过比尔科夫范式定理存在一个规范变量的变化和,这样新坐标采用以下形式: 在哪里表示的旋转角度,是弗洛凯乘数,表明一个术语当。的系数被称为第一次捻系数和稳定性中起着重要的作用。由此可见,如果从捻定理然后是稳定的(见[12,第3章)。
定义6。我们说的平衡(18捻)如果是椭圆型和不强烈共振和相关的第一个捻系数。
注意,根据这个定义,所有扭曲的平衡型李雅普诺夫稳定。众所周知,从一般理论,一个平衡扭曲类型的展品锦动力学它周围的介绍中已经提到过,和主要结果。
捻系数有一个明确的公式和积分值成正比(见[14,16]) 在哪里是独特的积极Emarkov-Pinney方程周期解([16引理3.3]): 这个函数是原始的,核函数被定义为
本节的主要结果如下。
定理7。假设(18)第三个系数,选择和这样(我) ,,(2) ,。假设,下列条件: 然后,平衡(18捻)类型。
证明。这个函数可以通过下面的关系(16,部分): 在特定的时间比例希尔的转换方程另一个: 在新时期这样,椭圆;,相关的单值矩阵是一个刚性旋转(见[14Propositon 7])。这个函数被定义为,在那里是一个复杂的解决方案(32)与初始条件和很明显,满足相同条件(28)的定理7新的常数,所以,4.2和4.3的前题条件(2)的15]。结合这些词,我们获得 所以,最后的关系(31日),我们获得以下统一的界限: 从引理4.3(2),我们知道,所以最后我们到达(34)所需的不平等。
定理的证明7。定理的证明7遵循基本的行16]。为一个函数,让和表示积极的和消极的部分。所以,我们可以写。
条件(28)意味着(见[15)),是椭圆的,而不是强烈共振;因此,第一个捻系数是定义良好的。记住,成正比由(25)。为了证明定理7,它能充分显示。
另一方面,从(28)我们也推断出旋转数与希尔的相关方程(20.)满足
特征指数的定义。因此,
让和分别表示较低的上限由引理8。因此,从(25)一种演绎
因为函数是正的(见(27)和(36))。另一方面,一个上界在[计算16]:
因此,使用(36)和monotonocity的和在,我们得到
回到现在我们可以推断出
最后一个不平等条件的结果(29日)。
5。应用相对论振荡器
节2,我们是一个独特的存在周期性的椭圆的解决方案的问题(4)在一个合适的参数假设和更具体地说,如果。一个更多的时间,我们强调这个问题相当于驱动相对论谐振子(1)。
第三个近似(4在周期解)是由 在哪里
定理的证明1。从命题5和hyphothesis (H1),我们有一个独一无二的周期性的解决方案椭圆和不强烈共振,验证绑定(7)。特别是, 为了证明是扭曲的类型,我们将应用定理7第三个近似(41)。由hyphothesis (H2),我们得到的,因此,所涉及的常数定理7可以被视为 经过几次冗长的计算,一个可以看到不平等(H3)的定理1和(29日)的定理7是等价的。定理的应用7完成证明。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持资本Semilla 2014 - 2015项目00004025 Pontificia大学Javeriana, Seccional卡利,哥伦比亚卡利市。