文摘
我们有广义统计有界性的概念引入的概念统计标量序列的有界性是一个无限的模量。结果表明,有界序列精确的序列统计学上有界的每一个无界的模量。分解定理统计收敛向量值序列和结构定理统计有界性也已建立。
1。介绍和背景
统计的思想融合了第一版(发表在1935年的华沙)Zygmund[的专著1]。正式统计收敛的概念被引入Steinhaus指出[2和快3),后来又一次被勋伯格(4]。虽然统计收敛了近60年来,它已成为近年来一个活跃的研究领域。统计收敛研究了最近的几位作者5- - - - - -15]。
”的标准定义是收敛的”要求应该有限每,在那里是自然数的集合。
序列数据说是统计收敛的号码吗只要一组,而不是有限的,自然的密度,自然密度的一个子集(见[16),第十一章)被定义为 在哪里表示元素的数量不超过。一组据说是统计密度(17如果。序列的子序列是统计密度如果所有指标的集合的元素是数据密集。换句话说,一个据说是密度统计序列的子序列,如果补充所有指标的集合元素的自然密度0。显然,我们有前提是是一个有限集的正整数。
我们会特别关注这些的子集自然密度为零。为了促进这一点,Fridy [18]介绍了以下符号:如果是一个序列,这样满足财产对所有除了一套自然密度为零,然后我们说满足“几乎所有的“一位”,我们把这个。。”
使用这个符号,我们有以下。
定义1。序列数据说是统计收敛的号码吗如果为每个,
定义2。一个数字序列据说是统计柯西,如果每个,存在一个正整数这样
1997年,Fridy和Orhan [19]介绍了统计有界性的概念如下。
定义3。序列数据说是统计学上有界如果有号码吗这样;也就是说, 我们表示所有统计上有界序列的集合。
同年,也就是1997年,Tripathy [20.]证明了统计上有界序列分解定理,还建立了一个充分必要条件的序列统计界。
最近,Bhardwaj和古普塔(10)介绍和研究统计有界性的概念,统计有界性,统计的有界性对于标量序列。Bhardwaj et al。11)也进行了介绍和研究的一个新概念有缺陷的统计有界性的有缺陷的模拟统计有界性的概念。
模量函数的概念被Nakano结构化(211953年)。后皱(22和马多克斯23),我们回想一下,模量是一个函数的来,(我)当且仅当(二)为(3)增加,(iv)是连续的吗。因此到处都必须是连续的吗。模量可以无限或有限。例如,,在那里是无限的,但是是有界的。
康纳(24),Pehlivan [25],Pehlivan和费舍尔[26],Kolk [27),Ghosh和斯利瓦斯塔瓦28),Bhardwaj和辛格29日,30.],Colak [31日),Altin和等32),和其他一些使用模函数构造一些序列空间。
在2014年,Aizpuru et al。6)定义了一个新概念的密度的帮助下模函数,因此获得了一个新概念统计收敛,这实际上是一个泛化的概念统计收敛。他们证明,相当于普通收敛统计每个无界系数函数收敛。
最近,Bhardwaj和Dhawan介绍和研究的概念统计的收敛阶(9),有缺陷的统计收敛(33)通过使用的方法Aizpuru et al。6]。
在整个论文中,除非另有规定,将表示真正的赋范空间。
首先我们回忆起一些定义从[6]。
定义4。让是一个无界系数的函数。的密度的一组被定义为 在这个极限的存在。显然,有限的设置为零密度和不,。
备注5。对于任何的模量和,意味着(见[6])。但反过来不需要是真实的,一组在自然密度零可能没有密度对一些无界系数为零。
定义6。一个序列在据说是统计收敛到如果为每个,和一个写它。
在视图的定义6和评论5,它遵循每一个统计收敛序列统计收敛但统计收敛序列不需要统计每个无界系数收敛。
定义7。一个序列在据说是统计柯西,如果,存在一个正整数这样
我们现在介绍下列符号:如果是一个序列,这样满足财产对所有除了一套密度为零,然后我们说满足“几乎所有的关于”,任何无界的模量,我们把这个“同上关于。”
使用这个符号的定义统计收敛性和统计柯西可以新配方如下。
定义8。一个价值序列据说是统计收敛到如果为每个,
定义9。一个价值序列据说是统计柯西,如果,存在一个正整数这样
本文的主要目的是介绍和研究的一个新概念统计有界性为标量序列定义如下。
定义10。一个数字序列据说是如果存在统计学上有界这样;也就是说,。通过,你将表示所有的空间统计学上有界的标量序列。
在本文中,我们建立一个统计有界性和之间的关系统计有界性。这是显示的概念统计有界性介于普通的有界性和统计有界性。我们也证明了有界序列精确的序列统计学上有界的每一个无界的模量。除了学习统计有界性我们也提出进一步派生属性有关统计收敛。我们建立一个分解定理统计收敛。这是证明一个条款统计收敛序列是重合的与几乎所有的收敛序列关于。我们还表明,,所有有界的集合统计收敛序列的标量,是一个封闭的线性赋范线性空间的子空间所有有界序列的标量,因此是一个无处稠密的。
2。更多的结果统计收敛
在本节中,除非另有规定,否则我们处理价值序列。通过,我们将表示所有的空间有价值的统计收敛序列。
我们开始本节通过建立分解定理统计收敛。事实上,统计收敛序列的分解定理标量是由康纳(34]。下面的定理扩展了康纳(分解定理34)统计收敛。
定理11(分解定理)。如果是统计收敛到,然后有一个序列收敛于和一个统计空序列这样。此外,如果是有界的也有界,。
证明。作为是统计收敛到,存在与这样。为,让
很明显。作为对于每一个,我们有对于每一个。因此是一个统计空序列和,如果是有界的。
为,我们有
所以
作为右手边的设置(11)是有限的因此。
评论12。如果我们表示所有的空间价值趋同,统计空序列,和分别,然后针对定理11我们有。此外作为的空间重视空序列。
Fridy [18)证明,标量的序列,每个统计收敛序列条目重合与几乎所有的收敛序列。我们建立一个类似的结果统计的的价值序列,包括上面提到的结果Fridy [18]。
定理13。一个序列是统计收敛当且仅当存在一个收敛序列这样。
证明。第一个假设是一个统计收敛序列。进行同样的定理11,我们得到一个收敛序列与;也就是说,。相反,它是假定存在一个收敛序列这样。现在 自,后者在右边的12)是有限的。因此对于每一个。因此是一个统计收敛序列。
作为一个直接后果的定理13,我们有以下。
推论14。如果是一个序列,这样,然后有子序列这样。
Aizpuru et al。6证明,巴拿赫空间,是统计柯西当且仅当是统计收敛。将这一结果与定理13,我们得到以下结果,包括定理Fridy [18]。
定理15。让巴拿赫空间一个无界的模量。然后下面是等价的:(一) 是统计收敛。(b) 是统计柯西。(c)存在一个收敛序列这样。
备注16。我们知道,每个子序列的收敛序列收敛,但这不再是真实的统计收敛;也就是说,一个统计收敛序列可能不是的子序列统计收敛。这可以通过下面的例子来验证。
示例17。考虑、复数的空间与。让。现在对于每一个在哪里。然后对于每一个所以 也就是说,。因此是统计收敛,而子序列的这不是统计收敛。
定义18。一个序列的子序列据说是统计密度如果补充所有指标的集合的元素密度为零。
评论19。每一个密度统计序列的子序列是统计上密集。
Burgin和Duman17证明了一个数字序列是统计收敛当且仅当每一个统计上密集的子序列的统计收敛。我们把这个结果如下。
定理20。一个序列是统计收敛当且仅当每一个统计上密集的子序列统计收敛。
类似于定理证明Burgin和Duman [17),因此省略了。
推论21。 统计上的子序列统计收敛序列是统计收敛。
下面的定理表明,连续函数保存统计序列的收敛性。
定理22。如果和为所有的定义是连续的,然后。
证明。作为,它遵循定理Aizpuru et al。6存在一组这样和。作为是连续的,。使用定理Aizpuru et al。6),结果如下。
Šalat [35]证明了集统计上的有界收敛的实数序列是一个封闭的线性赋范线性空间的子空间所有有界序列的实数。我们建立一个类似的结果,所有有界的集合统计收敛序列的标量。
定理23。一组是一个封闭的线性赋范线性空间的子空间。
类似于定理证明Šalat [35),因此省略了。
上述定理为我们提供了以下相关信息的结构。
定理24。一组是一个无处稠密的设置。
由于序列不属于,证明事实,每一个适当的封闭的线性子空间的任意赋范线性空间是一个无处稠密的设置。
3所示。统计有界性
在本节中,我们证明的概念统计有界性介于普通的有界性和统计有界性。本节的结果包括相应的早些时候Bhardwaj的结果和古普塔(10在统计有界性。统计模拟建立了单调收敛定理的定理38。定理40显示,这是一个序列统计每个模有界也有界普通意义上的。
在本节中,我们处理标量的序列。
定理25。每一个有界序列都是统计学上有界;然而,反过来需要不是真实的。
证明。结果是空集的事实为零密度为每一个无界的模量。相反的情况下,序列的例子17服务的目的。
定理26。每一个统计学上有界序列统计是有界的。
证明的事实,意味着。
备注27。上述定理的交谈不需要真实的,可以通过下面的例子来验证。
28例。让和。让广场的自然数的集合。对于任何, 自和,和。因此,。
备注29。从定理25和26和示例28,我们得到;也就是说,统计有界性介于普通的有界性和统计的统计有界性和一致有界性标识映射。
Aizpuru et al。6)证明当且仅当存在与和。我们也建立一个类似的结构定理统计学上有界序列;然而,我们的证据是相当不同的6]。
定理30(结构定理)。一个序列是统计学上有界当且仅当存在这样和。
证明。首先,我们假设是统计学上有界的。所以存在这样。取。然后和,我们有;也就是说,。相反,它是考虑到存在这样和。作为存在这样对所有。这意味着所以。因此是统计学上有界的。
评论31。让。然后存在这样。取。为,让 很明显和的空间统计空序列。在这里为。因此。作为和是一个线性空间,我们有什么。
很容易注意到作为。事实上,空标量的空间序列。
备注32。的子序列统计学上有界序列不需要统计学上有界的。序列的例子17是统计学上有界而子序列的不是吗统计学上有界的。
我们现在描述统计学上有界序列的子序列。
定理33。一个序列统计学上有界当且仅当每一个统计上密集的子序列统计学上有界的。
定理的证明是很容易在视图Burgin和Duman [17),因此省略了。
定理34。每一个统计收敛序列是统计学上有界;然而,反过来需要不是真实的。
证明。证明的事实。相反的情况下,身份映射,,我们得到;然而的空间统计收敛序列的标量。
下面的定理表明,每一个统计学上有界序列有条目重合与几乎所有的有界序列关于。
定理35。一个序列是统计学上有界当且仅当存在一个有界序列这样。
证明是很容易的,因此省略了。
定理36。每一个统计柯西序列统计学上有界;然而,反过来需要不是真实的。
定理37。(一)是正常的,因此单调。
(b)是一个代数序列。
(c)一般是不对称的,。
定理38。每一个单调和统计学上有界序列是统计收敛。
证明。让是一个单调,统计学上有界序列。由定理30.,存在与这样。所以存在这样。使用定理(6),我们有。
引理39(见[6])。如果是无限的,那么存在一个无界的模量这样。
下面的定理表明,这是一个序列统计每个模有界在普通意义上也是有限的。
定理40。如果,每一个无界的模量,,然后。
证明。想,如果可能的话,。然后对每一个我们有,由引理是无限集,所以呢39,存在一个无界的模量这样这与假设相矛盾吗每一个模。
的话41。从定理25,我们有对于每一个无界的模量。使用这个和定理40,我们可以说,有界序列精确的序列统计学上有界的每一个无界的模量。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。