常微分方程的生成和识别最大对称代数

文摘

生成线性常微分方程的一种有效方法最大对称找到最常见的形式,和一个显式表达式转换减少方程的规范形式。新的通解表达式也发现,以及几个标识和其他结果和直接的证明,线性常微分方程迭代当且仅当它是简化为规范形式的转换。新类解决方程的参数化的任意函数也发现,一起简单的代数表达式对应的通解。

1。介绍

线性常微分方程(矿脉s)很可能出现的最常见的微分方程在物理和其他许多数学基础科学领域。然而,他们最重要的属性,如他们的变换性质,他们的通用解决方案,甚至他们的对称性在很大程度上仍未知。

在短克劳斯和米歇尔(发表的论文11988年的特定属性矿脉建立了最大对称。特别是,说论文表明,这类方程精确迭代的,等同于那些可以减少可逆转换简单的方程,我们称之为规范形式。然而,短论文留下了许多重要的问题没有回答。例如,它不提供任何点的表达式变换映射一个给定方程最大对称规范形式。

几乎在同一时间产生的问题矿脉年代的最大对称被认为是Mahomed和浸出2)发现一个算法获取最一般的正常形式的方程表达式基于对称代数的直接计算。计算与该算法仍然然而相当乏味,作者设法提供一个一般的表达式矿脉年代的最大对称最多只有八个。事实上的表达相应的eight-order最大对称方程中,纸是不正确的。

更直接生成这类方程的算法基于一个简单的事实,提出了迭代最近在3]。然而,后者的一些主要结果论文涉及在特定点的生成和转换的类矿脉年代的最大对称仍有改进的空间。

值得提及,近年来的研究常微分方程(颂歌的最大对称代数引发了相当数量的研究论文在科学文献。此类研究的例子包括各种类型的对称代数的决心和一些应用程序对系统的二阶颂歌年代(4,5]。Momoniat和合作者还研究了第一积分的代数性质的标量二阶和三阶颂歌年代以及二阶系统颂歌年代最大对称的6,7]。另一方面二阶和三阶算法的解决方案颂歌年代基于珍妮特的最大对称基地和Loewy分解得到在8,9]。二阶的类似的研究矿脉年代的最大点对称和三阶矿脉年代的最大接触对称性进行了(10为规范形式的方程(和)调查中其他首次积分的性质和特殊的对称性。

在本文中,我们提供一个更简单的微分算子相比,发现在3生成线性迭代方程的一般顺序。这产生了一个简单的算法进行测试矿脉年代最大对称完全基于他们的系数。获得的运营商从而发现纠正错误的一个在2方程(3.20)和(3.21))是这篇论文的主要结论之一。另一方面,我们给一个更直接的证据比克劳斯和米歇尔1这一事实矿脉年代可约的可逆转换规范形式正是这些迭代。

我们还建立了一些结果有关这类方程的解,特别是规范形式的转换。与Ermakov非常有名的论文(11]只设法找到一些非常特殊的情况下从一个限制类的二阶方程可解的来源,我们提供大家庭的二阶方程的通解是由简单的代数公式。所有这些家庭是由一个完全参数化的任意非零函数和二阶源方程的通用解决方案从而发现收益率通过一个非常简单的二次方程,对整个的最大对称方程相应的类一般秩序。

2。线性方程组的迭代

让和被两个光滑函数,并考虑微分算子。我们将经常表示一个微分的函数变量。线性迭代方程的迭代的一阶矿脉 ,由 在哪里是标识符。一般的线性迭代方程这样的形式 设置 和应用(1)表明,该系数一般表达式(2)的迭代方程满足递归关系 此外,设置或在(4用归纳法)显示那 和应用(4)递归地使用中设置的约定(3)给新递推关系 我们注意到(6)提供了一个算法的计算系数的参数和源方程和运营商,由此产生的公式有效地获得在3定理2.2)。此外,当然也可以计算直接的和参数和,对于一个发现 如果我们通过一般的划分阶线性迭代方程在(2),需要表单 很明显,这个方程代表了一般线性迭代方程的标准形式与主要系数。此外,著名的因变量的变化地图(8)进入正常形式的第二高次项的系数已经消失了。然而这个变换简单的选择和这样;也就是说,。因此,对于给定的参数和的运营商,一个阶矿脉在正常的形式 迭代当且仅当吗 在哪里是由(6)。它遵循从(7一个)的要求持有相当于拥有 尤其是这表明,任何迭代方程在正常形式可以表示的参数独自一人;也就是说,它取决于一个任意函数。显然,系数也可以表达完全的吗,的衍生品。例如,通过设置为任何给定的函数, 它遵循从(7 b),(9)- (9 b)我们有 事实上,正如已经指出在2,3),系数只依赖于函数及其衍生物。为简单起见,通常会方便表示的系数(第三高次项的9)只需。

有注意到每一个的系数矿脉仅仅依靠最大对称的正常形式及其衍生物,考虑到一个重要问题2)是找到一个线性常微分算子这完全取决于 及其衍生物,生成最一般形式的线性最大对称阶方程的因变量。在最近的一篇论文3),成立,对于任意参数源方程的算子 生成任意顺序的线性迭代方程在正常的形式,在其最一般的形式(9)- (9 b)。因此,尽管操作符(13),它生成的方程显式依赖(而不是)及其衍生物的基础上的结果(1)确定线性迭代方程矿脉最大对称的年代,两个方程和应该是相同的吗,尽管这样的运营商还没有找到。这部分是由于这样的事实,是一个通用表达式不是可以吗和。尽管如此,我们在这里展示,自然可以利用微分算子直接生成一个矿脉最大的一般形式的对称(9)的系数只取决于及其衍生物。

事实上,任何的价值它遵循从(6)和(9),(9 b),(11)和(12)和一个简单的归纳每一个系数在(9)- (9 b)线性依赖于。此外,它遵循从(11)- (12), 在哪里。因此,应用替换(14)产量所需的方程,即矿脉的形式(9)- (9 b)中,只取决于及其衍生物。更正式,得到的微分算子可以表示为 例如,对于或、评估直接的收益率以下表达式及其衍生物。 然而,如果除了我们也适用于这些表达式替换(14),这相当于操作员直接应用来我们获得 比较这个和已知的表达式矿脉最大对称完全表达的及其衍生物(2,3)表明,和收益率确实显示表达式。

本文取得的另一个重要的观察是,如果我们设置对某一非零功能的表达式在(11)更简单,减少。设置因此,相当于让吗是一个解的方程 这被称为二阶源方程(9)- (9 b)。因此,如果我们表达与取而代之的是,替换规则给类似在(14)需要更简单的形式

表示由操作员在这被替换为和替换的(19)是应用。也就是说, 换句话说只是在(13),源参数已经取代了和替换的(19然后应用)。出于同样的原因产生最一般形式的线性迭代方程,也做了同样的事情。然而,在更简单的替换规则(19),生成这些方程的计算成本低得多而不是。确实为任意值,产生最大对称方程的订单大于十一直到现在非常枯燥的任务使用的原始算法[2),但现在容易产生这类方程在更高的订单最标准的计算机使用计算系统等MATHEMATICA。例如,系数的这是规模最大的表达方程是由

当然,如果人能生成一个矿脉最大对称的一般秩序,在其最一般的形式,那么任何给定的识别矿脉作为一个成员或不是在课堂上最大线性方程的对称性也实现。这是由于这一事实,在他们正常的形式,阶矿脉s (9)的最大对称完全和独特的系数决定的。事实上,假设 是一个给定的矿脉在正常的形式,我们希望测试的极大性对称代数,给出的函数如果这个方程确实最大的对称,然后由(12)的系数相应的二阶方程应满足来源。因此,是最大的对称当且仅当它伴随着相应的生成方程。

使用运算符在下一节中,我们将更简单和直接的证据比(1这一事实矿脉是迭代当且仅当它是由一个点可约转换规范形式。关闭这一节中,我们注意到亚伯的身份朗斯基矩阵的两个线性无关的解和源方程(18)是一个非零常数,并将标准化为1。应该注意的是,二阶方程的线性独立的解决方案(18)不以任意的系数值。

当然有很多其他明显的标准,可用于识别表达式不对应矿脉年代最大的对称。例如,系数实际上是微分多项式在吗。例如,这意味着在特定的,如果多项式(在),那么所有的必须多项式,如果它是一个正弦函数,然后呢都必须是正弦和余弦函数的多项式。

3所示。降低范式和通用解决方案

等价的线性的阶方程一般形式(9)是众所周知的是由可逆转换的形式 在哪里是一个任意局部可逆函数和任意非零常数(9,12,13]。换句话说,一个方程的形式(9)是由一个点转换可约规范形式当且仅当存在一个转换的形式(23),地图这样的规范形式的方程。

让我们表示的 Schwarzian导数的函数。通过研究转换的源参数方程的表达式等价转换下,一个简单的描述的转换映射迭代方程的规范形式被发现(3定理4.3)。这个结果表明一个点转换减少给定迭代方程,不失一般性,可能被认为是形式(9),规范形式当且仅当它的形式(23),是函数的逆令人满意的 的(12),假设的源参数方程。利用这个结果的3),我们现在可以提供更直接的证据比在(1为下面的结果。

定理1。线性常微分方程迭代当且仅当它可以减少到一个可逆的点变换的规范形式。

证明。像往常一样或许有人认为迭代方程的标准形式,源参数。上面提到的结果的基础上从定理4.3的3),它遵循的转换(23),是函数的逆映射迭代方程的规范形式,后者的表达式解决(25)。更直接,可以证明迭代方程和方程的类可约一个可逆的点变换到规范形式是相同的。事实上,让代表等价的线性的元素阶颂歌年代在正常的形式,作用于独立变量的空间和因变量,由(23)。表示由转换后的方程,它遵循准确 在哪里 换句话说,产生一个线性迭代方程对于任何给定的值利用微分算子和改变正则方程在新变量和使用点转换操作符产生完全相同的方程,这证明了结果。

在[1克劳斯和米歇尔证明这个定理等价关系的间接结果,证明之间的等价方程的对称和最大迭代方程一方面和之间的可逆转换和方程方程可约的最大对称另一方面。证据表明一个的一部分颂歌(线性或非线性)是规范形式可约当且仅当它有最大对称然而已经证明谎言(14- - - - - -16]。这将使我们能够给出的直接证据为迭代方程构建各种点转换的实际意义以及各种形式的通用解决方案。

首先应注意的是,右边的26一个)给其他方法生成与源参数线性迭代方程然而在实践中,线性迭代方程出现一般,没有引用任何源参数但表达完全的系数及其衍生物。在这种情况下,一个评论的基础上在前面的部分中,一个解决方案这个方程在(25)是由,在那里源是一个解的二阶方程(18)。因此,如果我们表示的转换运算符 在哪里在(19),然后和产生完全相同的线性迭代方程表达了完全的及其衍生物。

另一方面,由于转换运算符地图最一般形式的简单方程(9)的迭代方程,其显式表达式可以推导出通解(9)。的确,在这个操作符 因此,一般线性无关的解决方案阶迭代方程(9)是由 特别是,如果和是两个线性无关解源方程(18),然后。因此,在和,线性无关的解决方案(9)(29日)可以写成

公式(30.)是众所周知的,并被认为没有证据(1),它是一个重要的结果,我们一直未能找到证据在最近的文学。我们自然也发现公式(28)只。此外,公式(29日)建立提供了一个更简单的结果显示,线性无关解(9)可以表达完全的一个非零解的二阶方程的来源。事实上,解决方案在(29日)显然是线性无关的朗斯基行列式等于零常数。

定理2。一个线性常微分方程迭代当且仅当它有线性无关的解决方案的形式(30.),和是两个线性无关的解对应的二阶方程(来源18)。

证明。一个线性迭代方程的线性独立的解决方案表示形式成立于(30.)。相反,如果一个矿脉有线性无关解的形式(30.),然后自源方程简化为二阶规范形式由点变换,不失一般性,我们可能认为这样的转换可以减少1,来。因此,相应的线性独立的解决方案矿脉多项式的程度最多,因此规范形式的转换方程。它显然遵循从定理1迭代方程。

回忆,对称的矿脉 是矿脉 每组的最小订单等解决方案的该产品是一个解决方案。此外,众所周知,对称二阶的力量矿脉有订单(见[17),在其中的引用)。因此遵循从定理2,对于一个阶矿脉是最大的对称当且仅当它是对称的二阶的力量吗矿脉。它实际上已经具备了17定理1和2),对称的矿脉是一个迭代的矿脉。

4所示。方程的可解性最大的对称

本文到目前为止获得的结果将用于这部分显示在其他矿脉最大对称的年代是高度可以解决的,它确实是二阶的源方程(18)完全确定的相应的解决方案矿脉年代最大的对称。在一个非常受欢迎的在俄罗斯1880年和最近发表的论文翻译成英文[11),Ermakov说二阶线性齐次的大部分颂歌年代,可以找到他们的可解性条件的形式 在哪里是一些任意常数。然后他继续在报纸上获得一些非常特殊的情况下从这个类的方程可解的,连同他们的通用解决方案。

几年后在同一十年山(18)被认为是研究月球稳定最一般形式的二阶矿脉在正常的形式,也就是说,在形式(18),但系数是一个周期函数。希尔的方程及其重要的变体如迈斯纳方程和马蒂厄方程已经充分研究[19),众所周知,它的解决方案及其相关属性可以通过弗洛凯理论进行描述。这些解决方案还可以用希尔的行列式来表示(20.]。应该提到,在本文的上下文中,一个微分方程称为解决如果封闭形式表达其通解是已知的,无论哪一类型的函数表达这个解决方案。

本文的结果扩展线性二阶方程的可解性的范围得到Ermakov,山,和其他如Loewy [21不仅更大家庭的系数函数在(18),但此外矿脉年代最大对称的一般顺序。这个观点提供参数源方程(18)是已知的。事实上,它遵循从(29日)和条件相关源的参数方程和相应的二阶方程的解决方案,为任意的值源参数的两个线性无关解二阶方程的形式 是由 因此,相应的线性独立的解决方案th迭代(32个)也可以获得(29日通过替换)。更直接的,我们有以下结果,立即从(32个)- (32 b)和(30.)。

定理3。让是一个给定的非零函数视为源参数的微分算子生成一个阶矿脉 最大的对称和范式。然后线性无关的解决方案的是由

一方面,获得的结果的基础上在前面的小节中,它遵循从定理3我们不仅可以生成一个矿脉最大的任何订单和任何非零函数的对称性,而且任何此类方程的通解中给出了封闭形式的源参数由(33)。另一方面,对于任何给定的矿脉最大的对称,只要其相应的源参数众所周知,给出其通解还通过(33)。

现在,做一个更直接的与方程的类(31日由Ermakov)认为,我们注意到线性独立的解决方案也可以发现的标准形式32个)的任意系数的的形式 两个线性无关解(34然后给出了 我们注意到,而不是解决方程的非常特殊的情况下发现的Ermakov限制类方程(31日),不仅(34)本质上依赖任意函数,而且它的通解是由简单的公式(35)的源参数。

我们进一步澄清定理的应用3通过一个例子。

例4。让是一个非零实数,考虑的特定情况下,源方程(18)是由 然后它不是明显的如何解决(36)使用标准的方法。然而,后者系数一个表达式的形式吗中定义的(11)和(12),更准确地说。因此,由于我们知道源参数微分算子生成(36),它遵循一个显式表达式给出其通解的封闭形式的(32 b)。此外,它也遵循定理3的封闭形式表达任意阶的方程的一般解相同的微分算子生成的源参数是由(33)。

在实践中,一个矿脉发生但是没有引用源参数的微分算子生成它,而是的系数。正如已经指出任何矿脉总是可以认为是正常的形式(9)- (9 b),甚至在这种情况下定理的结果3也可以用来找到的一般解决方案吗矿脉年代最大的对称性,在几乎所有已知的可以解决的情况下,除了那些情况下只与该方法可以解决。它遵循从定理3找到通用的解决方案,它可以发现参数的源方程和(12这个数量来解决非线性二阶方程。 在哪里是系数出现在(9)- (9 b),而是由(11)。

这种方法求解线性微分方程与Loewy分解方法(有一些相似之处21,22]的线性微分方程的解是已知的一次微分算子的分解生成方程计算。在这种方法中,发现每个因素的系数分解为二、三阶也实现了矿脉年代与rational系数通过求解黎卡提微分方程。说明这两种方法的比较,我们考虑一个简单的例子。

例5。考虑二阶方程 在讨论的解决方案由Loewy分解22]。这个方程有Loewy分解 在Lclm代表了最小公倍数(22)和系数和给出的 是理性的非等值的黎卡提微分方程的解决方案 然后遵循从Loewy的结果22引理2.4]的一套基本的解决方案(38一)是由 考虑到每一个二阶矿脉是最大的对称性,解决(38一)方法在本文中,我们首先降低其范式(尽管从(34)这不是必要的),通过通常给出的转换部分2。简化方程的简单形式 非线性方程(37)寻找源参数减少到,在那里这里给出的(41)。它有一般解 对于一些常量的集成和。因此,通过(32 b)线性无关解(41)是由 转换的逆映射(38一)- (38摄氏度)(41),然后显示一个基本系统的解决方案(38一)- (38摄氏度)是由 获得的一样(40)。

为解决这两种方法的缺点矿脉是他们需要解决方案的非线性颂歌年代,总的来说,比原来的更加难以解决矿脉。然而,对本文提出的方法,方程(37)寻找原来是linearizable和线性化方程可能比原来更容易解决方程。

至于颂歌年代而言,Loewy分解方法的设计原则矿脉所有订单的年代。然而,这种方法似乎并没有因为它的访问范围相当有限,特别是由于其算法的实现涉及到一个非常高的计算成本。Loewy分解理论也相当大,自己的非常具体的词汇从微分代数。此外,有太多类型的Loewy分解对于一个给定的线性微分算子,特别是有12个这样的类型三阶线性算子。另一方面Loewy分解方法只有有限理性系数方程的解决方案相应的(非线性)映像操作符的黎卡提微分方程的系数是可用的。

当然本文寻找解决方案的方法矿脉s是有限的情况下方程最大对称。确定非线性二阶方程(37)寻找源参数然而相同的方程之后的所有订单是一个任意系数(37),它也linearizable已经表示。此外,正如定理3所示,它很容易适用于所有订单只要方程(37)可以解决。

然而,应该强调,最重要的结果在这一节中不是一个方法解决一个给定的矿脉。而是事实,任意光滑函数我们有一个相关的矿脉最大的对称性和任意的顺序和封闭形式的解决方案是由(33)。这表明这些方程高度可以解决的,因为传统上大多数可以解决的矿脉年代仅限于那些理性的系数。

5。结束语

在这篇文章中,我们找到了一个成本有效的生成算法矿脉年代最大的对称。该算法提出纠正错误的(2),论文中引用的。我们还展示了如何使用这种算法很容易识别线性颂歌的最大对称和证明关于减少一些基本结果颂歌年代最大对称规范形式。我们还发现一般通用的解决方案和最优表达式。

显然,源方程(18为任意值的)是不可以解决的相应的系数。我们不过表明,对于每一个给定的非零光滑函数,函数特别是可能包括任何类型的特殊函数,一般解的吗阶矿脉最大对称微分算子产生的正常形式系数是由封闭的形式表达式(33)。

另一方面,发现的反问题对于一个给定的值是相当于解决不同矿脉的形式(18),因为非线性二阶颂歌 linearizable。然而,似乎很有可能来描述所有可能的值的任意系数函数通过一个适当的选择一个源参数。这反过来将意味着所有线性的颂歌年代最大的对称是完全可以解决的。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版这篇文章。