文摘
我们表明,sublinearity假设一些著名的存在结果多点边值问题(总之BVPs)可能允许无穷多解的存在性通过使用研究院和蒂策扩展资助定理。这是一个定性的结果在应用分析和关注的可以激励更多的研究条件,确定次线性BVPs多重解的存在性。的想法证明是独立的利益,因为它显示了一个建设性的方式与多个常微分方程的解决方案。
1。介绍
BVPs发生在大多数的分支科学,工程和技术,例如,在流体力学边界层理论,热功率传输理论,空间技术,控制和优化理论。具体地说,BVPs表现通过粒子的运动的造型一个力的作用下,积极与温度有关的来源所产生的热量的扩散,剪切变形的分布在梁由几层不同的材料,梁的挠度,和横向位移的弹性嵌入铁路分布的横向负载,等等(1]。尤其是高阶线性微分方程多点边界条件,我们担心,出现在许多物理现象或技术性质的造型如弯曲梁的挠度、三层梁、供汽控制幻灯片(2]。
让我们基础术语对这些Degla [3),以利亚(4],Coppel [5]。让,,是正整数,这样,让是实数。我们将表示,定义的莱文多项式我们将处理disconjugate阶微分算子在的形式 的系数给出了实值连续函数;例如,。高阶微分的disconjugacy线性算子意味着每个非平凡解的常微分方程不到0计算他们的多样性。这也意味着,有聚分解;也就是说,存在光滑的积极功能,,这样 在哪里(cf。5])。
由此可见,承认格林函数的边值问题: 所以对于每一个BPVs,存在一个独特的解决方案: 除此之外,我们还将采用符号和 对于任何。
许多作者证明了至少有一个非平凡解的存在的次线性边值问题可以转化为模型的问题 在不同边界条件和地方 次线性对吗统一在;也就是说, 参见[3,6- - - - - -8)和引用。一些作者显示多重解的存在性(有时是通过引入一个参数);参见[9- - - - - -15)和引用。但结果例次线性边值问题的任何顺序与无限多的解决方案是稀缺的;参见[15,16]。
在本文中,使用一种新的基本拓扑概念理论的微分方程,我们想强调,在假设次线性对吗统一在可能发生,无穷多的解决方案。这将通过与无限多的功能充分满足边界条件,通过构造一个次线性(事实上有界)函数这些函数的一系列满足边值问题:
2。结果
我们有以下。
定理1。让是这样的,到处都在和满足的边界条件(4);例如,独特的解决方案的和,;。
此外让是这样的,
(例如,函数)。
那么存在一个正整数和一个有界连续函数
这样所有的功能与满足单一的非线性问题
的边界条件(4);也就是说,
这个定理的证明,我们将使用以下。
引理2(见[3])。如果disconjugate,那么存在一个连续函数看好与有一个积极的下确界,这样 对于每一个满足微分不等式 和均匀的埃尔米特分条件
定理的证明1。为了简单起见我们把的解决方案
所以是次可微的
此外,根据上面的引理,我们有。因此,通过设置,很明显是积极的而且
这意味着
现在设置
和
此外,选择这样。因此对所有我们有,一方面,
另一方面,
屈服
而且让我们设置
还
同时要注意,的图而且,每一个,紧凑,所以是开放的。
为在,我们有
因此
除了不难看到关闭(事实上紧凑)因为每个序列的元素随后发生的事情,要么是包含在一些固定的吗(这是紧凑为紧集上的连续函数的图像)或分成无穷多在这种情况下,它有一个触点。
因此,(29日),(27),(24),函数的连续性,我们有一个明确的和连续的地图
特征的关系
但是,由著名的研究院和蒂策扩展资助定理(也称为Tietze-Uryshon-Brouwer定理)17,18),这张地图有一个持续的扩展
由此可见,对于每一个我们有
完成证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者非常感谢总部设在Abdus Salam国际理论物理中心(ICTP,的里雅斯特,意大利)的热情在他第二次访问作为常规联系。