“关于有序部分度量空间中可比映射的公共耦合不动点定理”及“如何消除它”问题的解答

摘要

我们表明Mutlu等人的工作的主要结果是不正确的。我们逐点解释它的一些主要错误，并提出一个替代版本来消除它的缺陷。

1.介绍

后,马修斯(1),一个部分指标在非空集上是一个映射验证,， 在这种情况下,被称为部分度量空间．尽管[2]使用了符号对于部分度量空间，我们更喜欢使用为了避免与度量的情况混淆。每个度规空间都是部分度规空间，但反过来是假的。对于偏度规在,映射,由 是度量单位吗．

在[2，作者介绍了以下定义，并宣布了以下定理。

定义1 (Mutlu等。[2),定义9)。假设是部分有序集和吗．和映射具有以下属性:

定理2 (Mutlu等。[210)],定理。假设是部分有序集和吗部分度规在吗与是一个完全的部分度量空间。假设满足定义1以及具有混合单调性质的连续映射．设有一个非递增函数这样和对所有也有和, 为．如果存在与和当时,与和．

在本文中，我们证明了这个定义1还不清楚。因此,定理2姿势不佳。而且，它的证明有许多错误。我们用一个例子说明它是失败的。最后，我们提出了定理的一个正确版本2．

2.预赛

为了更好地理解我们的主要主张，让我们介绍以下定义和符号。在续集中,将是一个非空集合表示乘积空间两份完全相同的．

定义3。一个二元关系 在 是不是一个非空子集．人会写(或)如果．一个二元关系在是反射性的如果对所有，确实如此传递如果对所有这样和．上的反身和传递关系预购(或准购)在进行吗．如果一个预订也反对称（和暗示),然后称为偏序。
在[3.，郭和Lakshmikantham引入了概念耦合不动点因此，他们开始了多维不动点理论的研究。

定义4 (Guo和Lakshmikantham [3.])。让是一个给定的映射。我们说是一个耦合不动点 如果

定义5。给定两个映射，我们说是一个共耦合不动点 和 如果
从今以后，我们将使用这种符号 函数被称为比较函数．

3.关于定理的主要说明2

在接下来的文章中，我们必须做以下的评论，以建议研究者如何根据定理证明新的结果2．（1）首先，我们指出定义1不清楚是因为它没有解释序列是怎样的和是这样的。如果他们是任意的，那么，对所有人来说， 因此,,所以对所有．因此，这两个映射都是常量，结果一点也不有趣。(2）因此，定理2是错误的证明。准确地说，它的证据收集了非常不同的错误。（3）尽管定理2假设和具有混合单调性质，这个条件在其证明中没有使用。我们认为这是不必要的。唯一的定义1是用来证明迭代序列和它们很单调。（4）作者没有澄清是否要么是或．在任何情况下，测试函数可以取任意的实数。很明显，收缩情况(4)意味着在不同的点取非负值，但它不能覆盖所有的可能性。特别是函数不在．然后,可以取任何实值(其图像不受限于）.（5）前面的评论很重要，因为如果我们在(4)，我们推断 在度规的情况下，让距离有界通过．如果,然后对所有，这是对映射的一个非常强的限制和．（6）在[2，第3页，公式(15)，作者宣布 然而，原因尚不清楚．即使我们能证明这一点和(未被证实)，条件在部分度量空间中不能保证。准确地说，这就是部分度量空间的特征性质。因此，(10)是错误的。(7）关于上述评论，亦有必要指出，收缩性条件(4)不允许我们上界，例如，术语．然而，作者在[2，第3页，式(16)，即“同样地，我们可以得到 让我们看看错误在哪里。定理2只假设不平等

发生的前提是和；这是第一个论点必须小于的第一个参数．正如作者所定义的 然后 在这个案例中，并没有证明和．事实上，人们宣布了相反的不平等;也就是说,和．如果两个不等式都成立，那么，这意味着耦合不动点是．但是，证据必须分析其中的情况对所有．（8)同样，收缩性条件(4)不能用于研究该术语,因为 但是，在这个例子中，不等式和在这种情况下无法证明因为假设存在相反的不平等。(9）当作者试图证明序列和和往常一样，他们用矛盾推理。他们宣布如果不是柯西，那就存在了和两个部分子序列和这样 如果那么，最小的索引验证了这个属性吗 (见[2，第3页，公式(26)和(27))。然而，作者既没有说明为什么我们可以假设这些子索引是偶数的，也没有说明为什么(17)，包括部分子序列和，可以从(16)，其中只有和有一个角色。在[4，作者论证了单维情况，但没有研究耦合情况。(10）在[2，第4页，公式(39)，其中作者宣布

考虑到是度量单位吗，如果该属性为真，则序列和对所有人都是不变的吗一般来说，这是错误的。事实上，众所周知，如果有一些这样,然后为公共耦合不动点。（11）最后，我们指出[2发音不正确。

4.一个例子

我们不清楚如何证明定理的反例2因为定义1他的姿势不好。第节第1项3.表明，一般而言，这是一个限制性很强的假设(和必须是常数和相等的)。因此，我们将展示一个其他假设成立的例子和不是恒定的，但是和没有公共耦合不动点。

让具有其通常的部分顺序的,让对所有．然后,是一个完全部分度量空间。让我们定义和通过 然后,和有混合单调性质，两个映射都是连续的，和．让和，我们有这样的事实和．然而,条件是不可能当,所以和不能有公共耦合不动点。它只剩下证明收缩性条件(4)持有。

让是这样的,和．作为,然后,所以 另一方面 因此, 考虑到 我们得出不平等(22)持有。

5.一个正确的版本

考虑到本节给出的评论3.，我们提出定理的一个正确版本2．第6项说明了条款一定不能在收缩条件下使用，并且项目7-8表明使用两个不同的映射是非常困难的和在收缩性条件下，我们不能同时比较，,．如果和不涉及第二个成员的收缩条件，几乎是不可能控制的条款当和可以是偶数和奇数。

近年来，在各种抽象度量空间中的许多耦合/三倍/四倍/多维不动点定理已经变成了它们相应的一维结果的简单结果(参见，例如，[5- - - - - -10]及其参考文献)。按照这一研究方向，我们在此提出定理的正确版本2主要有三个原因:(1)为了完整性;(2)描述如何从一维情况推导出部分度量空间中的耦合结果;(3)给出了两种不同映射下存在共耦合不动点的可能假设。在此之前，我们需要介绍以下基本内容。

定义6。让上是二元关系．(我)两个点被称为类似的如果或．(2)一个子集据说是-嗯命令如果每两点是可比。(3)一个映射被称为不减少的如果意味着．

定义7。有人会说是一个部分有序的部分度量空间有时，它也被称为有序偏度度量空间)如果部分度规在吗和有部分订单吗．

定义8 (Nashine et al. [4])。让是部分有序集。一对映射据说是弱增加如果和对所有．映射据说是-弱等渗性增加如果对所有,我们有．
最近，Nashine等人[4证明了下面的结果。

定理9 (Nashine et al. [4),定理3.6)。让是一个完全的部分有序的部分度量空间。让是两个这样的映射 对所有类似的,在那里 和连续函数是为每一个，．我们假设如下:(我) 是弱等渗性增加,(2) 和是连续的。
然后,设置的共同不动点和非空的,为．此外,一组是否有序，当且仅当和有且只有一个公共固定点。

基于这一结果，我们提出了一个耦合版本，可以解释为Mutlu等人定理的正确版本。

定理10。让是一个完全的部分有序的部分度量空间，令是两个连续的映射验证或， 在哪里 和连续函数是和为每一个．还要假设所有人都是这样，我们有这样的事实 然后,设置的公共耦合不动点和非空的, 对所有．

为了证明它，我们使用下面的符号和基本事实。让是一个部分的度量和定义通过 然后,为偏度规空间。现在,让上是二元关系定义这个关系在通过 然后,也是二元关系吗带有以下属性:if有部分订单吗,然后有部分订单吗．

给定两个映射，让我们用表示的映射 如果是连续,然后是连续。使用(25)，收缩情况(26)可以重写为(24)在这个意义上 对所有这样或(例如,可比的）.此外,不平等(28)相当于 也就是说,是-在部分有序集合中弱等频增加．应用定理9,一组的共同不动点和非空的,，为．注意，一个共同的固定点和难道不是一个共同的耦合不动点和．这意味着集合的公共耦合不动点和非空的, 对于所有公共耦合不动点的和．

6.结论

我们首先注意到，我们可以为论文提出进一步更正的表格[2]．我们喜欢定理10由于它是由[2，即定理2．

其次，我们可以列出定理的几个结果10，例如，通过采取和/或代替与．人们还可以通过替换得到一些推论用不同的组合．此外，很容易陈述定理的类比10在“完全部分度量空间”的上下文中，而不是“完全部分有序部分度量空间”。关于论文的框架，我们避免列出所有这些容易被读者推导出来的结果。

最后，独立于抽象空间的结构(如度量空间、部分度量空间、G-度量空间，b-度量空间等)，我们强调多维不动点定理，特别是耦合不动点定理可以从已有的文献中相应的结果推导出来(如[5- - - - - -8])。

利益冲突

两位作者宣称他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在撰写这篇论文中做出了同等和显著的贡献。所有作者阅读并批准了最终论文。

致谢

这项研究得到了沙特阿拉伯吉达阿卜杜勒阿齐兹国王大学科学研究系主任(DSR)的支持。作者感谢匿名审稿人的精彩评论、建议和想法，帮助改进了这篇论文。Antonio Francisco Roldán Lόpez de Hierro部分得到了军政府de Andalucía和安达卢西亚CICYE的FQM-268项目的支持。