文摘
幂级数解法通常用于解决普通和线性偏微分方程。然而,尽管其效用的应用这种方法是有限的这个特殊的方程。在这个工作我们用幂级数的方法解决非线性偏微分方程。该方法应用于解决三个版本的非线性时变Burgers-type微分方程以证明其范围和适用性。
1。介绍
幂级数解(PSS)方法是一个古老的方法解决线性微分方程是有限的,两个常微分方程(ODE) [1,2)和偏微分方程(PDE) (3,4]。线性PDE历来解决使用分离变量的方法,因为它允许获得耦合系统PSS的颂歌容易解决的方法。一些例子的勒让德多项式和球函数中使用拉普拉斯方程在球坐标或贝塞尔方程的圆柱坐标(3,4]。众所周知,在非线性PDE (NLPDE)这个过程是不可能的。
在这个工作我们比较光谱法(SM)与PSS法求解三个版本的非线性时变Burgers-type方程(5因为我们知道SM是更准确的数值方法。SM与搭配点(SMCP)是一种数字技术应用于高精确的近似解线性和非线性微分方程的解决方案(6]。这是用于解决PDE使用多项式插值函数正交基,如傅里叶,切比雪夫,或勒让德函数7]。SM也非常成功解决任何类型的问题,包括积分微分问题[8),纽曼边界值(9),和非线性PDE (10]。
我们用符号计算软件包Matlab得到截断级数近似代数操作。这个程序可以帮助做乏味的代数操作更容易。
2。幂级数解法
我们知道几乎全部NLPDE没有解决方案的解析式,也就是说,一个解决方案在一个封闭的形式已知的功能。我们的目标是构建一个解决方案使用幂级数,利用幂级数来表示任何函数的能力与代数系列发展理念来构建一个近似解11- - - - - -17]。它也有可能近似一个解决方案,包括如果一个解析形式不存在,以类似的方式像泰勒级数近似函数。PSS的存在并不能保证本身代表函数在遥远的一个精确的近似点相对于核心价值。然而,考虑到需要满足NLPDE PSS,与初始值条件(IVC)或用边界值条件(BVC),因此我们可以构造一个提出问题来获得一个精确的解决方案,与所有这些限制条件约束(18]。此外,PSS是一个平滑函数的多项式,这能保证解的存在(18]。
PSS方法代表了通解了一系列未知系数。当PSS多项式代替在PDE我们获得膨胀系数的递推关系。这些系数应该表达的函数系数从印度河流域文明或BVC结果。这样,我们获得一个方程组取决于这些初始值系数。为了获得和解决一个一致的代数方程组,我们还需要相同数量的系数和方程11]。所有这些条件,一开始,提供一个保证PDE是提出问题;存在,独特性,平滑的解决方案是定义良好的18]。
最后,PSS方法找到semianalytic提议解决方案作为一个渐近近似(空间和时间)的有限级数以最小误差的扩张的系列。从数值分析当一个幂级数收敛在一个区间一个函数收敛半径。在我们的工作中,收敛半径被定义为每个区间估计如下我们看到我们的错误。
3所示。数值结果
首先,我们考虑非线性时间一维广义Burgers-Huxley方程(5]: 与初始条件 在哪里,,,是真实的参数。与承认,这个方程行波解。然后读取 与,在那里和代表了行波的波数和频率,分别作为未知变量。介绍(3)(1我们获得 拟设为(4)将PSS 各自的衍生品和非线性项(4)导致 用一系列的(6)(4),我们得到递推关系 用Matlab解决,直到学位的PSS (4),我们获得以下值系数: 我们将使用初始条件获取未知系数(8)。从初始条件(2),我们表达作为一个多项式系列应用泰勒定理。然后 匹配系数的多项式系数(8我们拟设),我们获得下一个值:,,,,,,,,等等。
与和值匹配各自的系数(8),我们获得一个代数2方程组有两个变量。解决这个,我们获得未知变量的值和: 然后,完整的解决方案作为NLDE PSS (1)读 因为它通常是当一个近似解与PSS,必须执行一个测试精度的近似。通过这种方式,我们计算精确和近似解定义为绝对的区别,在那里从获得的精确解(5),而是计算解决方案(11),在点,直到力量的程度,分别。我们计算错误,参数值,,时间间隔内,和。这个结果如图1。这个参数设置被选中,因为它是相同的一个用于(5)做一个比较。幂级数的收敛性,,取决于而且系数,然后可以调整这些解决NLDE和找到一个解决方案,接近其行为任何距离和时间,至少在我们的时间间隔计算解决方案。
我们也比较近似解空间的固定部分,不同的功率多项式(),相对于精确的结果。这种比较是图所示2。从这个图我们注意改善权力程度增加时要好。以类似的方式,我们解决了(1),和。为和的时间间隔和我们计算错误如图3。最后,在图4我们显示的绝对误差(1)与的时间间隔和。
对于我们的第二个例子,让我们考虑非线性时间维Burgers-type方程(5]: 在哪里,,是真实的参数、初始条件。在第一种情况下,(12)承认一个行波解。执行转换 在哪里和和是未知参数,更换(13)(12),那么 我们使用以下PSS拟设为(14): 然后 或移动方便和索引来,然后 用上述系列(14),我们有 这个递归关系PSS中使用到的程度。使用Matlab解决复发代数系统,我们获得 扩展的初始条件(12通过泰勒级数)作为一个多项式, 匹配系数(20.系数)的解决方案(19),我们到达 的和匹配值是用来得到一个系统的两个方程两个变量,和。解决这个,我们获得未知变量的值和: 和完整的解决方案(15)读 与前面的示例中,我们计算错误用的参数值,,时间间隔内和直到权力程度。这个结果如图5。在图6我们做的比较固定的的时间间隔与几个学位多项式()。
第三个例子,我们考虑的非线性时间一维广义Burgers-Fisher-type方程(5]: 与初始条件 在哪里,,是实数。当承认,这个方程行波解 与。这个是替换(24) 我们尝试PSS 所以的条件(27)可以写成 用(29日)(27),我们得到递推关系 这个递归关系与Matlab解决到的程度和系数的结果 初始条件(25)表达喜欢一个多项式系列应用泰勒公式 匹配这个多项式与多项式的系数的解决方案(31日),我们获得的价值系数:,,,,,,,,等等。与和值匹配各自的系数(31日),我们获得一个与两个变量2方程组解决,获得未知参数的值和: 因此,从解决方案(28)读 我们计算错误(34)和(中给出的精确解5使用的参数值)和时间间隔内和直到权力程度。这个错误是图所示7。图8显示了轨迹近似解的问题(24),,因为,和的时间间隔,与多项式()。在图9,所示的错误,和的时间间隔和。在图10,显示了计算误差,和的时间间隔和。
我们评论数据2,6,8所示的简单轨迹近似解由于他们的解决方案的NLDE轴的时间间隔固定的(比较与5])的行为是平滑的。这些非线性方程的误差生长在一个指数,线性方程组的行为的差异。我们表明,通过添加更多的术语来拟设系列,错误减少和解决方案是长时间和增加空间的扩展与其他方法相比,如光谱方法,是最准确的数值方法之一。PSS的方法是采用更复杂的轨迹所示(13),该方法用于解决混乱的NLDE。
4所示。讨论和结论
在这个工作我们已经表明,它可以解决非线性微分方程的幂级数解的方法。这个方法被实现为每个非线性PDE的一般近似解或歌唱,以类似的方式的解决方案一个线性德。我们将非线性问题转化为一个代数方程组。因此,用这种方法,可以获得一个提出问题的系统是一致的。这意味着系统有相同数量的变量方程,因此代数变量的数量扩张系列的(系数)用这种方法获得的数量是一样的方程。
我们已经表明,PSS的方法是一种semianalytic技术领先,在一个更简单、准确的办法,解决困难的微分方程的近似封闭形式表达。这是特别有用解非线性方程和留有余地来描述在一个精确的和收敛混沌动力系统的行为方式(13,15]。然后,该解决方案可以被近似到必要的程度到幂级数。PSS的收敛方法中使用的术语的数量取决于幂级数。一旦我们知道它,我们可以确定域空间和时间的解决方案是有效的。三个例子的非线性时间维Burgers-Huxley Burgers-type, Burgers-Fisher-type方程是解决在这个能力的方法。从[精确解析解之间的误差5在每种情况下相比)和我们的PSS。我们得到一个更好的近似在较大的空间和时间间隔(~ 10−3-10年−7)与PSS的秩序但不是的准确性(5)在一个小空间,解决方案的时间间隔。
PSS方法在传统方法的优点是相同的那些在工作对解决任何NLDE光谱方法。这意味着它可以解决NLDE准确性更高的间隔时间和空间比其他传统方法,添加更多的术语系列。
总之,我们已经表明,PSS方法技术可用于解决这类非线性微分方程(11]。在这部作品中,主要目标是解决偏微分方程非线性汉堡类型与尺寸1(空间)+ 1(时间),做一个转换这一单一的非线性方程。我们比较了PPS与来自谱方法的解决方案。我们相信可以扩展的解决方案2或3维空间加上时间维度。将在以后的工作中被认为是这种可能性。过程提供了一个更大的准确性增加条款系列。PSS方法打开的可能性分析NLPDE的其他特征,获得更好的semianalytic近似涉及较少的计算工作。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者非常感谢Rogelio Ospina罗马洛佩兹桑多瓦尔市和仔细的阅读和有益的讨论。大肠Lopez-Sandoval愿意承认巴西的金融支持机构CNPq格兰特PCI D-B / 2012和UESC-BA PNPD-CAPES。