文摘

我们认为size-structured细胞种群模型的数值积分。我们提出一个新的二阶数值方法来实现解决方案。方案分析和最优收敛速度。我们展示实验预测精度的方案。

1。介绍

人口模型是生命科学的重要工具。几种类型的他们通常用于文学,和人口平衡模型的应用模型。这些模型描述人口的发展,考虑到结构的几个生理特征。他们的主要特点可以发现在1- - - - - -3)和引用。细胞数量也可以在这个框架中描述。他们的结构,在其他事物之外年龄在细胞周期,细胞大小、或其他特性,比如蛋白质组的内容称为某些标记的细胞周期蛋白和强度。的引用,我们可以提到最近的文学描述了非常不同的振荡等问题在细胞周期蛋白内容结构化模型(4),酵母菌种群的生长形态结构的(5,6),或基因表达label-structured人口(7]。还引用其中提供的信息研究的细胞群的结构模型。我们认为提出的线性size-structured人口模型Diekmann et al。8]。这是一个起点的研究更复杂的问题。在这个模型中,细胞有丝分裂发生在对称方式和细胞不分裂,直到达到最小尺寸。这意味着有一个积极的最小单元尺寸。然而,我们认为必须有一个最大尺寸,规范化每个细胞,此时可能会分裂或死亡。我们研究的模型是由一个守恒定律 ,一个边界条件 和一个初始大小分布 独立的变量和分别代表大小和时间。因变量size-specific细胞的密度和大小吗在时间我们认为任何个人不同的大小根据下列常微分方程: 非负函数,,代表了增长,死亡率,分别和分裂率。这些通常称为的重要功能和定义个体生命的历史。注意,所有这些依赖于大小(内部结构变量)。我们应该指出,在(1),生殖过程分成两个相等的部分一直在考虑这两个术语的分裂率出现了。在这里,我们应该注意到这个词被解释为0时。我们执行这个功能的使用功能和延长间隔值为零。条件(2)反映了细胞大小小于不能存在,这一事实的结果只细胞分裂后的最小尺寸。

按照公认的智慧生物,存在一个最大尺寸。这意味着细胞会分裂或死亡的概率之前到达。因此,如果我们认为生存属性,也就是说,一个个体的概率的大小达到规模, 考虑一个最大尺寸意味着的假说。之一的形式这一事实可能反映了包括考虑到增长函数由冯Bertalanffy引入。这些功能满足,这是足以验证时所需的条件和是积极的和有界函数。注意,如果是一个连续函数中定义,那么这个假说暗示。此外,解决这个问题必须满足,,因为我们假设最初没有细胞的最大大小(2]。

一般来说,生理结构人口模型是很难解决的。虽然理论模型的属性,如存在,独特性,平滑的解决方案,和长期行为(稳定状态和其稳定性的研究)研究可以不解决表达,知识的定性或定量的行为更有形的方式有时是必要的。因此,数值方法提供一个有价值的工具来获取这些信息。在一般的情况下人口结构模型,提出了许多数值方法来解决这些问题(见[9,10)和引用其中),可以观察到他们的收敛性分析中发现的困难在11例如,]。

对于人口平衡模型等(1)- (3),Liou et al。12)提出了一个替代过程的解决方案基于一代又一代的方法,在某些情况下提供分析的解决方案。然而,数值积分可能需要更复杂的情况。Mantzaris et al。13)提出了有限差分格式和Angulo Lopez-Marcos [14)与第一收敛特性曲线方案分析。然而,直到那一刻,没有考虑细胞的最大大小。有界的情况下大小间隔,Mantzaris等人的作品。15- - - - - -17]提供了一个广泛的比较基于有限差分的数值方法和光谱和有限元素法,分别。在他们的工作中,作者比较方法的效率提出了但是他们没有展示他们的收敛,不注意初始和边界条件的兼容性或不连续造成的最大大小。注意,缺乏解决方案的平滑特性会影响这种高阶方法的效率。在我们以前的工作(18),我们制定两个一阶数值程序、有限差分格式和方法特点,并分析了完全收敛。不同的工作提供一个详细的跟踪不连续引起的模拟。

当选择一个数值方法时,必须考虑效率(19]。一般来说,在一个长期的集成(例如,看到一个稳定的大小分布的研究(18]),使用方法,保留一些定性属性的解决方案可以表现得更好,因此,特性曲线的方法将优秀的候选人。在本文中,我们考虑一个新的特征方法离散化的基础上解决问题的积分表示沿特征线。原来在这个过程18)这个问题,获得宝贵的一阶方法。在这里,为了产生一个二阶方案,我们认为不同的积分离散化表示解决方案。二阶保持良好的折中方法所需的平滑度的重要功能基于现实的生物数据和数值方案的效率。然而,这个替代离散化产生一个隐式的数值方法,原则上,增加了稳定性也计算成本。然而,由于问题的特殊结构,一个合适的数值方法的实现提供了一个更便宜的显式的过程。

节2,我们描述了数值方法近似的解决方案(1)- (3)和评论所使用的高效实现。部分3用于该方法的收敛性分析。节4,我们给出一些数值实验证实了理论结果和描述的性能数值方法在不同的情况下缺乏平滑特性相关的重要功能和解决方案。

2。数值方法

当我们提到的部分1,有一些计划提出获得的解决方案(1)- (3)。他们中的大多数是一阶收敛的。一方面,这个收敛属性产生缺乏效率,可以减少与高阶方法。另一方面,在平滑的解决方案(1)- (3)不是高达最近计划需求。然而,二阶方法提供一个良好的平衡:他们甚至提高效率与常规数据的缺乏。

在这里,我们引入一个整体二阶数值方法一体的特性曲线的问题。它采用的理论表示解决方案(1)- (3)的框架介绍18]。因此,这样的工作后,我们定义和表示需要价值的特性曲线当时即时(1)。它是下面的初值问题的解决方案: 通过这种方式,解决方案(1)是由 注意,在这个新的布局,我们必须解决两类问题:方程定义的集成特性曲线(6)和解决方案(7),沿着特征提供了解决问题的办法。我们使用离散化过程,以解决这些问题。

我们考虑模型的数值积分(1)- (3沿着时间间隔)。因此,给定一个正整数,我们定义并介绍离散时间的水平,。我们开始与集成(6)提供的网格空间变量(大小)的方法。这个网格是不均匀的,不变的随着时间的推移,由于增长速度函数,明确、独立的变量。然而,请注意,这取决于时间隐式条件对细胞大小。它通常被称为自然的网格(9]。在这项工作中,我们电网通过使用二阶近似的数值积分方案(6)。更准确地说,修改后的欧拉方法提供了以下近似自然网格: 整数代表过去的网格点的指数计算大小间隔,选择满足条件,和合适的常数(我们指9为进一步的细节)。注意点和,,,属于同一数值特性曲线。最后,我们解决最后一个网格点。

然后,表示,,,让是一个数值近似。我们提出一个一步到位的方法来获得它。因此,从一个近似初始数据(3网格)的问题,例如,函数的限制,数值解在一个新的水平的描述。这种方法获得的一般步骤是以下的二阶离散化(7):积分梯形求积规则接洽。为, 在前面的表达式,和代表大小近似的解决方案和(不包括在离散网格)和时间和,分别。所以,为了保持二阶,我们通过线性插值计算基于最近的网格点。更精确的计算近似的解决方案和时间,首先我们寻找指数这。因此, 显然,逼近值最小和最大尺寸 似乎隐式数值程序。然而,如果我们在新的时间计算近似水平向下(即。,首先使用(11),然后从来使用(9),最后使用(11)),它导致了一个显式的过程。原因是,右边的值(9)的时间要么是零个或以前计算。

3所示。收敛性分析

在本节中,我们执行方案的收敛性分析。它是基于属性的一致性和稳定性的方法。从今以后,表示积极常数是独立的,(),();可能在不同的地方有不同的值。

当地的离散化误差是由以下方程:

引理1。让三次连续可微的;让功能,,连续可微的两倍。因此,正如,下面的估计:

证明。从(12)和(7),通过增加和减少适合当地的离散误差的表达式,我们获得以下约束: ,。现在,考虑的收敛性质梯形求积规则,修改后的欧拉方法,插值过程,假定函数规律,,,我们获得估计(记住和必须考虑平滑扩展域)。

在以下结果,我们证明了数值方法的收敛性。我们表示错误产生的数值近似 ,在那里节点值的理论解和吗是数值方法获得的近似计算方法。和 ,。

定理2。假设下的引理1,如果,因为,然后

证明。从(9)和(12),我们有 ,。考虑到平滑函数的属性和,我们到达 ,, ,。然后,通过递归的论点,我们获得 ,。因此, 。通过离散Gronwall引理和使用(13),我们到达 ,估计。

4所示。数值结果

现在,我们提出一些不同的实验是为了测试数值方法。我们认为细胞分裂的最小大小。我们假设没有细胞死亡。因此,,我们选择size-specific增长率作为。

测试问题1。在第一个实验中,我们把size-specific分裂率函数 我们考虑到消失的时间间隔的函数。系数选择,以确保最大的价值是。注意扩展函数是连续可微的两倍。

为了避免不连续造成的不相容的初始条件,我们令人满意的。在第一个实验中,我们选择 与相应的扩展的间隔。系数选择,以确保最大的价值是。

我们不知道问题的解析解,因此,为了比较,我们将作为一个精确解的近似计算足够小的价值大小的一步。在实验中,我们在最后的时间计算的解决方案与。如果我们分析(近似)二阶导数的计算解决方案,我们观察到所需的规律的假设收敛结果(见图1)。

在表1获得的结果,对不同的步长值的方法。为每一个在最后的时间,我们比较数值解的计算,数值解的,表示对应在粗网格与获得,。第二列在表1显示了在不同的离散大小最大误差;也就是说, 第三列显示了数值收敛阶,我们计算的公式

结果在表1清楚地确认预期的二阶收敛。

测试问题2。在第二个实验中,我们用一个size-specific部门率函数不满足所需的平滑的假设收敛结果。例如, 我们再次考虑消失的时间间隔。系数选择,以确保最大的价值是。注意,现在,这个扩展函数是不连续的。

假设相同的初始数据(25)在前面的实验中,我们得到表中给出的结果2。再一次,我们观察一个二阶收敛性。

也许这些数值结果可以解释为考虑到产品的二阶导数(近似)是连续的,可以观察到图2。融合结果的详细修改(我们不包括为了简单起见)允许我们以确保相同的被估计的放宽假设,假设产品的扩展是连续可微的两倍,而不是扩展的。

测试问题3。我们把size-specific分裂率函数(28)之前的实验不满意的融合结果的平滑的假设。但是现在,我们认为以下初始数据(生产nonsufficiently顺利的解决方案,我们将展示), 和相应的扩展功能。系数选择,以确保最大的价值是。注意,现在,扩展函数可微的。

在这种情况下,,我们观察到的二阶导数(近似)不连续(图3(一个))。我们看到同样的行为(近似)产品的二阶导数(图3 (b))。现在,以前的收敛性分析是无效的。

表3显示了结果的方法。我们认为仍然有收敛的数值近似。然而,我们不遵守一个定义良好的秩序。

5。结论

研究细胞群通过size-structured模型的使用是一个当前的话题。其数值积分的展品在获得巨大发展定性或定量的信息解决方案。然而,有一个缺乏对一些重要问题的关注参与这样的集成。首先,它是必要的尊重个人的最大大小,这是智慧生物。第二,适当增加的效率与高阶方法的使用的集成。然而,很难融合这两个组件由于缺少平滑可能出现在一般情况下。

我们已经提出了一种新的数值方法获得的解决方案(1)- (3)。我们已经证明了它的二阶收敛性,我们有实验证实它。我们也观察到,数值,其鲁棒性在不同的情况下。

数值方法在这个工作可以扩展到不同的情况,如不均匀划分情况(20.),假设密度独立部门的功能。在这种情况下,方程涉及的术语诞生一个积分,必须通过一个合适的近似正交法则。由此产生的方法不同于方案考虑。例如,非局部项的离散化在平等的裂变的情况下需要一个插值程序,但在不平的情况下没有必要。设计的数值方案来自一个隐式离散化,但再一次,一个向下的实现提供了一个明确的数值程序。然而,对于更一般的模型,数值方法的收敛性证明可能比等于分区情况。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢那些评论家的建设性的和有用的建议。这项工作的部分支持由项目mtm2011 - 25238和mtm2014 - 56022 c2 - 2 - p Ministerio de隐藏的y Competitividad(西班牙)和VA191U13军政府de卡斯蒂利亚y莱昂(西班牙)。