文摘
我们考虑为标量微分方程边值问题,,,在那里是7级多项式和是一个参数。我们用时间图函数的相平面法结合评估结论正解的数量。分岔图的构造和例子是说明分岔过程。
1。介绍
非线性常微分方程边值问题正解还是古典的形式迅速发展分支分析。传统等问题的解的存在性、惟一性和连续依赖边界数据讨论了古典与现代的来源(1,2]。少研究的复杂问题的解决方案以及对参数的依赖。特殊价值的结果正解的存在是由于多个应用程序。我们在这里提到的作品(3- - - - - -7),两点边值问题的参数被认为是二阶常微分方程。发现多个正解的问题处理(8]。非线性多项式型被认为是在9]。调查的时间图技术应用类似的问题(10]。
在这个报告中我们的目标是演示如何基本相平面分析结合时间图函数的评估可以为研究者提供重要信息的数量和性质的解决方案。我们选择的问题 在哪里是一个7级多项式。我们的技术是基于相平面分析。寻找积极的解决方案,我们将使用第一个零函数(所谓的时间图功能)。我们指的是由第一个零函数映射,在那里是第一个零的柯西问题的一个解决方案吗
摘要(11讨论了病例第三,五度多项式。这是发现问题(1),分别三个或五个正解。我们关注的情况下7级多项式。
节2,我们提供关于第一个零功能的基本事实。节3,我们制定命题的狄利克雷边界值问题的正解。节中的示例4提供相应的时间图函数的详细描述,解决方案,和分岔图。在最后一节中,我们总结的结果,做出结论。
2。基本事实关于时间图功能
考虑微分方程 如果是一个解决方案(3)与初始条件 然后我们表示第一个零函数(时间图)柯西问题(3),(4)。
考虑一个参数的问题 表示第一个零功能。
之间的关系这两个时间图函数成立之前(11,12]: 如果柯西问题的一个解决方案(3),(4),然后 解决了初始值问题(5)。详情请咨询(12]。
3所示。与7级非线性多项式
在续集中,我们考虑的问题7级多项式如下: 在哪里 狄利克雷条件
让函数的原始功能 我们的条件 是实现。
让我们考虑相平面(8)。第一个零功能的价值所需的时间从一个点吗的第一个交点设在。表示由柯西问题的一个解决方案(5)。一组这样解决了狄利克雷问题(8),(10)将被称为一个解曲线。所有这些满足平等
的相图(8)7临界点;3是分类型的“中心”和4是分类型的“马鞍”:,,,。
考虑方程
假设,,,是初始值,这样的轨迹进入鞍点(如在图1)。
我们现在寻找狄利克雷问题的解决方案(14),(10)选择初始条件在一个单独的四个间隔,,,。
我们注意到阶段的画像(8)和(14)是等价的(临界点是相同的和轨迹一一对应由于公式(7))。如果我们改变然后进入鞍点轨迹的初始值也变化 。
命题1。对于任何,存在这样,在那里是时间图函数(14)。
证明。让是一个解决方案的鞍点。考虑解决方案为在哪里所需的时间是指沿着阶段轨迹点对点。趋向于零(因为趋于零不是一个临界点)和倾向于作为去。的连续性存在这样。
命题2。第一个零功能(14在每一个时间间隔,,存在,,分别。
证明。考虑解决方案为在哪里所需的时间是指沿着阶段轨迹点对点。然后倾向于作为去和倾向于作为去。函数自的右边是连续的(14)是一个多项式,连续依赖初始数据的解决方案。因此,有一个最低的在在一些也在这种情况下,时间函数有一个“U”形图,类似和。
备注3。时间图的图形函数u形段和正解的数量可能是一个,两个或多个解决方案取决于的图像有1、2、或多个路口的统一水平(统一是指间隔的长度)。
命题4。存在这样狄利克雷问题(8),(10)至少有七个解决方案。
证明。它遵循从命题1和2和公式(6),时间图函数方程吗和在(9)。
备注5。的相对位置,如果,不会改变倾向于。在此之前(6)。
注6。精确的解决方案问题(8),(10)取决于时间图函数的凸性关于这可以使用标准检查和在[13]。
4所示。例子
4.1。示例1
考虑方程 的相图(15)7临界点;3是分类型的“中心”和4点类型的“马鞍”:,,,(见图2)。
然后 的条件 是实现(参见图3)。
接下来,我们把所有的一起time-maps因此得到分岔图4。
4.2。示例2
考虑方程 012 b相图(18)7临界点;3是分类型的“中心”和4是分类型的“马鞍”:,,,。相图的结构(18)是一样的,(15)。
然后
鞍点的条件 也实现了。
如果我们看一下分岔图19,我们看到,没有什么价值在一些狄利克雷问题(18),(10)有七个解决方案,因为时间图函数的最小值之间的差异足够大。
5。结论
一个多项式的类型(9),但具有任意大的奇数的零存在的条件(0)总是存在足够大吗这样相应的边值问题(1)至少有积极的解决方案。
如果不是大存在的条件边值问题的解决方案的数量(1)的相对位置取决于第一个零函数的最小值(时间图)。这些相对位置可能是由参数的选择。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。