分形近似向量函数的新方法

文摘

介绍了新方法近似连续向量函数和向量序列的分形插值向量函数的多维分形插值函数的泛化。最佳分形插值向量函数的参数值。我们给近似方案的数据集,并考虑与不同条件下近似光滑曲线的例子。

1。介绍

众所周知,插值和逼近的一个重要工具的解释一些复杂的数据。但是有众多使用几个家庭的函数插值方法:多项式,指数,理性,三角,样条函数等等。还应该注意的是,所有这些常规nonrecursive方法产生interpolants可微的多次除了可能在一个有限点集。但是,在很多情况下,我们处理不规则的形式,不能与所需的近似精度。分形近似成为一个合适的工具。这个工具的开发和研究1- - - - - -3]。

我们知道海岸线等曲线,价格图表,难题,许多其他分形自Hausdorff-Besicovitch尺寸大于团结。近似,我们用分形插值曲线(1和他们的概括4),而不是规范的光滑函数(多项式和样条函数)。

本文是多维的泛化(5]。节2,我们认为分形插值向量函数取决于几个矩阵的参数。这些函数的例子。节3,我们组向量函数的近似优化问题通过分形近似向量函数。我们找到最佳的值通过矩阵微分矩阵参数。部分4说明了一些例子。

2。分形插值向量函数

让是一个非空的时间间隔;让和 插值点。对所有,考虑仿射变换 从今以后,小粗体字母表示列(行)的长度和大大胆的字母表示矩阵。

要求对所有以下条件成立: 然后, 解决系统,我们有 在矩阵被认为是作为参数。

备注1。请注意,。

还要注意,操作符将直线段之间的和直线段连接的插值点和。

让是一个非空的空间紧凑的子集,分离度规。定义哈钦森操作符(6] 的条件(2哈钦森运营商需要一个图形的任何连续向量函数段图的一个连续向量函数在同一段。因此,可视为算子连续向量函数的空间吗。

对所有,表示 在(1),用对向量函数。我们有作用于根据

假设我们考虑所有矩阵在线性算子。此外,收缩映射;也就是说,恒这样存在和我们有 然后,从(7),因此,运营商是收缩和收缩系数巴拿赫空间上,在那里。通过定点定理,存在独特的向量函数这样和所有我们有 函数被称为分形插值向量函数。请注意,如果是很容易的,,,然后通过插值点。在这种情况下函数被称为prefractal插值向量函数的顺序。

例2。图1显示了分形插值向量函数的平面。在这里,,和,,。矩阵的值和是

3所示。近似

从今以后,我们假设线性算子是收缩和收缩系数映射吗。我们近似向量函数通过分形插值向量函数构造的插值点。因此,我们需要适应矩阵参数以减少之间的距离和。

我们使用的方法已经开发了分形图像压缩(7]。表示巴拿赫空间广场综合向量函数的段,规范定义了 然后从(7)和(8)和评论1由此可见, 因此,是一个收缩算子和是它的不动点。

而不是减少我们减少使优化问题容易得多。拼贴定理提供了这种方法的有效性(8]。

定理3。让完备度量空间是收缩和收缩系数映射吗和不动点。然后 对所有。

考虑(4)和(6),写(7) 在哪里 因此,我们最小化的功能

引理4。让广场综合向量函数。假设矩阵非简并。离散矩阵集成是隐含的。然后,功能 达到最低的。

证明。为了证明这一点,我们使用矩阵微分学(9]。
考虑 功能存在的必要条件极值是对所有。由于的线性函数,这就足以证明只对矩阵,由零和一个团结。因此,我们有寻找系数矩阵的表达式。以矩阵形式这些表达式如下: 从哪个
因此, 然后功能是凸的。因此,价值绝对是最低的。

从引理4,它遵循功能(16)达到最小

例5。让我们近似向量函数上段由分形插值构造向量函数的值在点,,和,,(见图2)。然后,
计算,根据公式(22)如下:
应用仿射变换(1)向量 因此,和。

4所示。离散化和结果

在本节中,我们近似离散数据,通过分形插值向量函数构造的插值点,,。假设。我们适合矩阵参数减少功能

有必要使用前一节的结果。近似通过分段恒定向量函数。更准确地说,在那里最近的近似的邻居吗。用积分(22)总结得到离散点 它是足够的应用(1我们发现后)构造分形插值的向量函数。

考虑几个近似的离散数据的例子。

例6。让我们近似向量函数,在那里。图3显示了结果。在这里,我们有两个图片;第一个演示了初始向量函数及其近似与3分,第二个4分,几乎相同的两个函数。
在本例中仿射变换(1)有以下形式:

注7。向量在仿射变换的矩阵(1)=(如在前一个例子)。这意味着分形插值向量函数可视为古典仿射IFS吸引子。

示例8。下一个例子是致力于一个圆,。图4显示了结果。在这里,我们也有两个图片;第一个演示了初始向量函数及其近似与3点和5点第二个。
在本例中仿射变换(1)有以下形式:

示例9。阿基米德螺线,,该计划等于上面的示例,但这里我们使用更多的插值点,如图5。

示例10。图6显示了向量函数的近似,通过分形插值向量函数插值的16分。

例11。图的例子说明了近似维尔斯特拉斯函数(图7通过分形插值向量函数)。
这个例子来自[10),分形近似用于近似计算分形盒维的曲线。

5。结论

在本文中,我们引入了新的有效的连续向量函数近似法和向量序列分形插值向量函数,仿射变换矩阵参数。参数拟合是一个至关重要的部分近似的过程。我们已经找到合适的分形插值向量函数的参数值,说明它与几个不同类型的离散数据的例子。

我们假设分形近似是不同类型的数据非常有前途的计算工具,它可以用在很多方面,甚至在跨学科领域,具有相当高的精度,允许我们分形近似方法应用于各种各样的曲线,光滑和非光滑。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

执行的工作是根据俄罗斯喀山联邦大学的竞争力增长的政府项目。作者大大感谢匿名审稿人的仔细阅读本文,并提供建设性的意见,导致了一种改进的纸。

引用

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