出生率对年龄结构捕食者-被捕食者食人模型的影响

摘要

我们建立了一类具有年龄结构和同类相食的捕食者-被捕食者模型。它由系统组成常微分方程，其中是与新拟议的猎​​物出生率相关的参数。我们讨论这些新的出生率如何提供所需的灵活性，以产生具有良好良好的解决方案的差动系统。这些模型所需的主要特征是所涉及的物种之间的共存，其在数学上转化为稳定的均衡和周期性解决方案。搜索这些特征是基于引发的捕食功能，该捕获功能考虑了猎物中的摄入同学。

1.介绍

捕食者 - 猎物群体的建模是一个集约化的研究领域，其中提出了各种模型来描述和分析捕食者 - 猎物模型中群体的控制，振动，延迟成熟时间效应和模式形成等不同的机制随着扩散：例如，参见[1-10]．这些模型的一个相关特征是捕食者-食饵共存，这对获得真实的捕食者-食饵交互模型至关重要。在数学上，第一类共存是由稳定均衡建立的，稳定均衡是模型的最基本解。第二种共存是由稳定周期解给出的，这是捕食者-猎物生态系统中最普遍接受的共存类型;然而，这在技术上更难实现。

我们的第一个目标是提出和分析从Gurtin和MacCamy提出的经典方法衍生出来的模型[5.那6.求解具有年龄结构的捕食者-被捕食者种群模型。这种方法的起点由麦肯德里克-冯福斯特方程给出[11生成的模型包含积分微分方程。通过引入适当的出生率，就有可能得到由常微分方程组给出的模型。我们提出的模型的一个重要特征是考虑了同类相食对猎物的影响，因为一些研究已经报道了捕食者-猎物系统中同类相食的稳定结果[12那13]．自然界中有很多同类相食的例子，例如，困惑的面粉甲虫(种有害单独） ［14]、红粉甲虫(种有害castaneum） ［15]和邓杰内斯蟹(Metacarcinus高地”） ［16]．

我们的第二个目标是分析周期解的存在性与出生率的函数形式之间的关系。我们需要模型的解析解，或者它们的潜在奇点只存在于可移动极点。这样的过程，称为分析建模，已于[17]．在这样的工作中，建立了导致特殊非线性的必要条件，抛弃了传统的相互作用项，如质量作用定律和logistic项。在捕食函数中，捕食者与猎物共存。与这种新方法相关的一个可能的缺点是，为了实现共存，必须对系统施加限制性条件。希望简单的模型能被彻底地分析，然后在此基础上衍生出越来越复杂的模型，这是我们在这里将使用的基本方法。

在尝试建立生命率变化模型之前，我们需要解决年龄结构信息的严重缺乏问题。为此，我们在Section中提出建议2参数化的出生率概括了以前作品中提出的诞生率。然后在部分3.在此基础上，我们利用一般框架推导了基于新出生率的具有年龄结构的捕食者-被捕食者模型。节4.，我们分析包括数值模拟在内的模型，并解释结果的生物学含义。最后，本节给出了结论5.．

2.猎物分析

具有年龄结构的种群模型通常用于分析成熟延迟和寿命较长的动物种群的动态进化。这种人口模型的主要组成部分之一是按年龄划分的出生率。出生率通常是决定人口增长率的主要因素。这取决于生育率水平、人口年龄结构和许多其他因素。出生率的定性性质包括，新生儿和老年人的出生率预计是小的，而对于年轻的成年人，它必须具有单峰函数的形状，对于成年的人，它的值是最大的。在我们的例子中，我们假设出生率只取决于人口的年龄。用数学表示的出生率为仅对非负年龄定义的连续函数;也就是说,它是一个紧支持的正有界函数。由于老年人的出生率是0。也就是说,， 为了和对所有对于一些常量和

函数有几种函数形式已经在文献中介绍过了。例如，在[18，我们引入了猎物种群的适当繁殖率 与和这个函数没有紧凑的支持，但是对于大的值，它实际上是零。让我们回想一下生育函数(1）以适合许多哺乳动物的方式行事，如果， 然后已被用于某些鱼类。在这种情况下消失了等于0，当的值很大时它趋于0．在这个年龄达到了全球最大值等于．在这里，我们提出一个参数化的出生率，其中包括(1)作为一个具体的例子。这个新速率是由 在哪里是一个自然数。注意，新的速率在数学上和生物学上都具有所有必需的属性，因为对于较大的值，它实际上是零．参见图1，我们画出对于某些特定的值．澄清新的出生率，有很重要的是，将允许我们得到一个微分方程系统，而不是我们将在下一节讨论的积分微分系统。

3.非自治模型

在本节中，我们开发了年龄结构化模型，包括我们的新建议的诞生率函数以及猎物和通用捕食相互作用的自我限制。以前分析了这些新模型的简化版本17那19]．在这些模型中，通过考虑出生率(1）.出生率的作用也很重要，因为它允许我们得到以下微分方程组(而不是积分微分方程组): 在哪里那那,代表被捕食者的总种群、在同类相食中存活下来的被捕食者新生儿的数量、均衡时的净死亡率以及同一时刻的捕食者总种群,分别。的函数和为一般捕食函数，系数为正常数。函数之间存在一定的关系和可以建立特定情况。

让我们注意到，这个模型假设，如[20.，新生儿比成年人口早出生，而且每单位时间只有一小部分新生儿能在这种同类相食中幸存下来;也就是说, 在哪里是幸存的部分;因此．通过假设猎物死亡函数率依赖于两者，建立了猎物幼崽向食物转化的模型和．

接下来，我们将基于出生率构建年龄结构模型(2）.让我们考虑一下这个年龄的猎物群体当时用．总人口是各年龄段的总和:

我们还使用麦肯德瑞克方程来考虑年龄结构[11]：

现在，让我们找到总人口的微分方程，，新生儿的数量，．为了做到这一点，我们整合（6.）从零到无限远，获得： 新生人群计算为其对应的微分方程为6.)以及新的出生率，再次集成，并使用部分集成：

通过定义变量，可以将这个积分微分方程转化为常微分方程作为

这个新变量还满足通过导出获得的以下微分方程（9.关于要得到

同样，我们得到了一个积分微分方程，但是上面描述的过程可以通过定义来使用

一般来说,对我们获得 根据定义可以写成

最后对我们得到了

由于我们发现实现共存的基本机制是猎物的自我限制，我们将假设因此，将其代入模型得到以下猎物年龄结构模型: 在哪里那那那那那,是积极的参数。

在模型中有两个重要的选择。第一个是选择后代进入猎物群体，，二是如何假设捕食过程的数量增长。的数量表示单位时间内在同类相食中存活下来的新生儿数量。在[8.]那里被认为是．我们假设只取决于为了包括不同形式的同类相食。因此对于一些合适的函数．在 [17那19]，我们提出了Painlevé分析提出的一般捕食函数，我们将在本工作中使用。我们将表示捕食者的数量及其相互作用．所以我们最终的模型就是这个形式

4.数值结果

在本节中，我们将重点讨论系统的数值分析(17）通过选择合适的功能和，以求得种群共存。这些函数的函数形式是从[17]，包括一些已知的生物模型，如Lotka-Volterra模型，具有Holling型捕食功能的捕食者-猎物模型。在一般情况下，到目前为止，我们还没有关于这两种功能之间关系的生物学信息。我们从[17，以说明改变参数的效果．寻找相关的捕食函数是一项困难的任务，它依赖于被分析的特定系统。重要的是，共存的建立不仅需要一个稳定的平衡点，而且需要一个稳定的周期解。这一要求是最重要的技术难题，但在现实生活中相互作用的人群中很常见。

我们的目标是分析出生率如何改变系统的行为(17），也就是说，调查不同功率的效果在出生率方面。为了做到这一点，我们将选择参数的一些选项我们将分析分为几个案例。

在我们选择的第一个案例中考虑到同类是人口控制的平均值，而遵循质量作用定律。本个案已于[17]在第二种情况下，我们选择在哪里食人是主要的食物来源在第三种情况下和最后，我们考虑第四种情况和．所有这些组合都给出了这种情况下的周期性分支解

4.1。情况1 （和）

这种功能的组合和分别对应Lotka-Volterra型的新生捕食相互作用和饱和项。这个函数首次于[18的近似假设捕食者的数量，小: 我们把作为以下比例截断表格假设和系数是加权衡的贡献吗在模型中:

函数的选择的Lotka-Volterra捕食项，是通过考虑捕食相互作用的最简单情况而得出的。系统(17)的功能选择和与并提出固定系数作为物种共存的可行解。因此，通过修正猎物出生率进行分析是一个重要的案例。

我们将修复除此之外的每个参数，有价值那那那 ,当我们改变时，我们发现对于每个值有11个解分支和每个价值．在这些分支中，只有5个具有生物学意义。其中四个对应于平衡分支另一个是周期分支。平衡点的稳定性随参数的变化而变化．但是，重要的是重要的是这种周期性分支是不稳定的，但是它是稳定的。遵循稳定周期分支解()，周期增大到无穷大。从生物学角度来说，这些结果很重要，因为通过改变出生率，我们能够从一个不稳定的系统中获得共存。从图中可以更清楚地看出这些事实2我们在哪里绘制参数对解决方案的规范。对于静止解决方案，我们使用欧几里德规范和定期解决方案，我们使用规范 在哪里是解的周期。稳定周期解的分支用黑色曲线表示，平稳分支用彩色曲线表示。虚线表示解对于参数值是不稳定的。

4.2。例2 (和）

在这个例子中，我们研究的是一种社会性猎物，当它们的数量足够大时，它们会对捕食者产生攻击性，但数量小时，它们就容易受到影响;例如，我们可以考虑非洲水牛(Syncerus caf)作为猎物。因此我们选择成正比．为了我们选择截断的形式类似于（19）.这一次均衡点延拓和周期解的计算变得更加复杂。我们再次固定所有参数的值并改变．这些值与案例1中相同，除了这意味着不考虑自我限制。我们发现对于任意的值，平衡解和周期解都只存在一个分支而只是为了对于每个特定的初始条件。周期分支是稳定的，周期也逐渐增大到无穷大。在…的情况下周期性分支仅改变稳定性，仅用于小参数制度。请注意，即使是如此，共存就建立了。在图3.我们可以详细介绍这些事实。在这种情况下，卓越的是，无需自我限制来实现共存。

4.3。案例3（和）

在这种情况下，我们选择成正比为了我们选择截断的形式类似于（19）.常量的值与情况1中的相同。如在情况2中，至少有一个平衡溶液和一个分支的周期性解决方案的分支，至少用于案例更大的值没有分析。周期分支是稳定的，它的周期比情形1和情形2的周期增加得更快。在这种情况下作为Hopf分岔点的摄动参数(见图)4.）.

4.4。例4 (和）

这个案例仅仅是为了说明捕食者相互作用选择的可能性和被捕食者存活下来的新生儿的比例。定性行为与情形3相同，唯一的区别是均衡分支的变化;在这种情况下，我们选择为变差参数(见图)5.）.

5.结论

这项工作的主要贡献是（a）我们介绍了一系列新的年龄结构模型，以表现出存在共存出生率的重要性，（b）我们已经表明，通过改变存在的诞生率用于这种模型的定期解决方案，（c）为了建立共存，我们寻求稳定的风险纤维分支，更重要的是稳定的周期性溶液分支。我们还发现有复杂的模型，其中分叉图的结构并没有显着改变一些更简单的模型。使用来自文献中的分析技术获得的不同捕食功能进行所有数值研究。我们得出结论，使用更普遍的出生率是实现现实模型的必要机制。作为这项工作的实际适用性，值得一提的是，存在各种生物控制方法，以防止害虫的传播，这些方法可以用我们的模型分析。该想法是通过寻找所涉及的人口的稳定定期解决方案来控制人口。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

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