文摘

我们研究非线性偏微分方程的对称还原两个独立变量。我们提出新的假设减少非线性演化方程的常微分方程组。假设使用运营商非点源的古典和条件由对称。然后我们找到解决非线性热方程的框架中无法得到的经典谎言的方法。通过使用运营商Lie-Backlund对称性构造非线性双曲方程的解决方案取决于任意光滑函数的一个变量。

1。介绍

众所周知,经典的谎言对称点转换的方法通常用于减少独立变量的偏微分方程得到常微分方程。集成后减少方程的微分方程可以得到部分解决方案正在研究[1- - - - - -3]。最大的主要问题是微分方程的不变群点转换应用程序中使用不够宽,因此,组方法不能成功地应用这些方程。引入了广义条件对称的概念(4,5]扩展的适用性对称演化方程的方法建设的解决方案。广义条件对称的关系的进化方程到微分方程组兼容性的研究(6]。外地的方法建设相关的偏微分方程系统对于一个给定的偏微分方程提出了在7]。的起点点对称的方法是运营商的存在下方程的研究。通过外地相关系统可以构造运营商之一的非局部对称和非局部初始方程的守恒定律。

我们使用运营商的非点源的古典和条件对称扩展类微分方程的对称性方法是适用的。在本文中,我们研究偏微分方程的对称还原两个独立变量通过使用非点源的对称的运营商,因为古典点对称的拉长运营商导致的经典不变的解决方案。该方法可以自然地推广到多维的情况。我们构建拟设为因变量或其衍生品这减少了标量偏微分方程常微分方程组。我们使用运营商的古典点对称1,2]的相应的系统不是拉长点对称的经营者承认由原方程构造拟设的衍生品。我们构造的拟设利用常微分方程的运营商承认Lie-Backlund对称(古典意义上的2,4])。我们考虑非线性演化和波型方程和现在的运营商对称条件的相应的系统生成Backlund变换的非线性波动方程。

记得,等著名的非线性微分方程的可积Korteweg-de-Vries, sine-Gordon,立方薛定谔方程承认无限Lie-Backlund对称操作符(1,2]。本文的另一个目标是证明等重要特性的非线性偏微分方程存在Backlund变换,线性化,存在类的解决方案取决于任意函数可以与他们的不变性在有限数量的非点源的对称操作符。

2。减少非点源的对称和非线性波的类型和演化方程,两个独立变量

微分不变量的概念解决方案基于无限李群介绍了(3]。这个集团是一个经典的对称群点下的依赖和独立变量的方程转换研究。一般来说,分析类似于构建微分不变量解决方案使我们获得假设衍生品,由于运营商的非点源的对称(3,8]。让我们考虑非线性微分方程

我们寻找拟设的衍生品形式 在哪里。运营商的古典和条件对称的相应的系统可以用来找到,。相应的系统形式 在哪里,,,。构建拟设的类型(2我们使用对称操作符 的系统(3)。很明显,运算符生成非点源的组转换为变量。很容易找到单参数李群的不变量与发电机 通过使用这些不变量可以构造一个拟设,: 从(6)我们有 在哪里。用(6)和(7)方程 收益率 因此我们得到第一个简化常微分方程 第二个我们获得的相容性条件。它的形式 我们将降低系统的特解常微分方程(10)和(11)的形式 在哪里。因此一个集成超定的兼容的微分方程组 构建的解决方案(1)。不过很容易得到方程的解 在这样的形式

切转换集团也用于该方法的框架。让我们考虑非线性演化方程 一个可以构造操作符的正切变换形式 录取了(16)。第一阶功能独立微分不变量对应的单参数李群的切线转换形式可以选择 为了构造拟设的类型(2)减少(16)常微分方程组与基础运营商我们考虑二维李代数。运营商满足对易关系。两个参数李群的不变量与发电机,是,,。然后我们使用这些不变量构造拟设的形式 从(19)和(16)我们有 和第一常微分方程 的条件由此可见,,满足第二个常微分方程 因此,减少系统包括(21)和(22)。从(21),(22)和(19它遵循的解决方案(16)可以由集成超定的系统兼容 在哪里,是任意的真正的常数。

接下来,我们强调对称条件的经营者相应的系统可以用于建设Backlund变换的非线性波动方程 我们确实表明, 运营商的对称条件相应的系统 在哪里。使用运算符我们可以把拟设以下形式: 在哪里,未知函数在,因此Backlund变换 有关(24)和sine-Gordon方程。这些Backlund变换(28)取得了第一次(9通过另一种方法。

注意,这个方法也适用于非线性偏微分方程的线性化与两个独立的变量。事实上,考虑到二阶微分方程 在哪里是一个光滑函数。使用的不变性(29日)在李群的转换与相应的五维李代数的基本元素,,,我们编写了相应的系统形式 在哪里,,。一个可以证明(30.)拥有无限的谎言可以线性化经典对称和速度图转换。因此我们得到线性化的方法二阶偏微分方程的形式(29日为任意函数。

让我们注意,相应系统的对称群写的一般形式包含点转换的初始方程的对称群的子群和发电机可以用来构造拟设点转换(2)。然而这些操作符导致不变的经典谎言意义上的解决方案。我们将通过以下例子说明这个属性。让我们考虑波动方程 在哪里是一个光滑函数。这是不变的带三个参数的李群。李代数的基础是由。考虑二维子代数的基本元素。通过使用微分不变量,,相应的两个参数李群我们构建拟设的形式 这样可以减少(31日系统) 让。然后我们获得两种情况 和解决方案减少系统的形式 通过集成系统 一个获得的解决方案 在哪里任意实常数和吗,(31日),。在第二种情况下 和解决方案的形式 在哪里是任意的可微函数。让我们考虑到运营商 在哪里,是任意的真正的常数。一个人可以确认 当且仅当 这意味着解决方案(37)是不变的对一维对称群的子群(31日)与发电机在哪里,满足条件(42)。很明显,这个解决方案(39)是不变的单参数组与发电机()。因此我们得出这样的结论:任何解决方案(31日)当由这种方法的帮助下二维李代数的基本元素是一个不变的经典谎言的意义。

进一步我们展示Lie-Backlund对称的运营商2,4用于减少偏微分方程。让我们考虑方程 在哪里,,表示所有的偏导数阶,阶常微分方程的形式 让 在哪里是一个光滑函数变量和是任意的函数变量的通解(44)。

我们使用从(定理110这意味着如果(44)是不变的Lie-Backlund算子然后拟设 在哪里取决于变量,减少偏微分方程(43)的系统方程未知函数与独立变量和。我们展示的应用非线性偏微分方程的定理。考虑线性常微分方程 在哪里。记得当地的微分方程理论的概念如对称性、条件对称,守恒定律,宽松的表征是由微分等式这只必须满足以下方程研究的解决方案。一个可以证明(47)承认以下Lie-Backlund算子: 在哪里。这意味着以下标准的不变性 在哪里是拉长算子的二阶2),满足了。我们已经证明(47)承认非点源的运营商(切线)对称 如果满足以下方程: 这个方程的通解形式 在哪里,是任意光滑一个变量的函数。一个可以验证(47)也承认运营商 在哪里任意函数变量吗。然后拟设 从通解(获得47)减少波型偏微分方程 在哪里是一个真正的常数。一般来说,相关系数偏微分方程使我们能够研究磁场梯度的影响。

用(54)(55我们得到两个常微分方程的系统 对于未知的函数,。一个可以获得的部分解决方案(55)解决方案的系统(56)。特别是,如果和然后系统(56)减少到一个常微分方程的形式 这个方程可积为任意正交。它的通解形式 在哪里, 使用(54)一个可以构造非线性波方程的解决方案 在以下形式: 在哪里是任意光滑函数。在这种方法的框架和任意函数构造的解决方案非线性波型偏微分方程(60)对任意函数和。

3所示。结论

我们已经构造的假设(6)和假设(19),减少非线性演化方程(1)和(16)常微分方程并不能获得通过使用经典谎言的方法。我们已经找到了解决方案的非线性热方程(14)。事实证明这些假设导致经典不变的解决方案。很明显,可以通过延长运营商构建这样的假设之一点对称承认初始方程但他们也导致不变的解决方案。运营商有必要非点源的对称和条件应适用于获得新的结果。

就像上面所提到的一类非线性偏微分方程的线性化(29日在这种方法的框架)是可能的。

最后我们甚至表明的存在至少一个运营商Lie-Backlund对称常微分方程(47)给构建解决方案的可能性(61年)定义的任意函数(60)。据我们所知逆散射变换的方法在这种情况下不适用。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。