文摘
一些类型的系统的差分方程都提出了明确的解决方案是周期性的注意。
1。介绍
最近有一个伟大的兴趣研究差分方程的差分方程和系统不源于微分的(见,例如,1- - - - - -19),在其中的引用)。一些结果在具体系统的非线性差分方程,看到的,例如,(1,3- - - - - -5,9- - - - - -12,18,19]。能找到一些经典结果的话题,例如,在书20.]。
解决方案系统的差分方程 在哪里和最终,叫做周期与,如果有一个这样 对于每一个,。这是周期的如果。期是'如果没有,,这是一个周期。如果所有定义良好的解一个方程或一个系统的差分方程最终周期相同,那么这样一个方程或系统被称为周期。一些结果的周期性,差分方程的渐近周期和周期方程或系统看,例如,(1- - - - - -10,12- - - - - -14,16- - - - - -19)和相关的引用。
在最近的一篇论文19),作者制定四个结果声称以下系统的差分方程周期与十:
首先,我们表明,所有的结果在19]遵循从已知的文献中也存在的一些扩展这些结果的精神系统(3)- (6)。要做到这一点,我们将使用一个系统的差分方程与下列有关,所谓,莱茵斯差分方程: 很容易看到,每一个定义良好的解决方案(75)周期与。出现在弗里兹方程模式(原始来源,请参阅[21- - - - - -23])。
研究max-type方程和系统的差分方程是最近感兴趣的另一个主题(e。g, (2,3,5- - - - - -7,10,11,15- - - - - -19])。
一些特殊情况以下max-type差分方程: 在哪里,,,研究了,例如,在2,16]。正解的8在许多情况下)是周期性的。然而,如果不是一个正序,所示(2)(8)可以有无限的解决方案。
在[5),结果表明:所有解决方案下面max-type系统的差分方程: 在哪里,,, 和,是积极two-periodic序列,最终周期,不一定'两个时期。这是通过直接计算。
通过直接计算,它可以很容易地显示以下max-type系统的正解差分方程: 在哪里和是积极two-periodic序列,也是周期性的。
在这里,我们给出一个noncalculatory解释事实的证明以下max-type系统的正解差分方程: 在哪里,,,正周期序列的一段,也是周期性的。我们还存在的另一个扩展的结果。
2。一些扩展的系统(3)- (6)
在本节中,我们提出一些周期系统的差分方程的精神系统(3)- (6)。
定理1。考虑以下系统的差分方程
在哪里和函数,,是连续域;地图设置到自己,为每一个固定的,同时增加或减少间隔和。
然后下面的语句。(一)如果
,然后每一个定义良好的解决方案的系统(12)周期与。(b)如果
,然后每一个定义良好的解决方案的系统(12)周期与。
证明。从定理的条件,它遵循,有连续映射集合到自己。使用变量的变化 系统(12)很容易变成下一个 为, 为, 为。在[4),这是证明,如果 ,然后每一个定义良好的解决方案的系统(14)- (16)周期与,如果 ,然后每一个定义良好的解决方案的系统(14)- (16)周期与。使用这个事实 从(13),结果(a)和(b)。
下面的定理证明以类似的方式。因此,证据就会被忽略掉。
定理2。考虑以下系统的差分方程
在哪里和函数,,是连续域;地图设置到自己,为每一个固定的,同时增加或减少间隔和。
然后下面的语句。(一)如果
,然后每一个定义良好的解决方案的系统(18)周期与。(b)如果
,然后每一个定义良好的解决方案的系统(18)周期与。
现在,我们表明,所有结果的周期性的系统解决方案(3)- (6)(19]的定理1和2。
证明。系统的差分方程(3)- (6),我们使用以下变量的变化,分别是: 通过使用,系统(3)- (6)转换为系统(14)。通过应用定理1(一)ten-periodicity定义良好的解决方案的系统(14)之前,ten-periodicity定义良好的解决方案的系统(3)- (6)。
例4。如果我们使用以下功能: 在哪里和是奇数,我们看到所有定理的条件吗1应用与,所以利用这个定理得到差分方程的系统 ,也是周期与10。
例5。为 在哪里和也是奇数,所有定理的条件吗1再一次表示满意。使用定理,它遵循的系统 ten-periodic。
例6。为 在哪里和是奇数,所有定理的条件1也满意。应用定理,它遵循的系统 ten-periodic。
例7。最后,对于 在哪里和奇数和应用定理吗1与,我们得到的系统 ten-periodic。
主要结果(4)可以相对容易地扩展到一个概况,已注意到Iričanin和Stević出版后不久(4),后来也证明了其他几个作者。即,以下结果(见,例如,1])。
定理8。假定下列差分方程
是周期的。
然后以下系统的差分方程
在哪里,因为,和,,,周期与(数字的最小公倍数和)。
定理8可用于构建大量周期性循环系统基于标量周期差分方程的差分方程,这与一些变量的变化,给其他周期性循环系统的差分方程。
3所示。正解的周期性系统(11)
在本节中,我们研究正解的系统(11)。通过,我们表示自然数的最大公约数和。
定理9。考虑系统(11)。假设,,和是积极的周期序列。然后每一个积极的解决方案系统(11)是周期性的,不一定'
证明。让。然后我们有和对于一些,这样
由于每一个可以写成,对于一些和系统(11)成为
对于每一个和。
使用下一个变化的变量
在哪里,,(32),我们有,,,都是独立的解决方案下系统
系统的形式(11),和而不是和,序列和,,都是周期。
因此,它足以证明的定理和序列,是积极的周期。
现在注意,从方程(11),我们有
此外,通过使用方程(11),我们也会
为。
使用关系(36),我们得到
为。
现在,注意,不平等的(35),我们有
使用(38),周期性的序列和,我们获得
采用(39)(37),我们得到
它,在这种情况下,解决方案的系统(11)周期。从上述定理。
稍微修改的定理的证明9,下一个结果可以证明。我们省略了证明。
定理10。考虑以下系统的差分方程 在哪里,,,,是积极的周期序列。然后,系统的每一个正解41)是周期性的,不一定'
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由院长以来科研(域),阿卜杜勒阿齐兹国王大学,在批准号(11-130/1433 HiCi)。因此,作者承认考的技术和财政支持。