文摘

我们证明,每一个映射满足弱C-contractive偏度量空间的不平等有独特的巧合。我们的结果推广几个著名的现有文献中结果。

1。介绍和预赛

巴拿赫收缩原则是度量不动点理论的来源。这一原则已经被许多作者在不同的方向扩展(参见[1])。

Chatterjea [2]介绍了后来被命名为C-contraction后收缩。

定义1(见[2])。让是一个度量空间一个映射。然后如果存在称为C-contraction这样 适用于所有,。

在这种收缩不均,Chatterjea [2)建立了定点后的结果。

定理2(见[2])。完备度量空间中的每个C-contraction有独特的定点。

C-contractive的泛化映射,Choudhury [3]介绍了弱C-contractive映射的概念,证明了完备度量空间中的每个弱C-contractive映射有独特的定点。

定义3(见[3])。让是一个度量空间一个映射。然后被称为弱C-contractive如果满足 对所有,,在那里是一个连续映射,这样吗当且仅当。

在这种收缩,Choudhury [3)建立了定点后的结果。

定理4(见[3定理2.1])。每一个弱C-contraction在完备度量空间都有独特的定点。

最近,Harjani et al。4研究一些弱C-contractive映射的公共不动点的结果在完备度量空间赋予部分订单。此外,Shatanawi [5]证明了一些定点和耦合非线性弱C-contraction类型映射的不动点定理在度量和度量空间。

在另一个方面,部分度量空间的概念引入了马修斯(6)在1994年作为一个泛化的度量方式,并不一定每个对象有一个零距离。引入部分指标的概念背后的动机是为了获得适当的数学模型计算和理论,特别是,给一个修改版的巴拿赫收缩原理(见,例如,7,8])。随后,作者研究了几个不动点的存在性和唯一性问题映射满足不同收缩条件部分度量空间(例如,9- - - - - -13])。

我们回忆起一些局部度量空间的定义和性质。

定义5。一个部分指标在一个非空的设置是一个函数这样对所有,,,(p1) ;(p2) ;(p3) ;(p4) 。
部分度量空间是一对这样非空的设置和部分指标吗。

从上面的定义,如果,然后。但是,如果,可能不是一般来说。部分度量空间的一个著名的例子是一对,在那里被定义为。对于一些偏度量空间的例子,我们指的是(8,12]。

每个部分指标在生成一个拓扑结构在家庭为基础的开放球:,在那里对所有和。一个序列在收敛于一个点关于当且仅当。一个序列在被称为柯西序列如果存在,是有限的。

定义6(见[6,13])。让是一个部分的度量空间。然后,(我)一个序列在一个局部度量空间收敛于一个点当且仅当;(2)一个序列在一个局部度量空间被称为柯西序列如果存在(和是有限的);(3)部分度量空间是说如果每个柯西序列完成在收敛于一个点;也就是说,。

如果部分指标吗,那么这个函数给出的 是一个规。

引理7(见[6,13])。让是一个部分的度量空间。然后,(一) 是一个柯西序列当且仅当它是一个度量空间中的柯西序列;(b) 完成当且仅当度量空间就完成了。此外,当且仅当

此外,Bhaskar和Lakshmikantham [14]介绍了耦合不动点定理在半序度量空间收缩。这个概念吸引了许多数学家和更多相关工作以及固定和巧合点结果我们参考近期作品的读者4,9,10,15- - - - - -19]。

定义8。让,是两个映射。一个说,是一个巧合吗和如果。

在本文中,我们扩展的概念弱C-contractive映射部分度量空间的背景和定义弱C-contractive地图。此外,我们证明一切弱C-contractive映射在一个完整的部分度量空间有一个独特的巧合。我们的结果推广了文献中几个著名的结果。

2。独特的巧合和不动点定理

定义9。让是一个部分的度量空间和一张地图。然后,映射据说是弱C-contractive如果 对所有,,,,在那里是一个连续映射,这样吗当且仅当。

现在我们国家和证明我们的主要结果。

定理10。让是一个完整的部分度量空间和一个弱C-contraction映射。假设。然后,和有一个独特的重合点吗。

证明。让任意点在。自,我们可以构造序列在作为
集。
如果存在这样,然后由我们(p1)和(p2)。因此,和有一个巧合点。现在,假设对所有。因此,(5),我们有
通过属性(p4),我们有
因此从(7),我们有
从(9),我们要么或自对所有。
如果 然后自和(10),我们有 这是一个矛盾。因此,我们有 因此 通过上面的不平等,我们有是一个非增序列的正实数。因此,有一些这样 然后采取的极限在(10),我们有 然后, 因此 的连续性,我们得出这样的结论: 让在(9)和(15),(19),的连续性,我们得出这样的结论:。因此,
接下来,我们将证明 假设相反;也就是说,
然后有一个我们可以找到子序列,的这样的最小整数吗 这意味着 从上面的两个不等式和(p4) 让和使用(20.),我们得到 (p3)和(p4)
让在上面的不平等和使用(20.)和(26),我们有
因此,从(5),我们有
让在上面的和使用(28),的连续性,我们得出这样的结论: 这是一个矛盾。因此,我们有
因此,是柯西序列完成部分度量空间。
由引理7我们有,
因此,在完备度量空间是一个柯西序列。因此,由引理7,在完备度量空间是一个柯西序列。再次,通过引理7,存在这样 这意味着
接下来,我们证明。
让在 我们有
同时,让在 我们有
从(36)和(38),我们有
现在,我们证明。由(5),我们有
让在上面的和使用(39),的连续性,我们得出这样的结论:
因此,。(p1)和(p2)。
因此,是一个巧合吗和。
证明的重合点的唯一性和,假设是另一个巧合的吗和。从(5),我们有
因此,我们有。因此,。(p1)和(p2)。
因此,和有一个独特的巧合。

作为上述定理所带来的一个直接结果,我们有以下不动点的结果。

推论11。让是一个完整的部分度量空间和一个弱C-contraction映射。也就是说,满足 对所有,,在那里是一个连续映射,这样吗当且仅当。
然后,存在一个唯一这样。

推论12。让是一个完整的部分度量空间。假设的映射满足以下收缩条件: 对所有,,,,在那里,有负的常量。然后,有一个独特的定点。

证明。取,在那里,有负的常量。

推论(见[1310推论2.7])。让是一个完整的部分度量空间。假设的映射满足以下收缩条件: 对所有,,在那里。然后,有一个独特的定点。

证明。取,在那里。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。