文摘
我们重建我们所说的变分迭代法,参数迭代法(PIM)。申请计划的方法解决非线性沃尔泰拉积分微分的方程(NVIDEs)。解决方案过程说明了一些例子。比较了PIM和Adomian分解方法(ADM)之间。精确解的第三个例子。结果显示PIM的简单性和效率。此外,该方法的收敛是研究工作。
1。介绍
众所周知,科学领域的许多事件处理积分微分的方程。非线性沃尔泰拉积分微分的方程等许多物理过程发挥重要作用nanohydrodynamic [1),滴状冷凝(2),和生物3]。各种数值方法求解NVIDEs存在,例如,变分迭代法(VIM) Adomian分解方法(4,5),切比雪夫多项式6],伯恩斯坦的近似7]。首先,廖定意同伦分析方法(8和应用于许多科学问题9,10];然后,VIM是由他定意11]。在这篇文章中,我们重建VIM,我们称之为PIM。PIM应用成功求解边值问题(12]。我们考虑非线性积分微分的方程如下: 和初始值的两个方程如下:
在这部作品中,数值解(1)和(2时,PIM)是可能的,,是连续的,是连续算子。NVIDEs参数迭代法提供解决方案作为一个序列的迭代。在这项研究中,给出了一些例子,我们解决他们使用参数迭代法和比较结果与ADM的结果。在所有这些情况下,目前的技术极好地工作,因为它将显示在这个研究。
2。参数迭代法的基本思想
在本节中,我们描述PIM解决非线性沃尔泰拉积分微分的方程。然后,讨论了局部收敛。
2.1。参数迭代法
(PIM提供解决方案1)和(2)作为一个序列的近似。这种方法使快速收敛的连续近似精确解如果存在这样的一个解决方案;否则,可以用于数值近似。我们假设和是线性和非线性的运营商。解释PIM的基本思想,我们认为(1)和(2)如下: 在哪里随着房地产当表示所谓的辅助线性算子对,是一个非线性连续算子对吗,是已知的连续函数,。这种方法的基本本质是构建一个家庭的迭代过程(1)和(2)(13] 与初始条件 在哪里 或 和最初的猜测,可以任意选择,但合适的选择是积极影响收敛速度(13),或者它也可以解决相应的线性齐次方程或线性非齐次方程。的参数和功能表示所谓的辅助参数和辅助功能。的选择,描述的是(13]。同时,我们可以自由选择辅助线性算子、辅助参数,辅助函数,初始近似值。因此,如果连续近似获得由PIM的辅助参数,然后精确解可能给出的。根据(13),让解决方案空间,让表示基函数的集合。因此,我们可以代表本系列的解决方案,在那里是一个系数属于实数。只要确定一组基函数,辅助线性算子,最初的近似和辅助功能必须以这样一种方式,选择相应的PIM方程所有解(4)存在,它可以由这组基函数表示。现在,为了避免昂贵的计算是解决(1)和(2通过PIM),直接使用以下的基本功能: 也就是说, 在哪里未知待定系数和吗是一个常数属于实数。现在,我们设置了辅助算子如下: 最初的猜测是形成的组合条款(9);也就是说,
根据(11)和初始条件(3)和应有的重视的系数将被确定。同时,我们将。的选择是任意的,但适当的选择取决于基函数的解决方案(13),我们使用PIM过程计算的近似解(1)和(2)。
2.2。有效的地区
假设我们获得一个家庭解决方案系列的辅助参数通过对PIM。我们认为这个解决方案作为的函数,;然后,我们获得(一次或更多)这个函数对在那;也就是说,让的解决方案(1)或(2);然后,我们组 因此,会的吗;现在我们的阴谋根据这些曲线,曲线,很容易发现的有效区域,对应线段近平行于水平轴。这个地区被称为有效的地区我们表示,。我们确保解决方案系列收敛。
2.3。分析参数的收敛迭代公式
在本节中,我们研究了当地提供的近似解收敛PIM解决(1)。近似解的收敛性(2)类似于(1)。
最初,让并设置;因此,我们从(5)参数的迭代公式如下:
迭代公式(14)表达的序列递归序列。显然,序列的限制的解决方案(1如果序列收敛。
为了证明序列收敛,我们构造一个系列: 注意到 序列将收敛级数是收敛的。
定理1。如果Lipschitz-continuous在和和在哪里,是正实数,然后一系列的(15)是收敛的;也就是说,序列是收敛的。
证明。根据(14),请注意,
在哪里
从(14)和(17)和假设在哪里表示的李普希茨常数,接下去
鉴于(21),级数的收敛性(15为解决方案域)可以得出结论和借助一些数学软件。因此,一系列的(15)是绝对收敛;也就是说,序列是收敛的。
3所示。说明性的例子
现在,我们用PIM解决的两个例子(1)和(2)和比较结果与ADM (5]显示PIM的效率。
例1。第一个例子是一个非线性沃尔泰拉积分微分的第二类方程如下:
根据PIM进行,我们定义 然后,我们从(10),。利用初始条件和给我们,,也就是说,。现在,如果我们设置,然后我们获得(5)和(8), 因此我们两边积分(25);然后PIM方程如下: 一些迭代获得(25)如下,另一个迭代也被计算了枫13: 为第三次迭代得到的结果见表1;也有效的地区这是提出了在图1。
例2。我们考虑非线性沃尔泰拉积分微分的第二类方程如下: 我们根据PIM过程 然后,我们从(10),(29日)给我们,,;也就是说,。现在类似的例子1迭代计划如下: 一些迭代获得(30.)如下:
例3。我们考虑非线性沃尔泰拉积分微分的第二类方程如下: 类似的例子1和2
现在,我们考虑最初的解决方案,(33)和(34)给我们,,;也就是说,。根据PIM迭代公式对于这个示例
从和最初的解决方案,本例的精确解是实现。参数的有效值(36)是。
4所示。结果
在本节中,我们目前的结果的例子1和2在两个表和图曲线来确定。所有的计算都用枫13。
5。结论
在本文中,我们重建VIM,我们称之为参数迭代法,和PIM应用于解决非线性沃尔泰拉积分微分的方程。为了说明该方法,我们解决三个例子。PIM ADM相比,结果表明,前者是更容易在实践中并为NVIDEs更准确。对于第三例精确解。此外,收敛的PIM解决NVIDEs有效区域提出了。此外,如果我们增加迭代的数量由PIM计划,似乎结果会更准确的解决方案。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。