文摘
我们介绍一种完全非线性路径依赖(抛物线)偏微分方程(PDE)的路径在一个区间[0,]成为经典的基本变量的变量。然后我们研究完全非线性PPDE的比较定理并给出它的一些应用。
1。介绍
出于不确定性问题,风险措施,superhedging金融数学、彭(1)系统建立期望理论。在期望框架的概念布朗运动和建立了相应的伊藤随机微积分的类型。关键的问题是扩散过程是连接到一个大型的完全非线性pde在马尔可夫的情况下研究了彭(2和儿子等。3]。
最近,Dupire [4和Fournie[]和控制5非平凡)引入了一个新功能伊藤公式通过新的notion-path广义经典的一个衍生品(见[6,7]更一般的和系统化的研究)。它扩展了伊藤随机微积分的泛函,一个给定的过程。它提供了一个很好的研究工具的路径依赖。事实上,他们发现一个平滑的路径功能解决了线性路径依赖PDE如果它与布朗运动生成一个鞅组成,它提供了一个经典的功能扩展Feynman-Kac公式。此外,由于倒向随机微分方程的方法,我们可以得到顺利解决半线性路径依赖的独特性PDE(参见[8- - - - - -10),在其中的引用)。然而,这些方法主要是基于随机微积分。
本文的目的是研究完全非线性PPDE。我们指的是维多11和王12古典完全非线性PDE)(参见[13- - - - - -15])。彭(16]介绍了一种方法frozenness主菜的最大化的路径。这种方法是基于PDE技术,可以直接应用于治疗完全非线性路径依赖PDE。这PDE方法的优点是,一个可以把本地的解决方案(路径的路径),而随机微积分主要是一个全球的方法。在本文中,我们将使用这个方法来获得一个比较完全非线性PPDE原则。特别是一些解决方案的属性完全非线性PPDE也获得。我们认为这些想法延续更多的一般框架,如PPDE粘度的情况下解决方案。此外,这种方法可以直接应用随机分析,例如,完全非线性期望下鞅,随机最优控制问题,随机游戏,非线性定价和风险测量和倒向随机微分方程。这些更多的技术细节留给未来的工作,将在即将发表的论文。
本文组织如下。节2,我们介绍一些现有结果Dupire理论路径的衍生品,我们将使用本文。节3的比较定理,我们得到完全非线性PPDE并给出它的一些应用。
2。预赛
在本节中,我们概述定义关于路径的衍生品。主要来自以下符号Dupire [4和Fournie[]和控制5]。
让是固定的。为每一个,我们表示对连续的集合价值功能。为每一个的价值在时间用。因此是一个连续的过程吗和它的价值是。的道路到时间用;也就是说,。表示。我们有时会专门写 显示终端位置的通常扮演着特殊的角色在这个框架。为每一个和,表示的价值在和这也是一个元素的。
现在考虑这个函数的路径;也就是说,。这个函数也可以被视为一个家庭的实值函数: 表示,因为,。
我们介绍的距离。让和表示的内积和规范。为每一个和,表示
很明显,巴拿赫空间对吗。自不是一个线性空间,不是一个标准。
定义1(连续)。一个函数据说是连续在,如果任何存在这样,每与我们有。据说是连续的,如果是连续在每个。
备注2。我们经常把在我们的框架的函数,,;也就是说,。因此,对于一个固定的,被认为是一个函数的。
定义3。鉴于和,如果存在,这样 然后我们说(垂直)可微的吗和表示。据说是垂直可微的如果对于每一个存在。我们同样可以定义的麻绳。这是一个价值函数上定义,在那里所有的空间吗对称矩阵。
为每一个,,设置 很明显,和。
定义4。对于一个给定的如果 然后我们说(横向)可微的在吗在和表示。据说水平可微的如果对于每一个存在。
定义5。定义的设置功能上定义这是水平和乘以垂直可微的,这样这些衍生品连续。
例6。如果与,然后 这是典型的导数。一般来说,这些衍生品也满足经典属性:线性,产品和链式法则。
3所示。完全非线性PPDE比较定理
现在我们介绍下面的完全非线性路径依赖PDE: 在哪里和是连续函数。此外,满足以下椭圆条件:为每个,,,, ,为每一个,,存在一个常数这样
定义7。一个函数被称为解决方案的路径依赖PDE (8),如果为每个,、平等(8)是满意的。被称为上(分别地。(出发)8)如果““在(8)被“”(分别地。”,”)。
注8。古典PDE的解决方案是一种特殊情况,。事实上,每个和, 因此PDE是一个经典的解决方案。
下面的结果是所谓的比较原则或路径依赖PDE的比较定理。
定理9。假设是一个上和是一个出发的。此外,从上面是有界的,是有界的。然后最大的原则是:如果对所有,然后为每一个。
备注10。在当对于一些李普希茨函数在,上述结果是半线性路径依赖PDE的比较定理,这是由(9]。
为了证明定理9,我们将使用以下定义。
定义11。
据说在吗,如果它满足下列条件:(我)对于每一个固定,是一个上半连续函数的,(2)为每一个与,。
我们还表示。一个函数(职责。)被称为上(分别地。-减少)半连续函数。被称为连续函数。
定义12。定义的设置功能,这样,对于每个,,,存在。
定义13。一个函数被称为解决方案的路径依赖PDE (8如果为每个,平等(8)是满意的。被称为上(分别地。(出发)8)如果““在(8)被“”(分别地。”,”)。
定理14。假设是一个上PPDE (8),和是一个上解PPDE (8),,在那里为每一个。此外,从上面是有界的,是有界的。然后最大的原则是:如果对所有,然后为每一个。
为每一个和,设置
为了证明定理14,我们需要下面的引理,也就是从彭16引理6]。
引理15。如果对于一些,然后存在,满足,,,这样
证明。为每一个和,我们可以发现这样
对于每个与我们得到了
引理的证明是直接根据6的彭16]。
引理16。让和得到令人满意的对所有,。然后
证明。自为每一个,我们得出结论 为每一个, 因此 这是期望的结果。
现在我们要给的证明定理14。
定理的证明14。我们第一次观察到,定义的函数上的
在哪里。很容易检查功能满足条件一样。自遵循从在极限情况下,它可以证明定理14额外的假设下
我们做出以下假设。
(A),,,这样,我们有
集,,对于一些。然后很容易检查上或出发的吗
在那里,每,是由
这满足的假设(A),自意味着,它可以证明定理14额外的假设下(A)。
不失一般性,假设。假设相反的存在,,,这样
然后,通过引理15,存在这样
因此,
自,我们有。然后
这引发矛盾和完成的证据。
推论17。路径依赖PDE (8)一个有界的解决方案。
引理18。如果是一个有界上PPDE (8),是一个有界函数那么,对于每个,
证明。自是一个上解PPDE (8),应用定理14我们期望的结果。
评论19。如果是PPDE解决方案(8)对于一些有界,然后上面的定理是PDE的古典比较定理的17]。
20例。考虑以下PPDE:
在哪里对于一些。
如果对于一些有界李普希茨函数和,然后我们可以解决PPDE (30.通过以下方法)。
首先考虑以下系统的完全非线性抛物型偏微分方程,定义和参数化:
然后,另一个上定义:
从维多11和王18),为每个,,,在那里和。
表示;我们获得。应用定理14,是独特的PPDE解决方案(30.)。的确,是有条件的期望的(见[19,20.])。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这项工作是研究生自主创新基金(YZC12062)山东大学。