文摘

我们证明一个广义的结果存在单调集值映射的平衡noncompact域上定义的,其值在一个拓扑向量空间的秩序。作为结果,我们给出一个新的变分不等式。

1。介绍

在文献中,平衡点的概念(或平衡问题)已经被Karamardian首先介绍(1在[]和艾伦2]。通过使用众所周知的KKM原理,他们为一个实值函数证明 定义在两个集合的产物 和 ,存在一个元素 的 ,这将被称为平衡点,令人满意的 :

古典假设用于证明这种类型的均衡结果的凸性和密实度域的担忧 、单调性、凸性和连续性 和所有扩展的结果在文献中这些假设。在最近的一份工作(见[3]),这种结果是扩展到noncompact案例通过使用矫顽力bifunction类型条件 。在这种情况下函数 应该把它的值在一个拓扑向量空间赋予订单由锥定义 以同样的方式,已经被4- - - - - -7]。注意,结果在平衡点的存在证明(3)获得通过的结果在我们称为弱平衡状态点的存在,也就是说,一个点 满足以下条件: 在哪里 表示锥的内部 在 。

在本文中,我们研究集值映射的扩展平衡的点 在相同的上下文中。一般来说,我们有很多的选择制定平衡点的概念。事实上,如果 是一个封闭的凸锥的拓扑向量空间 与非空的内部, , 是一个集值映射,那么的平衡点集值映射在几个可能的方法可以扩展(参见[8,9])如下: ; ; ; 。在本文中,我们选择将更加适应的一个技术参数。我们将把“移动”的顺序 锥和凸性和连续性的概念是自然地扩展我们的设置。我们将使用pseudomonotonicity条件 借用(10]。作为一个应用程序,我们是一个变分不等式。本文获得的结果概括中相应的一个(9,10]。

2。预赛

我们延长凸性的概念、单调性和连续性之前给集值映射。如果 和 是两套,一个集值映射 ,在那里 表示所有的子集的家庭 ,是分配给每个地图 ,一个子集 。注意符号的集值映射时,我们只会写 而不是 。

我们首先需要定义一个命令集值映射的上域为单值映射。如果 是一些真正的拓扑向量空间的一个子集 ,让 是另一个真实的拓扑向量空间,让 不一定是一个封闭的凸锥(指出)和非空的内部 。然后 定义一个排序” ” 通过 我们把这个符号任意子集 通过设置

通过使用这个订单,我们自然地扩展为集值映射如下凸性的概念。

定义1。给出了集值映射 上定义一个向量空间 值在一个向量空间 赋予一个订单由凸锥定义 ,我们说 凸对吗 如果对所有 和 : 这意味着

请注意,特别是,如果 和 ,得到凸集值映射的标准定义。

在单值映射的情况下,我们可以找到各种各样的集值映射的单调性文学。我们将使用的概念pseudomonotonicity中定义(10)进而扩展中定义的相应的一个(7单值图的)。

定义2。让 和 是两个真正的拓扑向量空间,让 是一个非空的关闭和凸集,让 是一个集值映射,这样每一个 , 封闭凸锥在吗 与 。考虑集值映射 。 据说pseudomonotone如果对于任何给定的吗 ,

我们回忆的经典概念集值映射的连续性如下。

定义3。给出了集值映射 上定义一个向量空间 值在一个向量空间 。然后(1) 据说是降低半连续(l.s.c) 如果,每一个开集 与 存在一个社区 的 与 对所有 。 据说l.s.c. 如果 是l.s.c.每 。(2) 据说是上半(南加州) 如果,每一个开集 与 ,附近存在一个集合 的 与 对所有 。 据说事项 如果 在每一个事项 。(3)集值映射的两个上下半连续被称为连续的。

在本文中,我们将使用强迫家庭借用的定义(11]。

定义4。考虑一个子集 拓扑向量空间和拓扑空间 。一个家庭 两套是强迫的集值映射 当且仅当(我)为每一个 , 包含在一个紧凑的凸子集的 和 是一个紧凑的子集 ;(2)为每一个 ,存在 这样 ;(3)为每一个 ,存在 与 。

备注5。定义1可以通过使用新配方“双重”集值映射 为所有的定义 通过 。事实上,一个家庭 是强迫的 当且仅当它满足条件(我),(ii)的定义4,下列之一:

注意,如果家庭是减少到一个元素,条件(iii)的定义4和评论的感觉5第一次出现在这个普遍性(两套 和 )(12Karamardian[的]和广义条件1)和艾伦(2]。条件(3)也是一个扩展的矫顽力条件由风机(13]。集值映射的其他例子承认强迫家庭不一定是减少到一个元素,看到11]。

下面概括了KKM原理的在11)将用于本文的主要结果的证明。

命题6。让 豪斯多夫拓扑向量空间, 的一个凸子集 , 的一个非空的子集 , 一个行星映射与紧封闭的值 (即。,对所有 , 关闭每一个紧集吗 的 )。如果 承认一个强迫家庭 。

3所示。主要的结果

在介绍中提到的,在抽象层面上的所有可能的扩展平衡可以同样处理。但有伟大的实际差异如果我们试图取代生成的文摘条件简单,可验证假设,如凸性或半连续性。这是更多的如果我们承认一个锥“移动” (见[10])。由于这些原因我们选择这里需要考虑下列广义平衡问题。

定义7。让 是一个非空的一些真正的拓扑向量空间的凸子集 , 一个真正的拓扑向量空间, 一个集值映射,这样对于任何 , 是一个封闭的凸锥 和 。让 是一个集值映射。广义平衡问题是找到 这样 在这种情况下, 据说是一个平衡点。

定理8。让 和 不一定是真正的拓扑向量空间(分离)。让一个非空的,凸集 和三个集值映射 , , 被给予。假设满足下列条件。(1)对所有 , 意味着 (pseudomonotonicity)。(2)对所有 , 是封闭的 。(3)对所有 , 是凸的。(4)对所有 , 。(5)有一个家庭 满足条件(i)和(ii)的定义4和下面的一个:为每个 ,存在 这样 然后存在 这样 对所有 。

证明。让我们考虑一个集值映射 定义为每一个 通过
然后我们可以首先看到, 是一个行星地图;也就是说,每有限的子集 的 那里拥有
事实上,让 和假设矛盾 ;这意味着 与 , 和 对所有 。然后 对所有 从条件,因此 对所有 。它遵循的条件 那 ,然后 ,这与条件 ;因此 是一个行星的地图。
同样清楚的是条件 ,尽管 , 是关闭的。
此外,我们可以验证条件 意味着这个家庭 满足以下条件: 存在 与
我们推断出 满足所有的假设命题6,我们有 因此存在 这样,对于任何 , 。因此

定理9。让 , , , , , 满足定理的假设8和额外的条件。(6)对所有 与 和 如果 和 ,然后 对所有 。(7)对所有 与 , 是开放的 。
然后存在 这样 对所有 。

证明。由定理8,存在 与 对所有 。假设 对于一些 ;然后 通过 从 存在 这样 。自 ,我们推断出 ,但这与 和定理证明。

以下结果,对应于定理1 (10),可以推导出前两个定理。

推论10。让 , , 满足的假设 的定理8, 的定理9和以下条件。 存在一个非空的紧集 和一个紧凑的凸集 这样,每 存在 与 。
然后存在 这样 对所有 。

证明。通过对所有 , 凸紧集,和 紧集,并通过使用假设 ,我们可以看到这一点 承认一个强迫家庭的感觉的话5;也就是说, , 。每重复,假设存在 与 。因此对所有 , 。这意味着 , 所以 。因此,存在 这样对所有 ,我们有
然后通过定理9,我们推断出存在 这样对所有
但这与假设(5′)。

推论11。让 是一个集值映射满足下列条件。(1)对所有 , 意味着 。(2)对所有 , 断断续续的低。(3)对所有 , 凸对吗 。(4)地图 开放图谱的 。(5)对所有 , 上半连续和紧凑的价值吗 。(6)对所有 , 。(7)有一个家庭 令人满意的条件 和 的定义4强迫和下面的一个。为每一个 ,存在 这样 然后存在 这样 对所有 。

证明。后(10),如果地图 半连续和低 关闭,那么条件 的定理9是满意的。此外还通过(10),条件 的定理9是满足,如果所有 ,地图 一起上断断续续的线段 紧凑的价值观,和地图 开放图谱的 。

现在我们 表示所有的空间连续线性算子 。为 ,我们写 和 ,我们写 。下面的结果是一个变分不等式制定我们的主要结果。

推论12。让一个地图 是这样 非空的。假设以下。(1)对所有 , 意味着 。(2)地图 开放图谱的 。(3)对所有 , 在上半 和紧凑的重视。(4)有一个家庭 令人满意的条件 和 的定义4和下面的一个:为每个 ,存在 这样 然后存在 这样 对所有 。

证明。取 , , 。然后条件 和 的定理9显然是满足。 由于每个成员 是连续的, 是关闭的。 是满意的,因为 和 。 和 举办以来所有 :
来验证假设 ,我们必须证明 是封闭的 。让 是一个净 收敛于 ;我们可以假设 ,因为 ,我们会认为 对所有 。因此 与 和 与 。对于每一个 ,存在 与 ;然后 。我们得出结论如上所述,有一个子网 收敛一些 。相应的 收敛于 ,因为 开放图谱;我们获得 ;因此 。

请注意,推论11和12分别扩展推论1和2 (10)获得noncompact情况下因为我们的矫顽力是更一般的条件。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者扩展他们的感谢院长以来在沙特国王大学科学研究的资助工作通过研究小组项目(RGP-VPP 237)。