文摘
修正后的傅里叶级数(CFS)提出了求解偏微分方程(pde)部分时间导数在一个有限域。在前面的工作中,我们已经使用修正的傅里叶级数解偏微分方程。在黎曼意义上描述的部分衍生品。给出了一些数值例子显示解决方案。
1。介绍
近年来,微分方程的部分订单已越来越频繁地出现在各种研究和应用流体力学、粘弹性、生物学、物理学和工程;参见[1,2]。有一些方法通常用于解决拉普拉斯等部分偏微分方程和傅里叶变换,变分迭代法和微分变换方法。在这项研究中,我们想要使用修正后的傅里叶级数方法在解决这些问题。
在[3傅里叶级数),纠正方法用于解决经典的pd的问题。修正后的傅里叶级数是傅里叶级数的一致收敛的组合和修正函数,由代数多项式和亥维赛阶跃函数。
2。基本的定义
Riemann-Liouville部分积分是最受欢迎的定义,我们总是在分数阶微积分的研究发现。
定义1。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序的一个函数被定义为
Jumarie修改Riemann-Liouville导数的秩序被定义为以下定义。
定义2。让,表示一个连续函数。分数导数的秩序定义如下:为, 为, 在哪里与。
定义3(见[4- - - - - -7])。分数阶导数定义为复合函数
定义4(见[4- - - - - -7])。关于积分被定义为分数微分方程的解决方案
引理5(见[4- - - - - -7])。让表示一个连续函数;的解决方案,,(5)被定义为
3所示。修正的傅里叶级数
CFS的形式描述 在哪里和。
由于周期性的或,我们可以取消第一个三项的右边(7),因为他们是等于零。基于端点的值及其偏导数,得到以下线性方程: 在哪里和。
接下来,我们想确定系数,,。关于的端点效应及其偏导数的收益率 同样,由于周期性,第一个和第三个条件(7)及其偏导数等于零。然后,通过应用基函数上的傅里叶投影我们解决了,: 对类似的情况,我们有
4所示。部分校正傅里叶级数
在本文中,我们考虑以下线性time-fractional方程的一般形式: 并受初始条件 的情况下,经典的线性分式方程减少PDE和类似的情况。
定义6。为超过最小的整数,修改后的Riemann-Liouville time-fractional导数算子被定义为 在哪里与。
获得九个未知数)(7),我们解决以下线性方程: 在哪里,,。
然后,我们安排的顺序方程,;,;和,;我们可以有九个未知数,,,,,,,,在一个向量形式。然后,我们解决这个系数的矩阵形式。通过求解矩阵,我们可以确定系数。
5。数值结果
问题1(见[2])。我们考虑线性time-fractional波动方程
确切的解决方案是由(见表1)。
部分修正的傅里叶级数之间的比较(先)和变分迭代法(VIM)我们采取的地方。(见表2和3。)
被清除,,我们解决它通过使用原始纠正傅里叶级数。
问题3(见[8])。让我们先考虑以下time-fractional微分方程如下:
确切的解决方案是由(见表6)。
修正的傅里叶级数和其他方法之间的比较见表7和8。
6。结论
本文修改Riemann-Liouville导数的存在,提出了修正的傅里叶级数来解决部分偏微分问题。问题的解决方案是在给定的表显示为不同的值1- - - - - -8。结果表明,慢性疲劳综合症之间有较小的误差方法和其他方法。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者欣然承认,这项研究支持的部分大学Putra马来西亚尔格赠款项目下有项目没有。5527068。