文摘

我们研究漂移参数的最小距离估计量的渐近性质的一类非线性标量混合分数布朗运动驱动的随机微分方程。这个估计量的一致性和极限分布建立的某种规律性条件下扩散系数趋于零。

1。介绍

随机微分方程(sd)是一种自然选择模型的时间演化的动态系统受随机因素的影响。的解的存在和唯一性的有限维随机微分方程和随机积分的性质,我们指的是(1- - - - - -3)和引用。

很自然的是模型包含未知参数。参数估计问题扩散过程满足sd由布朗运动驱动(以下Bm)研究了。最近的一个全面讨论,我们指的是(4,5)和引用。统计推断的扩散过程满足sd由分数布朗运动(以下简称fBm),在这个方向上取得了实质性的进展;我们指的是(6- - - - - -9为更多的细节。

混合分数布朗运动(以下简称mfBm)是由帕特里克(10]给出一个折扣的随机模型的股票价格在一些金融市场无套利的和完整的。因此,为了考虑到长期记忆和排除套利,自然使用mfBm取代标准布朗运动。因此,已经被越来越多的兴趣为随机过程由mfBm参数估计。

有几种启发式方法用于sd mfBm驱动的情况下,如企业、伦敦证交所和序列估计。在连续情况下,初速以来理想渐近性质的一致性,正常,也许和效率在广泛的条件下,最直接的方法是初速。然而,企业有一些缺点;程序的计算通常很麻烦,需要良好的企业涉及随机积分表达式近似计算的目的。此外,一般良好的渐近性能并不总是在离散情况下满意。文献[11)表明,伊藤过程的估计参数的方法通过应用程序的离散化SDE的收益并不一致的估计。伦敦是初速渐近等价。众所周知,序列估计方法可能导致同样有效的估计过程中观察到的可能是在一个较短的预期时间的观察。尽管存在广泛的评估技术开发的sd mfBm驱动的参数估计问题,我们应该选择一个合适的估算方法。

尽管mfBm静止的自相似的增量,它没有固定的增量和不是一个马尔可夫过程。所以,状态空间模型和卡尔曼滤波器估计不能应用于这个过程的参数。在这种情况下,为了克服这些困难,提出了最小距离的方法。

对这个方法的参数估计是最小距离估计(以下身边)方法有几个特性。这让身边的一个有吸引力的方法。从一个部分有时容易计算。另一方面该估计量是一致的(参见[12在一些一般条件下)。米勒(13]研究了通用框架(身边)Hilbertian类型和显示,身边是在某些情况下,高效和渐近正态的。此外,身边是一个类自动估计的鲁棒在同一意义上(更多细节见14]),这是一般最优根据一些鲁棒性的定量测量。

sd由布朗运动驱动,Kutoyants [15]和Kutoyants Pilibossian [16)证明收敛的概率随机变量与上确界范数和他也证明了这一点是渐近正态的和。Henaff [17)建立相同的结果在一般情况下规范的一些功能的巴拿赫空间。sd由fBm, Prakasa拉奥(18]研究了最小范数估计量分数Ornstein-Uhlenbeck类型漂移参数的过程和证明在概率收敛一个随机变量。Kouame et al。19]研究了最小距离估计量的渐近性质参数的随机过程由fBm当扩散系数趋于零。

然而,很少有研究mfBm的估计工作。自砺[20.获得一些通用mfBm的随机属性和样品的持有人连续性路径和治疗可微性的mfBm的轨迹。苗(21获得最低的渐近性质规范漂移参数的估计量由mfBm SDE线性驱动。肖et al。22]研究了参数估计的问题基于初速mfBm从离散的观测。

在本文中,我们的目标是获得身边漂移参数的一类非线性标量sd由mfBm和研究这个估计量的渐近性质。

本文的其余部分收益如下。部分2从一个简短的描述定义mfBm然后提供一些基本的前题,将用于即将到来的部分。我们获得身边漂移参数的一类非线性标量sd mfBm驱动。节3研究上述估计量的一致性。节4的极限分布的估计是建立在某种规律性的条件下扩散系数趋于零。

2。符号和预赛

让概率空间上定义的是一个分数布朗运动和的过滤代数的,满足通常的条件;也就是说,是一个完整的概率空间,包含所有零组,为每一个,。

一个分数布朗运动赫斯特的参数是一个连续和集中高斯过程;也就是说,对所有,协方差函数

从(1),很容易获得,,尽管。此外,fBm降低标准布朗运动用为。

的符号意味着和有同样的法律。表示由上确界的过程 一个标准的fBm具有以下属性(更多细节,请参见[23),第5页,定义1.1.1)。(1) 均匀的增量;也就是说,为。(2) 已经连续的轨迹。让我们以和这是两个真正的常数,这样吗。由帕特里克·[10),我们下面的介绍。

定义1。混合分数布朗运动的参数,是一个过程在概率空间中定义通过

备注2。从自砺20.),我们知道mfBm mixed-self-similar过程: 在哪里是一个常数。此外它遵循的上确界的过程那

通过使用mfBm的自相似性,我们获得以下引理。

引理3。让是一个常数,一个mfBm与参数;然后对每一个,

的价值(6)是未知的。然而幸运的是,我们有以下两个前题给的界限标准Bm和fBm,分别。

引理4 (Burkholder-Davis-Gundy不平等)。对于任何停止时间大英博物馆所产生的过滤,一个 的常量和只依赖于参数。

B-D-G有着悠久的历史,我们只列举一些在这个领域工作。也许第一个一般结果由于诺维科夫先生(霍尔德)和(见[24,25])。

引理5(见[26])。让是一个停车时间对过滤fBm生成的。然后,对于,一个 和,,一个 的常量和只依赖于参数。

引理6(见[16,120页)。让,,,连续函数和一个序列一个承认一个独特的最小凸函数。让,是一个正数,这样的序列作为。我们假设 然后 如果有几个最小值的,我们选择任意一个。

现在我们考虑一类非线性标量混合参数估计问题,剖析在接下来的框架: 在哪里是一种已知的可测量的功能,未知的漂移参数,。

表示真正的参数。让是诱发的概率测度的过程和微分方程的解决方案(12),。

假设上述方程的趋势功能有以下形式: 在哪里和两个可测量的功能。

这个函数可测量的对吗而且,对于任何一个,表示 请注意,对于任何。

的或上确界规范可以用和身边的(见[15])的定义

我们还需要下面的附加条件。

的功能是可测量的和nonanticipative满足如下不等式:所有和, 在哪里都是正的常数。

可测函数和连续两次可微的吗和。

假设 随机变量和定义,

表示的衍生品关于并引入高斯过程满足的方程 在哪里和的衍生品和关于和导数的概率是关于作为。

在本文中,我们将使用来表示一个通用的常数可能会有所不同从一个地方到另一个地方。

3所示。一致性

定理7。如果上面的条件是满意,那么,对于任何,存在常数,这样,每一个,

证明。条件确保强解的存在性和唯一性的12)。很明显,,概率, 对于任何, 由(21),我们有 然后使用前题3,4,5,我们获得

注8。由于上面的定理,我们得到在概率收敛下测量,。此外,收敛的速度对于每一个。

4所示。渐近分布

定理9。条件下和我们有,随机变量收敛概率的随机变量的概率分布是一样的下。

证明。让和作为。
介绍了集 对于任何,我们有。
事实上,根据(17)的条件和泰勒公式,我们获得 在哪里,,,。
然后,通过定理7,我们有 因此,我们只需要考虑的行为规范,因为。
我们有 在哪里 然后使用(12),(13),(19)和(21), 和一些常量。从(19),条件,引理4.13(见[27]),我们获得 然后, 通过再次使用引理4.13,我们得到的 现在考虑;利用泰勒公式,我们获得 在哪里,。
介绍了功能 由(33)和(34), 因此,如果我们选择这样当那么,概率,我们有 利用引理6,我们获得的结果。证明完成。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。