文摘
流行病模型,提出了时间延迟和分析。在这个模型的影响感知项目由媒体对传染病的流行。假设之间通过直接接触传播病原体易感,感染人群,进一步认为,意识项目累计密度增长率的增加速度与感染性人口成正比。模型是利用微分方程的稳定性理论分析和数值模拟。两个平衡已经被证明是全局渐近稳定的。我们得到的结果和数值模拟表明传播率和实现率的增加可以减少感染人口的比例。
1。介绍
传染性疾病导致死亡、残疾和社会和经济破坏是人类的一个主要威胁,负责世界上四分之一的死亡每年(1- - - - - -3]。一旦出现传染病传播的地区,疾病控制和预防中心将尽其全力阻止疾病的传播(4]。措施之一是告诉人们适当的预防疾病的知识尽快通过媒体和教育,使人们采取预防措施以减少被感染的机会(5]。意识的传播,人们会改变自己的行为来改变他们的易感性。有很多证据表明,媒体报道可以发挥重要作用和控制传染病的传播6- - - - - -11]。在[8崔和其他人建立了一个框架的透射系数与媒体报道的递减函数的数目感染性个人和他们观察一个典型的门槛类型行为,与疾病灭绝和全局渐近稳定平衡时,他们得出的结论是,媒体报道是根除疾病的关键。
模型研究传染病的传播是非常有用的在评估策略来控制人口的疾病。最近一些作者研究了媒体报道的影响和教育传播的传染病在给定的区域(12- - - - - -14]。在[12Misra)等人提出了一个非线性数学模型的影响认识节目传播的传染病和承担意识程序的增长率影响人口感染个体的数量成正比。模型分析表明,传染病的传播可以用意识控制的程序,但疾病流行由于移民。约克和伦敦(15]提出SIS类型区划的性传播感染模型假设整个人口的风险但只有一定比例选择回应通过限制他们接触感染人群。作为控制感染扩散的结果,导致个体的数量减少感染。非线性数学模型与延迟捕获的动力学效应对传染病的流行节目认识提出和分析(16],它认为它增加速度成正比感染性的死亡个体的数量。
一些学者关注的接触率和他们中的大多数认为媒体竞选活动将帮助修改敏感和感染性个人之间的接触率(17- - - - - -27]。为了防止接触率的无界性,卡帕索(17)使用饱和发生率的形式;刘和同事(23,24用一个非线性发生率由将行为变化的影响。在[25),作者研究媒体报道如何利用SIRS传染病模型的动力学影响的接触率,在那里,都是正的常数。Tchuenche和胃痛的指数递减函数揭示了媒体的力量(27]。崔等人使用一个类似的功能(13),开发了一个模型使用发病率探讨媒体报道对传输的影响(28]。模型的稳定性分析表明,当霍普夫分岔导致可能出现振荡现象是足够小。数值模拟表明,媒体影响强当基本再生数。刘等人。29日)描述媒体报道使用透射系数的影响,在那里是住院的人的数量。和避免这种影响导致的变化和联系方式在个人和社区水平。刘和肖30.]介绍一个分段函数来描述饱和媒体影响制定流行病模型。Filippov流行病模型与媒体报道描述的特点提出了传染病的传播媒体的影响,通过融合一个分段连续的传输速度在[31日]。数学和分岔分析关于当地,全球稳定的平衡和地方执行滑轨。Bhunu et al。32)和Tchuenche和胃痛27]人口集中在不同类型的工作。
为了更好地描述人口混合条件下,一些作者研究传染病模型在不同的网络33,34]。疯克等人都覆盖上信息传播的一种传染性疾病的模型二,不一定相同的网络,更明智的个人采取行动降低易感性(35]。刘等人进了随机扰动(36]。在[37),作者从确定性扩展经典的SIRS传染病模型框架,一个随机微分方程,然后他们给了唯一正解存在的条件和随机灭绝和讨论了指数p稳定和全球稳定。
大部分的文章,如12),假设,由于意识程序,由媒体,一些易感个体将避免他们接触传染性个人导致形成的一个新类人口和这个新成立的了解类只能感染合同如果他们失去了意识。但我们认为这是不合理的。事实上有时即使人有意识的疾病,他们也会被感染。因此,我们提出一个数学模型预测未来的任何流行通过考虑这个新成立的了解类到模型中。
本文的其余部分组织如下。在下一节中,捕捉到的动力学效应累积密度意识项目任何流行的流行提出一个数学模型和分析。然后我们分析的局部和全局稳定无病和唯一的地方病平衡点的部分3。此外,在节4我们执行一些数值例子来验证分析结果部分3并介绍传播率和实现率的重要性在疾病控制。节5我们将讨论上述内容。
2。数学模型和均衡分析
摘要由于疾病的意识程序,很少接触感染的易感的个体,形成一个不同的类,即意识到易感类;因此人口分为三个阶级,易感人群,意识到人口,和感染人群,他们在总人口的比例,,。假设在时间意识的累积密度项目由媒体在这一地区,增加的速度成比例的感染性人口和消费由于导致效率低下和心理障碍,从而
事实上人们不能及时采取措施保护自己在媒体报道疾病,所以我们引入一个时间延迟代表报告之间的间隔时间和采取措施的时间。我们假设感染者的比例通过治疗和恢复,恢复后,一小部分恢复的人们会意识到并加入知道易感类而剩下的一部分将变得不敏感。记住上面的事实,动力学模型由以下系统的非线性常微分方程: 在这里,,。
假设由于直接接触传播的疾病易感,感染个体之间。在上面的模型中,人口是移民的速率敏感。是意识到的接触率和感染性人口和敏感吗的接触率是不知道的。常数代表意识的传播速度不知道容易由于它们形成一个不同的类;然后表示知道容易知道类的转移率。常数,代表了回收率和自然死亡率,分别。上述所有常量被认为是积极的。使用这一事实系统(2)成为如下: 现在是充分的学习系统(3)详细而不是系统(2)。
分析系统(3),我们需要该地区的吸引力是由一组:,吸引了所有解决方案启动内部的积极的象限。
定义基本的繁殖数量。有两个平衡,无病平衡和地方病平衡点;的存在是微不足道的;然后我们证明的存在在细节。在的值,通过解决以下代数方程(): 使用(5)和(6),我们得到 此外,使用(7)和(8)(4),我们获得的二次方程作为 在哪里 解决(9),我们得到 我们获得和当并获得为。
备注。的表达式,很容易注意到和,表明感染个体的均衡数量减少的速度传播和意识程序的实现率增加。
3所示。稳定性分析
在本节中,我们讨论的局部和全局稳定性和。
3.1。无病平衡点的稳定性
定理1。当,无病平衡是局部渐近稳定如果变得不稳定,如果。
证明。相对应的雅可比矩阵系统(4)给出如下: 在哪里是特征值。然后特征方程 我们得到了,。所以当;当。
定理2。当,无病平衡全局渐近稳定在吗如果。
证明。建立无病平衡点的全局稳定性,我们使用李雅普诺夫方法和考虑下面的正定函数: 现在区分关于,我们得到 当,。最大的紧不变集当是单例。然后拉萨尔的不变性原理暗示全局渐近稳定在吗。
3.2。地方病平衡点的稳定性
线性化系统(4),让,,并获得 在哪里 无病平衡点和地方病平衡点的稳定性对系统(3)是对应的。上述系统的特征方程是 在哪里特征值和 地方病平衡点的稳定性的系统(3)是在下面的定理。
定理3。当,地方病平衡点是局部渐近稳定如果。
证明。当,特征方程的形式
很容易看到
从,我们可以得到;因此。根据赫维茨判据,我们可以知道所有的的负实际零件;然后是局部渐近稳定的。
当,请注意(18)没有负的真正根源。如果它与非负实部根他们必须复杂,应该得到一对共轭复数根穿过虚轴。因此,(18)必须有一双纯粹虚构的一些解决方案。假设()是一个根(18)不失一般性。这是当且仅当满足的方程
分离的实部和虚部,我们有以下系统,满足了:
消除每个方程的三角函数两边平方以上,我们添加的平方方程获得下列第四阶方程:
减少这个四阶方程一个二次方程和表示的系数
在哪里
所以所有的系数(25)是正数。然后根据引理在[38),(25)没有积极的真正根源;也就是说,我们可能不会得到任何积极的价值满足超越方程(18)。所以所有的有负的实际部分的所有值的延迟;然后是局部渐近稳定的。因此,当,是局部渐近稳定如果。
定理4。当,地方病平衡点全局渐近稳定在吗如果。
证明。利用李雅普诺夫方法,我们考虑下面的积极功能: 的导数系统是由 最大的紧凑的不变时设置是单例。然后拉萨尔的不变性原理暗示是全局渐近稳定的;也就是说,全局渐近稳定在吗。
4所示。数值模拟和结果
检查我们的分析的可行性在本节中,我们给出一些数值计算使用Matlab通过选择以下的一组参数值:,,,,,,,,,,当。让;它可能是确认的条件地方病平衡点的存在。这些数据得到的平衡值 基本的繁殖数量上面的一组参数值,发现。
对于上面的参数值,我们选择五套不同的初始启动;然后意识到人口的计算机生成图形,感染性人口密度和累积的意识程序,分别绘制在图1,这表明所有区域内的轨迹开始吸引对待和,分别。两个平衡和局部渐近稳定于给定的一组参数值,数值模拟支持节中给出的分析3。事实上,他们是全局渐近稳定的正如我们所证明。
(一)
(b)
在下面,我们研究的关系,和传播率,实现率分开。我们做,改变来的表演和关于时间的轨迹为不同的和如数据所示2和3,分别。和没有意识程序时和都等于零。如数据所示2和3,增加和减少的增加和这句话的,这证明了结论。和,更大影响比,国家意识程序对预防疾病有积极的影响。另外的原因()也有类似的变化趋势和是,和有一个类似的影响()。从图我们获得可以推迟的时间平衡的平衡;这样我们可以有更多的时间来制定措施防止疾病。这里真的是一个努力让它清楚和(意识程序)起着关键的作用在疾病的预防和控制。
(一)
(b)
(一)
(b)
5。讨论
媒体被广泛认为是一个关键的工具影响人民对疾病的行为制定适当的政策来控制疫情。意识程序通过媒体让人们意识到对疾病和采取各种预防措施,以减少被感染的机会。在本文中,我们提出并分析一个数学模型来研究意识的影响程序由媒体和传染病的流行的延迟。假设之间通过直接接触传播病原体易感,感染人群。进一步假设累积密度意识程序感染人口增加速度成正比。该模型展览两个平衡;无病平衡已被证明是稳定基本繁殖数量。为,它变得不稳定,导致一个地方病平衡点的存在。特有的均衡是全局渐近稳定的。延迟对系统的稳定性没有影响。数值模拟和结果证明平衡稳定性的建议,如果我们想要减少感染的比例人口和人口增加了解,我们可以增加传播率和实现率。它们有助于控制疾病的传播。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金(没有。10901145)和山西省自然科学基金(2012011002 - 1)。