文摘

在本文中,我们考虑拓扑和形状优化问题相关的非平稳的n - s系统。耗散能量的最小化在流体领域进行了探讨。提出的方法是基于设计函数的灵敏度分析对插入一个小障碍的流体域。一些数值结果显示该方法的效率和准确。

1。介绍

拓扑形状优化在流体力学中具有广阔的和有价值的应用程序在流体力学和空气动力学等问题的设计汽车头罩,飞机的翅膀,和喷气发动机进气道形状。介绍了各种优化方法确定最小阻力机构的优化设计1- - - - - -3),扩散器(4)、阀门(5),和翼型6]。大部分的方法处理流动领域的优化设计属于形状优化和有限的确定最优现有边界的形状。

直到最近,引入了拓扑优化和用于流体的形状优化问题。它可以用来设计域内允许新边界引入设计。在这种背景下,提出的第一个方法是一个Borrvall和Petersson [7]。他们放松的物质分布的方法实现最小化功率耗散在斯托克斯流。后来,这种方法已经被客人广义和普雷沃斯特(8]。他们把材料阶段当作多孔介质流体流动是由达西定律。在[9),我们提出了一个新的拓扑优化方法,对斯托克斯系统,基于拓扑敏感性分析(10- - - - - -17]。构造最优域通过插入一些障碍在最初的一个。这个问题导致优化障碍物的位置。拓扑中包括灵敏度分析方法研究成本函数的变化关于插入的小障碍在点。它会导致一个渐近展开的在以下形式: 在哪里是一个标量积极作用趋于0。这个表达式称为拓扑和渐近展开式被称为拓扑梯度。

为了最小化,最好的位置插入障碍在流体领域就是是最负面的。事实上,如果,我们有。

从这个观察,可以构建拓扑优化算法。获得最优域使用一个迭代过程建立一个几何图形的序列与。在th迭代,拓扑梯度计算在和新的几何通过插入一个障碍吗在域;。的障碍由一个水平集曲线定义的 在哪里选择在这样一个方式,成本函数减少尽可能的大多数。

据我们所知,非平稳的n - s方程的拓扑灵敏度分析到目前为止还没有被研究过。最贡献一直集中在静止的政权。

这项工作的目的是将拓扑梯度法的非线性非定常流的环境。的主要困难来自于非线性算子和治疗相关的伴随的问题。克服这样的困难,我们使用离散伴随方法。这个替代navier - stokes方程的离散化,线性离散方程,然后利用线性算子形成共轭转置的问题。离散伴随方法开发了艾略特和Peraire18),穆哈马迪和Pironneau19],尼尔森和安德森(20.]。

本文的其余部分组织如下。节2,我们目前的拓扑优化问题。节3,我们推导出离散拓扑渐近展开的n - s方程。提出的数值算法和部分中描述的一些数值结果4。论文的最后一些结束语。

2。问题陈述

我们考虑粘性不可压缩流体在一个有限的领域的。描述流体的非平稳的n - s方程(21]。对于给定的边界数据和源项(重力),速度和压力满足系统 在哪里流体的运动粘度,计算时间,是一个初始条件验证。在这里和两部分的边界吗这样和。上的应力分布被定义为与和是单位外法线向量。

2.1。形状优化问题

我们假设流体域是一个腔有一个入口和一些媒体(见图1)。其目的是确定最优几何弯头的域流体耗散能量的最小化。考虑的问题可以制定如下: 在哪里成本函数定义的 与是速度场解n - s系统(3在域。

在这里是容许域的集合定义的 在哪里勒贝格测度的吗和表示目标体积(重量)。

解决考虑拓扑优化问题,我们提出了一种优化方法基于拓扑的灵敏度分析方法。最优域是使用一个迭代过程建立一个序列构造的几何图形与。在th迭代,新的几何通过插入一个障碍吗在域;。的障碍被定义为一个标量函数的水平集曲线 在哪里选择在这样一个方式,成本函数减少尽可能的大多数。这个函数被称为拓扑梯度。它是用拓扑计算函数的灵敏度分析关于小几何扰动域的创建。

2.2。最佳位置的一个小障碍

让是一个小障碍插入在流体流动。我们假设障碍的形式,在那里,,是一个给定的固定和有限域的,包含原点,其边界是。在障碍的存在,函数被定义为 在哪里是速度场解n - s系统(9在摄动域:

我们的目标是确定最优位置的障碍在流体领域最小化函数: 为了解决这个最小化问题,拓扑中包括灵敏度分析方法研究函数的变化关于。它会导致一个渐近展开以下形式: 在哪里是一个积极的标量函数趋于0。这个表达式称为拓扑和渐近展开式被称为拓扑梯度。

渐近(11),一个可以观察到的最好位置的障碍在最小化(解决方案(10)是由 在哪里的位置是是最负面的。事实上,如果和,尽管,我们有和,尽管。

从这个观察,拓扑梯度在优化过程中计算。它将被用来确定障碍的位置插入在每一次迭代。

为此,我们将得到一个拓扑灵敏度分析在下一节navier - stokes方程。结果大类成本函数是有效的。

3所示。拓扑灵敏度分析

我们开始我们的分析navier - stokes时间离散化的问题。它会导致解决稳态广义斯托克斯方程在每个时间步。navier - stokes方程的拓扑敏感性分析是派生的部分3所示。3。

3.1。时间离散化

我们的话,第一个方程中的对流项的系统(9)恰逢全导数, 然后,如果时间步长和吗是近似速度时间吗,使用特征的方法22,我们有以下近似: 在哪里描述时的位置流体粒子的点在时间。的解决方案 使用(15),的时间离散化(9)读 在哪里,,,的近似和准时。

然后,在每个时间步,我们必须解决一个稳态广义斯托克斯的问题有下面的一般形式: 为,我们在10这个问题(17)有一个独特的解决方案。

3.2。拓扑灵敏度分析的广义斯托克斯方程

在本节中,我们给出了拓扑灵敏度分析的广义斯托克斯方程在创建一个小洞域内具有均匀狄利克雷边界条件。我们回忆起这里的主要结果。更多细节,可以参考(10]或[15]。对所有功能给出的结果是有效的满足以下假设。

假设1。(我)这个函数可微的对吗,我们表示它的导数。(2)存在一个实数这样对所有

定理1(见[10,15])。假设下的假设1,函数的渐近展开 这个函数伴随的问题的解决方案吗 这个函数解决以下边界积分方程(更多细节,可以看到15,23): (在哪里,)是斯托克斯方程的基本解 在哪里,,是转置向量的。
在特定的情况下是单位球,我们有 因此,密度给出明确的,。

推论2。让和。假设下的定理1,一个 这个词的表达取决于成本函数。在接下来的命题,我们考虑半范数计算它的变化。

命题3(见[10])。让是一个给定的速度场。
成本函数满足这些假设的假设1与 如果是单位球,我们有,尽管。

3.3。拓扑离散的灵敏度分析n - s方程

考虑一个形状函数的形式 与对所有,在那里解决方案(9)和功能满足以下假设。

假设2。(我) 可微的对吗,几乎所有。(2)对所有,,尽管。(3)存在一个实数、独立的,这样
在本节中,我们考虑到非平稳的n - s方程,我们计算成本函数的变化关于插入一个小障碍的流体域。基本思想是使用离散公式(16),应用广义斯托克斯系统建立的结果。我们有 在哪里和,时间步长。从n - s方程的离散公式(16),我们获得以下近似: 使用广义斯托克斯方程的灵敏度分析,提出了在上一节,我们推断 与 在哪里是离散的解n - s方程在时间吗 这个领域是相关的伴随问题的解决方案。逆向计算时间从最终流解决方案 在哪里速度场的近似在时间。
这个函数解决边界积分方程吗 然后,我们得到以下的结果navier - stokes方程。

定理4。如果满足这些假设的假设2,函数承认以下渐近展开: 在哪里给出了拓扑梯度 如果是单位球,我们有。
然后,我们推断出下面的推论。

推论5。让和。假设下的定理4,一个

4所示。算法和数值结果

本部分介绍一些数值调查给我们的形状优化问题(见部分2)。拓扑的优化算法是基于灵敏度分析获得的部分3。从推论5和主张3,我们推断出函数承认以下渐近展开: 拓扑的梯度是由 的表达推导出的必然结果5和主张3。

4.1。拓扑优化算法

如前所述,获得最优域使用一个迭代过程建立一个几何图形的序列与。在th,迭代拓扑梯度用和新的几何通过插入一个障碍吗在域;。的障碍被定义为一个水平集曲线的拓扑梯度。

该算法。拓扑优化与体积约束。(我)初始化:选择,并设置。(2)重复,直到:(一)计算navier - stokes方程的解决方案(32),(b)计算相关的伴随问题的解决方案(33),(c)计算拓扑梯度,,(d)确定障碍,(e)得到新的域(f) 。

这个函数计算分段恒定元素。常数确定的体积的障碍要插入。在实践中,选择这样的障碍卷是小于等于当前域的体积;也就是说,。更准确地说,插入区在哪里是负的。的参数选择这样。的条件保证设计功能的降低。

以下4.4.1。一个洞一个入口和两个出口

我们考虑一个腔与一个入口和两个出口拥有相同的部分(见图2(一个)),盘的中心和半径,盘的中心和半径,盘的中心和半径。本例中给出的结果数据3和4。提出了最优几何图3(一个)。它是获得。获得的垂直开挖速度如图3 (b)。的变化如图3 (c)。我们现在在图4在优化过程中获得的一些几何图形。

4.1.2。腔有一个入口和三个网点

在本例中,我们使用一个空腔和一个入口和三个网点,,(见图5(一个))。出口和入口被定义为(我) 盘的中心(0、0.5、0.2)和直径等于什么;(2) 盘的中心(1、0.5、0.4)和直径等于什么;(3) 盘的中心(1、0.5、0.6)和直径等于什么;(iv) 盘的中心(1、0.5、0.8)和直径等于什么。

给出了初始域和初始速度场图5。这个例子说明数据的结果6和7。最优域计算。它是呈现在图6(一)。垂直(在减少)的速度如图6 (b)。图7显示了一些几何图形在优化过程中获得的。

5。结论

在这项工作中,我们扩展了拓扑梯度法的不稳定情况。介绍了离散伴随方法来克服的困难来自于非线性算子。该算法应用于确定最优形状的管腔。获得最优域迭代通过插入一些障碍在最初的一个。的位置和大小障碍所描述的拓扑梯度。

该方法有两个主要功能。第一个问题的适应其他不稳定问题。推导分析一般能适应各种运营商如弹性、亥姆霍兹,麦克斯韦,等等

第二个有趣特性关系到效率和简单的数值算法。很容易实现,可以用于许多应用程序。只有几个迭代需要构建最终的域。在每个迭代中,我们只需要解决直接和伴随的问题在一个固定的网格。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这个项目得到了沙特国王大学,科研、学院的院长职科学研究中心。