文摘
简化的柯西问题浅弹性流体模型,一个寺庙的类型,系统研究和全局弱解获得通过使用补偿紧性定理加上总变异估计在第一和第三黎曼不变量,在第二个黎曼不变量是零附近的奇异层深度。这项工作在某种意义上延伸到以前的作品,(Serre, 1987)和(桑德琳和寺庙,1985),提供全局弱解的存在性严格双曲系统和(Heibig, 1994)严格双曲系统平滑黎曼不变量。
1。介绍
在[1),作者提出了一种新的简化模型gravity-driven自由表面浅弹性流体的流动。它是通过upper-convected麦克斯韦模型的渐近展开弹性流体。假设粘度小,但弛豫时间是有限的。(5.6)的简化系统(1)如下: 由于变量在过去的方程是独立的第一个四个方程(1),我们删除它,让,获得以下保护系统:
通过简单的计算,三个特征值的系统(2) 与相应的黎曼不变量 和殿的所有特征字段类型,即激波和膨胀波一致。
在本文中,我们将研究系统(的柯西问题2)与有限的初始数据 并证明整体弱解的存在性通过使用粘度方法加上消失补偿密实度的论点。
两个守恒定律的双曲系统的冲击和稀疏曲线一致被寺庙(第一次描述了2),后来这种系统全局弱解的存在性,与任何有界变差初始条件,证明了Serre (3)((4为一个特殊的系统),关键技术是黎曼不变量的总变差减小。Serre的想法是延长Heibig [5学习任何严格双曲系统的寺庙类型,与光滑通量函数。对于系统(2),通量函数和第二次黎曼不变量是零层深度附近奇异吗。所以,技术提出了(3,5)不能用于研究系统(2直接)。幸运的是,我们可以接受的方法3)获得的总变异,第一和第三黎曼不变量,正在减少,这意味着简洁的和粘度的解决方案由柯西问题。然后我们可以申请div-curl引理的双功能和,在那里是一个常数,给很短的全局弱解的存在性的证明柯西问题(2)和(5)。
定理1。假设(我) 在哪里是一个小正的常数和,合适的常数是令人满意的 (2)的总变异和是有界的,那么柯西问题(2)和(5)有一个有界可测解决方案,令人满意的系统(2)的分布。
现有的结果给出了(5)是基于这个寺庙的任何系统类型;存在一个严格凸熵(引理1,5])。然而,在我们的案例中,严格凸熵的存在并不明显,因为所有成对的entropy-entropy通量(2)是构建在以下定理。
定理2。所有的熵(2)的形式 在哪里,,是任意的函数,与相应的熵通量 此外,当,,都是凸的,熵是凸的。
2。定理的证明1
我们将证明定理1由几个词。
考虑相关的柯西问题抛物型系统 与初始数据 在哪里是一个安慰者。
引理3。如果初始数据满足(6)和(7),然后固定,粘度的解决方案柯西问题(10)和(11)存在。
引理的证明3。我们把第一个方程代入第二个和第三个方程(10),分别获得
然后通过应用极大值原理(12),我们有
由于初始条件给定的(6),黎曼不变量的(4)。
使用这些估计,我们有以下有界估计:
由于条件(7)。的有界性,我们有积极的,较低的估计
通过使用定理1.0.2 [6和第一个方程(10),倾向于零的时间吗趋于无穷时,或倾向于零。
半线性抛物系统的标准理论,即当地的存在和先验界估计(14)和(15),给了我们全球的存在柯西问题顺利解决方案(10)和(11)。引理3是证明。
引理4。如果总变异和粘度是有界的,那么解决方案满足 在哪里是一个积极的常数,这是独立的吗。
引理的证明4。让。选择在(12)。区分(12)对然后乘平稳序列的功能结果,我们有 如果我们选择一个凸,和,作为,然后我们让在(17),我们有 的分布。积分(18),我们有 自是有界的。所以,我们首先证明了估计(16)。同样我们可以证明第二估计(16)。引理4是证明。
引理5。 在哪里,是任何光滑函数。
引理的证明5。使用(16)和(14),我们知道和一致有界的吗而在所以紧凑由于Murat引理7]。引理5是证明。
引理6。 紧凑的。
引理的证明6。乘
第一个方程(10)(为简单起见,我们省略了上标),我们有
自是有界的,乘以一个适当的非负测试函数(22),我们有
所以第一个方程的右边(10)是紧凑的,这意味着简洁的。
我们把第一个方程代入第二个(10)获得
然后我们乘(24),第一个方程(10),然后加入获得结果
选择一个严格凸函数,乘以一个适当的非负测试函数(25),我们有
同样我们可以证明
使用(23),(26),(27)和(20.),我们可以证明最后两项的密实度(21)。引理6是证明。
现在我们给出定理的证明1。让疲软的明星的极限。
使用div-curl引理[6,8]以下双功能,分别为: 在哪里是一个常数,我们有什么 因此我们可以证明极限满足(2通过让)的分布归零(10)。定理1是证明。
3所示。定理的证明2
在本节中,我们将证明定理2。很容易证明,任何一对entropy-entropy通量,的系统(2),必须满足以下系统: 然后我们有 这是 使用第一个和第三个方程(32),我们得到 解决第二个方程(32),我们有 在哪里是一个任意的函数。
我们重写第一方程(32), 然后 在哪里是一个任意的函数。
区分(36)对和使用第一个方程(32),我们有 区分(34)对和使用(33)和(37),我们有 此外,微分(34)对和微分(36)对和使用第二个方程(32),我们有 我们解决(38)和(39)获得 在哪里,是两个任意函数。
积分(34)对,我们有 在哪里,,是一个合适的函数这样在(41)必须满足(36)。因此满足 所以或。因此,(8)是证明。
证明(9),我们删除所有条款的右边(12)获得 第一个方程(相乘43)和第一个方程(2),然后添加结果 因此,熵熵通量对应是。
类似地,我们可以证明熵通量对应熵是,相对应的磁熵是。因此,(9)是证明。
让,和。通过简单计算 对于任何向量 因此时凸是凸的。同样我们可以证明和时凸,是凸的。定理2是证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持的部分中国浙江省自然科学基金(批准号LY12A01030也没有。LZ13A010002)和中国国家自然科学基金(批准号11271105)。