文摘
利用已知Guo-Krasnoselskii不动点定理,我们调查的特征值区间的存在和不存在至少一个正解非线性分数微分方程的积分边界条件。
1。介绍
分数微积分已经收到越来越多的关注在视图的广泛应用数学模型来自物理和其他应用科学;看到书(1- - - - - -5]。最近,解决方案的存在(或非线性分数微分方程正解)已经在许多研究论文(见[6- - - - - -28)和引用引用其中)。然而,在分数微分方程的特征值问题,只有少数的结果(29日- - - - - -33]。
最好的作者的知识,没有论文考虑了特征值问题的非线性分数微分方程积分边界条件: 在哪里,卡普托分数阶导数,是一个连续函数。
我们的证据是基于格林函数的性质和Guo-Krasnoselskii的不动点定理在34]。我们的目的是给非线性分数微分方程的特征值区间积分边界条件。此外,根据特征值的范围,我们建立一些充分条件的存在和不存在至少一个正解的问题(1)。
2。预赛
为方便读者,首先现在的一些背景材料。
定义1。为一个函数卡普托分数阶的导数被定义为 在哪里表示实数的整数部分。
定义2。Riemann-Liouville部分积分为一个函数被定义为 提供这类积分的存在。
引理3。让;然后 对于一些,,。
引理4(见[34])。让巴拿赫空间,让是一个圆锥。假设,是开放的子集与,,让是一个完全连续算子等(我)
,,,,或(2)
,,,。
然后有一个固定的点。
引理5。让,,,。假设;然后问题的唯一解 是给定的表达式 在哪里
证明。众所周知,这个方程可以简化为一个等价的积分方程:
对于一些
。
的条件和,我们可以得到和
因此,我们有
把;然后,从(10),我们推断出
这意味着
替换这个值(10),我们获得以下函数的表达式:
这就完成了证明。
引理6。让格林函数,给定的表达式(7)。为,以下属性:
引理2.4的证明类似于(7),所以我们忽略它。
考虑到巴拿赫空间与通用规范 定义锥。
定义操作符如下:
引理7。 完全是连续的。
证明。自,很明显。所以我们有 因此,。另一个证据是类似于(7),所以我们忽略它。
3所示。主要结果
为了方便起见,我们列出外延:
接下来,我们将建立一些充分条件的存在和不存在问题(积极的解决方案1)。
定理8。让是一个常数。然后为每个 问题(1)至少有一个积极的解决方案。
证明。首先,对任何,从(20.)我们有
一方面,通过的定义,存在这样,对于任何,我们有
选择。为,我们有
另一方面,通过的定义,存在这样,对于任何,我们有
取。为,我们有
根据(23),(25),引理4,至少有一个不动点吗与,这是一个积极的解决方案(1)。
备注9。如果和,然后我们可以得到 定理8意味着,问题(1)至少有一个积极的解决方案。
定理10。让是一个常数。然后为每个 问题(1)至少有一个积极的解决方案。
证明。首先,它遵循从(27),为任何,
的定义,存在这样,对于任何,我们有
选择。为,我们有。类似于定理的证明8,它拥有从(28)和(29日),
请注意。存在,这样
我们认为这个问题两种情况。(我)假设是有界的。存在,这样,。选择。让。为,我们有
(2)假设是无限的。存在这样
让。为,我们有
结合(I)和(II),;在这里,。然后,我们有
因此,(30.)和(42)一起引理4暗示至少有一个不动点吗与,这是一个积极的解决方案(1)。
定理11。假设和。问题(1)没有提供积极的解决方案 在哪里是一个常量定义在(38)。
证明。自和和的定义和,存在积极的常量,,,令人满意的这样
取
由此可见,对于任何。假设是一个积极的解决方案(1)。也就是说,
在序列,
这是一个矛盾。因此,(1)没有积极的解决方案。
定理12。假设和。问题(1)没有提供积极的解决方案 在哪里是一个常量定义在(43)。
证明。自和和的定义和,存在积极的常量,,,令人满意的这样 取 由此可见,对于任何。假设是一个积极的解决方案(1)。也就是说, 在序列, 这是一个矛盾。因此,(1)没有积极的解决方案。
示例13。考虑到分数微分方程
在这个例子中,
显然,我们有
自和通过计算,我们可以得到
选择;我们有
定理8意味着,,问题(46)至少有一个积极的解决方案。
备注14。特别是,如果我们把在示例13,然后和。备注9意味着问题(46)至少有一个积极的解决方案。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作由中国NNSF(不支持。61373174)和自然科学基金会山西省的年轻科学家,中国(没有。2012021002 - 3)。