文摘
本文处理凸组合,凸函数和詹森的泛函,。这项工作的主要思想是呈现给定凸组合使用另外两个凸组合以最小的点的数量。例如,至于平面组合的表示,我们使用两个三项式的组合。推广到更高维度也会考虑。
1。介绍
让是一个真正的向量空间。一组是仿射如果它包含线穿过它对所有点(所有二项式仿射组合,即,the combinations点的和系数的总和)。一个函数是仿射如果满足平等吗对于所有二项式仿射组合。
一组是凸如果它包含线段连接的双点(所有二项式凸组合,即,the combinations点的和非负系数的总和)。一个函数如果它满足不等式是凸对于所有二项式凸组合。
使用数学归纳法,它可以证明,每一个仿射函数满足平等 在仿射组合和每一个凸函数满足詹森不等式 为所有的凸组合。
对于一个仿射或凸组合这一点本身称为组合中心,数学不平等是很重要的。识别组合中心的重要性,作者(见[1)最近被认为不平等对单形及其锥。
凸集的总体概述,凸函数和它的应用程序可以被发现在2]。在工作方式和他们的不平等,我们可以依赖的书3]。许多数学分支的不平等的细节都写在[4]。
2。的凸组合
部分显示凸组合中心推导不平等的重要性。主要结果是定理2。
如果是不同的数字,说什么,然后每个数字可以唯一地表示为仿射组合 上述二项组合凸当且仅当这个号码属于区间。给定的函数,让是线经过的功能点和的图。使用的亲和力,我们得到的方程 如果函数是凸的,那么,利用凸性的定义,我们获得不平等吗 和相反的不平等
在这一节中,我们将使用一个时间间隔与非空的内部。
下面的引理代表一个系统化的版本(5,命题2]和处理两个凸组合拥有相同的中心。分配这样的凸组合的凸函数,我们获得以下Jensen类型的不平等。
引理1。让是点,这样。让是点的凸组合,让是点的凸组合。
如果上面的凸组合有相同的中心
然后每一个凸函数满足不等式
如果是凹的,那么相反的不平等是有效的(8)。
证明。假设是凸的。如果系列的,右边的不平等 推导出应用的不平等(5)和不平等6)。如果,我们使用任何支持而不是弦线。
引理1詹森不等式的概括:应用这个引理凸组合中心平等吗 与假设,我们来到了詹森不等式
所以,著名的离散形式詹森不等式(离散形式(6)和积分形式(7])可以导出应用凸性定义和亲和力的和弦或支撑线。不同形式的詹森不等式(中可以看到8]。
定理2。让是点,这样。让是一个点的凸组合中心。
然后有两个二项凸组合和这
因此,每一个凸函数满足不等式
如果是凹的,那么相反的不平等是有效的(13)。
证明。我们用公式(3)计算系数和满足和和。现在我们需要应用引理1双方都获得平等的(12)。
二项包括凸组合成凸性的定义。以下推论证明了二项式组合可能会分配给每个凸组合。
推论3。让是一个凸组合。然后有两个二项凸组合和与分从集合这 因此,每一个凸函数满足不等式
证明。把假设。取和。如果,我们将。如果,我们计算系数和由公式(3)。
如果等于一,然后我们把和。否则,它必须对于一些对,在这种情况下我们和。计算和由(3),我们也会。
它仍然是应用引理1双方都获得平等的(14)。
尊重詹森不等式,公式(15)可扩展的形式来表示:
让我们展示中间成员(13)可以转化为积分。让是一个有界集的长度,让是一个可积函数的黎曼的感觉或勒贝格)。考虑到正整数,我们使用一个分区 其中每个两两不相交的子集合同的点趋向于无穷。取一个点对于每一个然后组成的凸组合的点的系数;也就是说, 让无穷序列方法重点
使用积分法和凸组合,得到混合discrete-integral形式的定理2如下。
推论4。让是点,这样。让你的重心的设置属于;也就是说,
然后有两个二项凸组合和这
因此,每一个凸函数满足不等式
如果是凹的,那么相反的不平等是有效的(22)。
总结詹森的功能函数对于给定的凸组合在定义与 如果条件的定理2,我们得到的功能不平等
一个可积函数的积分詹森的功能对于给定的子集的长度定义与 如果条件的必然结果4感到满意,我们得到了什么
的不平等(24)和(26Jensen)提供本地范围的泛函,。Jensen的全球范围的功能进行了总结(9]。Jensen一些新类型的不平等是在获得10]。
3所示。飞机的凸组合
本节包含的主要结果,定理6,其后果。
我们假设是真正的治疗点的向量与向量空间的标准坐标之外和标量乘法。
如果,,是平面的点不属于一线,分别凸包吗是一个真正的三角形,然后每一点可以提供独特的仿射组合呢 在哪里 上面的三项式组合凸当且仅当这一点属于三角形。
三角形的顶点,,,凸锥顶点的是一组由向量张成的吗和(同样和;这三种视锥细胞可以在图2);也就是说,
给定的函数,让是飞机经过的功能点,,的图。由于的亲和力,它是 对于一个凸函数利用凸性定义,我们得到了不平等 和使用的亲和力,相反的不平等
在年底前一节中,我们将使用一个平面凸集与非空的内部。一组平面的面积将表示。
引理5。让点,,锥联盟。让是一个点的凸组合,让是一个点的凸组合。
如果上面的凸组合有相同的中心
然后每一个凸函数满足不等式
证明。如果一组是一个真正的三角形,我们可以应用引理的证明吗1使用而不是尊重飞机不平等(31日)- (32)。如果,然后我们依靠引理的证明1与弦线。如果,我们使用任何支持在点。
定理6。让是点,这样
与,让锥联盟。让是一个点的凸组合中心。
然后存在两个三项式的凸组合和这
因此,每一个凸函数满足不等式
证明。首先我们计算系数的公式(28在()的平等36),然后应用引理5双方。
应用积分法和凸组合,我们获得形式如下。
推论7。让是点,这样
与,让锥联盟。让你的重心的设置属于;也就是说,
然后存在两个三项式的凸组合和这
因此,每一个凸函数满足不等式
如果是凹的,那么相反的不平等是有效的(41)。
如果条件的定理6是有效的,那么使用总结Jensen功能的对于给定的凸组合, 我们得到的功能不平等 如果条件的必然结果7Jensen感到满意,那么应用另一个集成功能的对于给定的子集与该地区, 我们有不平等
4所示。泛化
如果点的向量是线性无关的,凸包吗 被称为单形的顶点。所有的单纯形顶点可以不属于相同的超平面。任何时候可以提供独特的仿射组合呢 如果我们使用点坐标,那么系数可以由广义系数公式(28)。结合(47)是凸当且仅当这一点属于单纯形。
考虑到单形的顶点,让的凸锥的顶点由向量张成(同样);也就是说,
给定的函数,让超平面的功能(在)通过点的图。应用的亲和力的组合(47),它是 如果我们用凸函数,那么我们得到的不平等 和相反的不平等 这可以证明同样的不平等32)。
在年底前一节中,我们将使用一个凸集与非空的内部。一组的体积将表示。
定理的推广6应用于单形如下。
定理8。让;是点,这样
与,让锥联盟。让是一个点的凸组合中心。
然后有两个骨干的凸组合和这
因此每一个凸函数满足不等式
使用积分,我们得到如下的形式。
推论9。让是点,这样
与,让锥联盟。让你的重心的设置属于;也就是说,
然后有两个骨干的凸组合和这
因此每一个凸函数满足不等式
如果是凹的,那么相反的不平等是有效的(58)。
如果条件的定理8是有效的,那么使用总结Jensen功能的对于给定的凸组合,我们得到的功能不平等 如果条件的必然结果9Jensen感到满意,那么应用另一个集成功能的对于给定的子集与体积, 我们有不平等
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
第一和第三作者的工作已经完全支持Slavonski布洛德机械工程学院。第二作者的工作一直支持中国福建省自然科学基金批准号下2012 j01014。作者感谢Velimir Pavić(平面设计师Školska knjiga萨格勒布)图形化编辑数据1和2。