文摘

我们提出一个新的基于截断左撇子Grunwald-Letnikov部分衍生品的定义公式和中值修正。分析选择部分订单的困难和不满意处理结果在信号处理中使用分数阶偏微分方程和相关方法;我们认为的非零值截断分数阶导数在光滑区域是这些情况的主要原因。为了解决这个问题,绝对的值的截断部分G-L公式估计信号值的中值的其余部分,然后截断G-L修改公式代替每一个原始信号值的差异信号值和中间值。自从G-L公式的系数之和为零,中值校正可以大大降低截断误差近似G-L公式更好。我们还将展示一些仿真结果和实验来支持我们的理论分析。

1。介绍

偏微分方程(pde)和相关的方法是非常重要的信号处理工具(1- - - - - -13]。特别是近年来进展取得了分数阶微积分理论作为一个有用的工具来处理应用程序领域的物理、化学和工程科学(6- - - - - -20.]。

但是,与integer-order衍生品与零或小值平滑区域和大值奇异点附近的值截断部分衍生品是非常大的绝对值。的直接结果是,导数值不能用来测量程度的奇点。即小导数值也许与奇点地区和大导数值可能与平滑的区域。因此,一些integer-order PDE方法不能直接修改为分数阶同行。胡锦涛在2013年注意到问题,提出了一种新的分数阶PDE不同订单的不同部分的分数阶点方法(13]。不过,他没有给出的分析理论。

在本文中,我们研究行为与分数阶导数的截断左撇子Grunwald-Letnikov公式。分析的基础上,提出了一种新的分数导数公式基于截断左撇子Grunwald-Letnikov公式和中值修正。中值校正用于减少G-L截断误差的公式。

本文的其余部分如下。部分2介绍了一些基本理论背景部分衍生品;我们也推断出一些有用的结果基于这些理论背景。节3我们引入截断G-L公式及其数值近似。部分4提出了新的分数导数公式并给出了新的分级定义属性和数值方法。并给出了仿真结果和实验部分5。我们也给最后结论和致谢。

2。部分衍生品

在本节中,我们将介绍一些准备的新方法,即Grunwald-Letnikov公式及其矩阵近似。

2.1。Grunwald-Letnikov公式

分数阶导数的定义是运营商的订单一直延伸到noninteger数字。有许多的定义部分衍生品。代表的一个通常的方法离散部分衍生品是由Grunwald-Letnikov (G-L)公式21,22),这是 在哪里,表示一致空间一步,代表了规范化G-L给出的权重

为,(1)成为经典的一阶导,对于任何,是一个正整数;他们是经典th的衍生品。注意,当是一个正整数,方程与限制的支持长度吗。然而,对于当不是一个整数,小数衍生品是外地运营商。也就是说,分数导数的值在一个点依赖于函数值在所有的点左边的点。

因此,为了处理分数导数数值,有必要计算系数,在那里分数阶导数的顺序。我们可以使用递推关系:

为左撇子G-L公式给出了一些有用的属性如下。

引理1。中定义的非局部算子(1)是一个线性算子。

证明。 和两个函数,;是一个实数。我们有

引理2。 。

证明。自,让;我们有

引理3。为,是一个正整数;一个人

证明。为,。
假设。
根据(3),我们有。自和,。因此,。在这里 然后,我们有。因此,。

引理4。为,是一个整数。一个人

证明。从引理3,因为,,。
因此,为。我们有,。
自,我们有,。

2.2。G-L公式的数值方法

G-L公式(1在信号处理),步骤是设置为统一的空间简单的描述;是变异的支持是什么。也就是说,信号紧凑的支持。因此,方程可以指定

系数还可以获得从(递归地3)。我们可以使离散(1)成一个有限差分网格上轴,th晶格是;th晶格是,;和th晶格是。也就是说,是信号的长度。

因此,使用矩阵近似方法 在哪里代表截断G-L公式,,代表了转置向量,是一个下三角地带矩阵定义为

3所示。截断Grunwald-Letnikov公式

部分集成和部分分化是概括integer-order集成和分化,包括观念的发展th衍生品(表示一个整数的数字),特定的情况下。代表的一个通常的方法离散部分衍生品是由Grunwald-Letnikov (G-L)公式中引入部分2(见(1))。

然而,对于数字信号,我们必须讨论截断G-L公式而不是G-L公式本身的有限支持数字信号。在本节中,截断G-L公式及其属性的定义首先讨论然后我们将给其数值方案。

3.1。截断Grunwald-Letnikov公式

截断G-L公式 在哪里的步骤是设置为统一的空间,支持的长度,代表了规范化G-L重量、复发的关系是由(3)。

正如上面的部分中,我们将讨论一些截断G-L公式的属性。

引理 。为 , 是一个整数。一个人

证明。根据引理2,我们有 根据引理3,。因此,。

引理 。为 , 是一个正整数, 。一个人

证明。为,。
假设。
根据引理1,我们有。自和,。因此,。在这里 然后,我们有。因此,。

引理 。为 , 是一个整数, 是一个正整数。一个人

证明。从引理3,因为,,。
因此,为。我们有,,。

3.2。截断G-L公式的数值方法

我们可以使离散(12)成一个有限差分网格上轴,th晶格是;th晶格是,;和th晶格是。也就是说,是信号的长度。

因此,使用矩阵近似方法 在哪里,代表了转置向量,是一个矩阵定义为

请注意,是信号的长度吗是长度的支持。也就是说,。自稀疏的比为,截断G-L公式的计算成本低于G-L公式。

4所示。新的截断Grunwald-Letnikov公式

尽管引理2告诉我们的值为常数函数部分衍生品由G-L定义公式等于零,截断G-L公式,引理2′表明,它是不正确的。

这种情况下的主要尴尬与integer-order衍生品是不能用来测量部分衍生品奇异点的力量。因此,评估方法基于奇异点的强度测量一阶导数的modula不能直接推广到分数同行。这些评估方法包括许多流行和技术发展水平框架,如各向异性扩散,外地的含义,以及双边滤波。

因此,为了推广部分衍生品来这些框架,截断G-L公式应修改如下:,,。

我们从需求获取新的截断G-L公式的定义和性质,然后新模型的矩阵的数值方法。

4.1。动机和定义

截断误差的讨论G-L公式。

定义5。截断G-L公式的误差 在哪里代表截断G-L公式,是长度的支持,然后呢是信号,。
特别是,,我们有 也就是说,所有条款后的总和。我们从引理2′,,因为,从引理3,我们有,因为,这意味着错误将变得更小变得更大。

此外,从引理2,我们有;因此,截断误差可以更改如下。

命题6。的截断误差是

证明。从引理2和上面的方程, 因此, 为,是一个常数实数;我们可以得到类似的结果。

命题7。的截断误差是

同样的,对,值来不知道,我们只知道样本来。因此,我们应该估计错误中定义(20.)的值来。为中定义的,估计错误(20.)的值来通过命题呢7,这提醒我们,可以通过假设来解决问题一个常数。因此,乘以常数和的总和,可以近似误差。这个常数也应该从值估计来。

一个替代方案是值的中值来作为评估值常数由于中位数估计具有良好性能的灵活性和可靠性。

定义8。新截断G-L公式 在哪里代表了新的截断G-L公式,的中值向量的步骤是设置为统一的空间,是支持的长度,代表了规范化G-L权重。

4.2。数值方法的新截断G-L公式

我们可以使离散(26)成一个有限差分网格上轴,th晶格是;th晶格是,;和th晶格是。也就是说,是信号的长度。

因此,使用矩阵近似方法 在哪里代表新的截断G-L公式,,代表了转置向量。是修正向量的的中位数,是一个矩阵定义为

请注意,是信号的长度吗是长度的支持。也就是说,。自稀疏的比为,截断G-L公式的计算成本低于G-L公式。

4.3。新的截断G-L公式的属性

在本节中,我们将给出一些重要的新的截断G-L公式的属性。

定理9。中定义的非局部算子(27)是一个线性算子。

证明。 和两个函数,;是一个实数。我们有
在这里,是修正向量的,被定义为修正后的向量(27)。

定理10。 和两个矩阵中定义(27),也就是说,截断G-L公式的近似矩阵部分订单和,分别。因此, 在哪里,。

引理12可以被证明是容易被乘以两个矩阵。,两家运营商的截断G-L公式与不同部分订单是可交换的。

我们猜猜1下面的方程是正确的。然而,我们不能证明这一点。

猜1。我们有

5。数值模拟

数值逼近,虽然长记忆是部分衍生品,更精确的计算固定数量例如,采用降低计算复杂性或等等。但这些截短形式会导致一些不满意的结果。在本节中,我们将首先截断G-L公式的误差分析,然后提出实验使用测试信号。

5.1。截断G-L公式的误差分析

截断G-L公式的误差分析的应用是非常重要的部分衍生品。一些努力在理论上讨论这个问题(23]。在本节我们将讨论通过考虑信号的截断误差以来最严重的截断误差的影响部分衍生品的价值不等于0时。

根据引理2的值untruncated G-L公式等于零,这是重合的一阶导数。当分数阶截断G-L的公式满足根据引理2′,其余的一部分大于零。因此,截断一部分小于零。也就是说,它是一个负数。截断G-L公式的截断误差支持不同长度和不同fractional-orders,,如表所示1,证明上述结论。

此外,我们将比较截断误差的绝对值的变化和不同和不同长度的支持。

引理11。截断误差的绝对值,在那里是长度的支持,对吗,支持长度变大变小。

证明。根据引理3,,,因为是一个整数。
根据引理2′,,因为是一个整数,。
在这里,可以被认为是支持截断G-L长度公式。当,在那里和是两个支持长度和和,我们有

引理12。截断误差的绝对值变得更小的部分订单变得更大。

证明。自和,因为,,,在那里和是两个部分的订单,我们有吗 根据引理2,然后。
为和,我们有。因此, 在哪里代表了绝对值。因此,对于,,,我们有 如果,因为,,,。
因此,我们可以假设,,,。我们有 自和,我们有 因此,和。

总结以上两个前题:我们有长期支持和大部分订单截G-L公式将小截断误差的绝对值。实验显示在表1和图1也支持这些理论分析结果。注意,截断误差是负数。因此,讨论他们的绝对值可以显示0之间的差异和错误。

5.2。实验

为了测试如果新的截断方法可以减少截断误差在实际信号,两个测试信号,街区,和疙瘩样品,用于分析的性能我们新的框架(见图2和3)。

从图2,我们可以看到两个integer-order衍生品(绿线)和部分衍生品(由红色线条和黑色线条代表)奇点的性质有关局部极值。正如上面所讨论的,截断G-L公式的值不是0在光滑区域(见图2(一个)和2 (c))。此外,同时引理11,截断长度较长的信号将接近零的平滑段比短长度的信号。更大的部分订单也将更好的性能在奇异点尖锐的冲动,更接近零的平滑段比规模较小的部分订单,同时引理12(见图2(一个)和2 (c))。

当截断长度新定义的部分衍生品(见图2 (b)在奇点),新定义的值有很高的冲动比较相应的截断G-L公式(图2(一个)),这是一个非常令人印象深刻的自然探测、定位、维护奇点。此外,奇点附近的值是逐渐增加减少0和光滑段的值是0。这些人物一起确保新部分衍生品可以在信号处理获得良好的效果。

观察图3,我们可以发现一阶导数无法定位”撞“奇点:(1)有两个一阶导数的极值即使对于一个非常狭窄的肿块,例如,第一个撞;(2)一些弱奇异点不能被探测到,例如,左边第五撞的奇点。

幸运的是,所有部分衍生品在上面双方有更好的性能。即,每个窄凹凸部分衍生品只有一个极值。

最佳性能的新定义块信号导数截断长度和分数阶,也有最好的撞击信号的性质。也就是说,它有很高的冲动在光滑段奇异点和等于零。弱奇点在左边第五凹凸有非常明显的高脉冲,可以很容易发现和定位。很有趣的弱脉冲在两个信号使用截断G-L公式增强部分衍生品与小的新定义和通过比较数据2(一个)和2 (b)和数字3(一个)和3 (b)。

总之,从两个测试信号的仿真结果,我们可以得出结论,部分衍生品的新定义最佳的性能在三个类型衍生品包括一阶导数,截断G-L公式和自己。

6。结论

在本文中,我们研究的截断Grunwald-Letnikov公式错误然后纠正错误中位数的剩余部分的信号,信号处理中的一些非常令人印象深刻的性质。也就是说,它在奇异性很高的冲动,可以很方便地检测和定位奇异点;新定义的值等于零的平滑部分,可以有效地用于信号平滑和滤波。此外,它还具有良好的性能在弱奇异性检测和位置。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

本文由中国国家自然科学基金(60873102和60873102号),主要国家基础研究发展计划(没有。2010 cb732501),和开放的基础视觉计算和虚拟现实四川省重点实验室(没有。J2010N03)。这项工作是支持的资助中国国家高技术研究发展计划(2009 aa12z140)。