文摘
我们介绍一种简单而有效的为一类非线性分数微分方程的级数解卡普托的类型。这种新方法是一种改性的著名的泰勒级数展开,我们克服困难的计算迭代部分衍生品,一般不计算。系列的条款确定顺序与显式公式,只有整数衍生品必须计算。新算法的效率是通过几个例子说明。比较与其他系列的方法如Adomian分解法和同伦摄动方法表明新方法的效率。的算法可以实现宽类分数微分方程的不同类型的部分衍生品。
1。介绍
在过去的三十年里,分数微积分在微分领域引起了许多研究者的注意的科学和工程。这主要是由于noninteger秩序衍生品的重要性在建模某些物理现象(1- - - - - -4]。事实证明,在某些情况下,使用分数微积分建模比整数微积分更现实。这是因为,许多物理现象的行为不仅取决于瞬时状态,还在上一次的历史。分数导数,包括其定义之前的时间历史上的功能,使它更适合建模系统,它们的进化依赖于当前和以前的状态。
最近,许多研究人员很感兴趣看分数微分方程(fd)作为新的模型方程对许多物理问题。然而,许多这样的fd不具备精确的解析解。这个困难促使许多研究者开发数值方案找到近似的解决方案。许多数值方法用来解决整数阶微分方程已经适应治疗fd等变分迭代(VIM) [5- - - - - -8),同伦分析方法(火腿)9- - - - - -14),Adomian分解方法(ADM) (15- - - - - -20.),仅举几例。最近的一项调查发展的方法在分数微积分,读者被称为(21]。所有的这些方法都可以归类为迭代的方法产生一个解决方案的形式级数展开迭代生成的条件。然而,在许多情况下,这些方法的迭代过程并不容易实现。例如,ADM需要集成在每一步要发现下一个迭代和ADM需要解决一个微分方程。另一种方法是下层迭代法(22]。交技术已经实现构建不同配方的分数后向差分方法(23- - - - - -25]。同时,部分线性多步方法提出了特殊类型的沃尔泰拉积分方程26,27)已经实现了几种类型的分数微分方程。因此,一类高阶后向差分方法取得了(28]。更多细节可以参考(29日)和引用。方便,容易使离散分数阶导数的演讲取得了任意阶矩阵形式的三角地带;参见[30.,31日]。建议的方法会导致一个重要的简化的分数阶微分方程的解决方案。
在我们目前的工作提出一系列解决方法的泰勒级数展开的精神一类非线性分数阶微分方程。级数展开的系数也迭代计算迭代过程只涉及到分化。当然,如果分数阶的问题是,分数阶的分化也。然而,克服部分分化的使用,我们使用一个转换,允许我们使用普通而不是部分差异化递归地计算级数展开的系数。我们认为这是一个利用上述方法。
在本文中,我们考虑分数阶的初值问题: 在哪里,,,卡普托部分分数导数秩序吗。为,,,左卡普托分数导数定义为(3] 并满足以下属性:(1) ;(2) ;(3) ,在那里是常数。
卡普托部分分数阶导数(3)有关Riemann-Liouville部分分数积分,的订单,通过 在那里,, 可以被视为逆算子的吗在这个意义上 在本文中,我们考虑理性与。本文组织如下。节2系列,我们提出解决问题的方法(1)和(2)。节3,我们给出数值结果说明了技术的效率。比较与其他方法如Adomian分解法(ADM)和同伦摄动法(HPM)也将在部分3。最后,我们总结一些言论4。
2。系列的方法
在本节中,我们提出解决问题的级数解的方法(1)和(2),我们给ODE版本的最终结果(1)和(2)。考虑到订单,我们假设的解决方案的形式 在哪里和功能系数来确定。很明显,。正式的替换(7)(1)给 假设我们可以交换求和和上面的分数导数算子和使用属性2中,我们获得 在哪里。注意,如果,我们将有负面的力量(在左边之和(9)。为了避免这种情况,我们乘(9)得到
找到系数的一种方式,符合发现泰勒级数的系数,是递归地应用算子(10)和替代。然而,这并不方便实现。为了避免使用部分分化,我们引入变量的变化变换(10) 现在,通常区分次对和替换,我们发现下面的递归关系: 我们假设为。
我们注意到如果问题(1)和(2)是一种分数阶常微分方程,也就是说,和的系数是实数和递归关系(12)减少
备注1。我们的话,目前的方法在许多方面不同于海军上将这两种方法之间的主要区别是,ADM,连续的一代来说,使用部分整合而目前的方法是使用普通的分化。然而,当()、公式(13)将减少 这是著名的Adomian多项式公式(32]。
节3,我们介绍几个例子来展示这种方法的实用性,并与其他技术如Adomian分解法和同伦摄动法。
3所示。数值结果
例1。考虑到部分初值问题 与确切的解决方案。
应用该算法,解决方案的。零的系数是容易的。为我们从(13) 在哪里如果和否则。与,(17)给,因为。它可以很容易地验证(17)给为。因此,解决方案是 这是确切的解决方案。
首先,我们比较我们的结果和Adomian分解方法(ADM)。应用ADM,假设的解决方案(15)和非线性函数 可以写在级数形式 在哪里,,被称为Adomian多项式。这些多项式可以通过扩展功能关于如下: 或 因此,可以推导出
接下来,定义分数微分算子作为;然后(15可以书面形式) 和逆算子定义为,那么解决方案(15可以书面形式) 现在平衡的最后一个平等(24)的收益率
生成的前几项ADM给出如下:
接下来,我们将把我们的结果与同伦摄动方法(HPM)。应用HPM,定义了同伦满足
基本假设是问题的解决方案(15)可以表示为一个幂级数 在哪里为。(问题的近似解15)可以获得 最后一个级数的收敛性证明(33]。
用(28)(27)和等同的系数与喜欢的权力,我们有 这意味着 近似的解决方案是
图1描述了精确解和近似解和通过Adomian分解法和同伦摄动方法,分别。
例2。考虑到部分初值问题 与确切的解决方案。
在这里;因此和。解决方案假设形式与。然后,根据前一节中,我们有 数值计算(34)给,,和所有其他系数为零。因此,我们的程序产生的解决方案 这是确切的解决方案。
例3。考虑到部分初值问题
为,解决方案假设形式与。然后根据前面的小节中,我们有 在哪里 简化(38)显示下面的递归,: 数值计算(38)给。我们考虑。由于精确解,在封闭形式,不可用,我们定义错误 在哪里。图2左边给出了近似解右边的错误。表1描述了绝对误差为不同的值在不同的值。从显示的结果,很明显,级数收敛与几项达到足够的精度。然而,更多的条款需要更大的值预计任何初始值的问题。我们注意到,,我们得到和,,,,和获得的系列解决方案 伴随着泰勒级数展开的确切的解决方案吗。
例4。考虑到部分初值问题
在这个例子中,我们;因此和。解决方案假设形式与。然后从(12),我们有, 在哪里 本系列的前几项解决方案
表2和3出现这个错误 不同的价值观和和,在那里。数据显示的准确性提出系列解决方案。
4所示。结束语
我们提出了一种新的算法来获得一系列一类分数微分方程的解决方案。算法开发了一类分数卡普托类型的偏微分方程。我们有新算法应用于不同的例子。取得了精确数值解以及某些问题的精确解。新算法与两个著名的方法相比,Adomian分解法(ADM)和同伦摄动法(HPM)的一个例子。确切的解后在当前一步法和火腿的伸缩笔,在海军上将的近似解的新算法可以推广到处理各种类型的部分功能方程。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究支持的个人研究资助21 s074。作者想表达自己的真诚感谢在阿拉伯联合酋长国大学研究事务。