文摘
FitzHugh-Nagumo (FHN)神经系统与多个延迟提出了。分析了平衡点的个数。它意味着神经系统表现出一个独特的平衡和三个重量的不同值的耦合采用非平凡平衡点的界定分岔和超临界分岔的琐碎。此外,平衡点的稳定性研究通过分析对应的特征方程。一些稳定标准涉及多个延迟和耦合的重量。结果表明,神经系统展品delay-independence和delay-dependence稳定。提高静息状态之间切换延迟引起的稳定性和周期性活动在某些参数的区域耦合的重量。最后,数值模拟被支持的理论结果。
1。介绍
FitzHugh-Nagumo (FHN)神经元(1,2),一个简化的模型Hodgkin-Huxley神经元(3),描述了神经冲动的产生和传播平面自治系统。近年来,要理解大脑的信息处理,FHN神经元模型通常被用于研究神经飙升由于其简单性。一个完整的定性调查FHN神经元是由Bautin [4]。此外,硬振荡,分界线环,分岔的平衡和极限环可以发生在合适的参数值在这个系统5]。
了解耦合效应和神经元之间的信息传输系统,分析耦合FHN动态行为的神经系统已经在许多论文的主题(6- - - - - -9),许多富裕为平衡点分岔行为和极限环。基于有限传播速度在神经元之间的信号传输10,11耦合FHN神经系统),建立了时间延迟: 在哪里,,是积极的常数,代表神经元膜电位的1和2,缓慢的耐火材料变量,模型的时间依赖几个物理量,措施的耦合重量,代表了神经元之间的信号传输时间延迟。
时滞耦合FHN神经系统的研究吸引了许多作者的注意力。Burić和Todorović12]霍普夫分岔研究(逆和直接)和褶皱的极限环分叉delay-coupling FHN神经元。使用ODE(常微分方程)近似的动态耦合FHN神经元延迟小,codimension-2广义霍普夫分岔研究[13]。不同的同步状态观察变化的耦合强度和时间延迟14]。他们的研究结果表明完全同步振荡的模式是依赖于类型的兴奋性和耦合。王等人。15]提出了时间延迟可以控制过渡从原始混沌运动周期的两个耦合不恒等的FHN模型与突触连接。关于两个延迟之和作为参数,风机和香港16)调查了稳定和当地霍普夫分岔synaptically耦合不恒等的FHN模型。简单零奇点(干草叉和超临界分支),研究了减少运用中心流形和范式方法(17]。进一步,通过应用Bautin分歧定理,其他州的共存和周期性的飙升在耦合FHN神经元的同步解决方案系统延迟(18]。
最近,一些标准来确定周期性振荡中提供多个延迟FHN神经系统有三个不恒等的细胞(19]。在[20.霍普夫分岔),和Bogdanov-Takens分岔进行了耦合FHN神经系统与缝隙连接。周期解分叉的时空模式被认为是通过使用对称分岔理论。神经元的行为能休息和之间的交通尖峰。通过proportional-spatial微分控制方法,杨et al。21)取得FHN方程的控制问题。所有上面提到的作品大大促进了深刻理解FHN耦合系统动态行为的时间延迟。然而,在现实中,神经动力学可能受到多个独立的参数,如外部输入(22,23重量()、时间延迟和耦合24,25]。他们的联合影响动态行为可能是一个重要的话题在耦合FHN神经系统与多个延迟。本文的目的是考虑耦合的重量和多个延迟平衡点的稳定性和获得稳定开关耦合FHN神经系统与多个延迟(1)。
本文组织如下。在下一节中,我们研究的数量平衡分耦合FHN神经系统采用静态分岔。神经系统(1)可以有一个/三个平衡点不同的耦合重量采用非平凡平衡点的界定分岔和超临界分岔的琐碎。节3,系统平衡点的稳定性(1)是研究通过分析对应的特征方程。一些稳定标准涉及多个延迟和耦合的重量。结果表明,FHN神经系统表现出的参数区域涉及delay-independence稳定和delay-dependence稳定。增加延时可以诱导稳定静止状态之间的切换和周期性活动在某些参数的区域耦合的重量。节4,一些数值模拟是用来支持的理论结果。结论给出了部分5。
2。平衡点分析
很明显,是系统(的琐碎的平衡点1)。线性化系统(1)附近的点产生以下线性化系统: 对应的特征方程 在哪里 然后,我们有以下结论的特征值系统(1)。
定理1。系统(1)有一个零特征值当且仅当 此外,系统(1)展品双零特征值当且仅当
证明。 是一个零特征值的系统(1)当且仅当 此外,是一个双根的系统(1)当且仅当
从动态理论,当一个特征值通过虚轴沿实轴与系统参数的变化,将展出一个静态分岔,导致的均衡数量的变化点。事实上,所有平衡系统(点1)的解下列方程:
解决方案(9),也就是说,平衡的系统(1),取决于参数,,但是是独立的延迟和。几何,平衡分两条曲线的交点是由(9),如图1。这两条曲线被称为nullclines系统(1)。因此,发现系统(1)展示一个或三个平衡重量不同的耦合。事实上,对于重量的小价值耦合,系统只有微不足道的平衡点,如图1(一)。体重的增加耦合平衡,两个重要的点是立即出现在右边的小点(图1 (b)),即界定的非平凡平衡点分岔。此外,琐碎的平衡点发展成为介于非平凡的,如图1 (c)。它被称为超临界分岔的微不足道的一点。图2显示了相应的一维的分岔图飞机(图2(一个)),飞机(图2 (b))。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
3所示。稳定开关和霍普夫分岔
众所周知,平衡点是局部渐近稳定当且仅当每个特征方程的特征值(3)具有负实部。在下面,我们调查得到平衡点的稳定性最大的特征值实部。FHN神经系统表现出的参数区域涉及delay-independence稳定和delay-dependence稳定。多个延迟可以诱导稳定静止状态之间的切换和周期性活动在某些参数的区域耦合的重量。简化,调查开始在(3)如下: 在哪里 它遵循从Routh-Hurwitz标准的必要和充分条件所有的根(10)有负实际给出的部分 这是(我) 和,
或(2) ,,。
基于动力学理论,我们有以下。
定理2。如果系统参数满足的一个条件(i)和(ii),琐碎的平衡点是局部渐近稳定的FHN神经系统模型没有任何时间延迟。
延迟的变化平凡平衡点的系统(1)将失去稳定。神经系统可能出现周期性的活动。获得这样的关键值,假设是一对纯虚根的特征方程(3)的情况下,一个 在哪里 这是 分离(15实部和虚部的收益率 消除从(16)使用,我们有 在哪里 基于动力学理论,平衡点局部渐近稳定当且仅当每个特征值具有负实部。因此,一个人可以获得延迟的影响特征方程的特征值(13)。
定理3。如果系统的参数值(1)感到满意的一个条件(i)和(ii),下面的陈述是真实的。(一)当多项式没有积极的根,所有特征方程的特征值(13)的负实际部分任意的。琐碎的平衡点展品的判定稳定性。(b)当多项式只有一个积极的和简单的根吗ν,存在临界延迟值这样所有的特征方程的特征值(13)-真正的部分和至少一根有着积极的现实的一部分。FHN神经系统表现出周期性活动延迟并通过临界延迟值增加。(c)当多项式至少有两个积极的和简单的根源吗,存在一个有限数量的延迟间隔的所有特征方程的特征值(13)有负的实际部分。系统展示稳定静止状态之间的切换和周期性的活动。
为了调查多个延迟的影响神经系统的局部稳定性(1),我们认为作为不同参数对于任何固定的延迟。让是简单的特征方程的根(3),一个获得 在哪里 这是 消除从(21),有 在哪里 这意味着 如果(24)有许多积极的和简单的根源,(3)有以下关键延误由(24): 在哪里感到满意 我们确定特征值实部增加或减少延迟跨越的关键值。区分关于在(3)到达 在哪里 基于横截性条件(27霍普夫分岔)和延迟微分方程的定理,有下面的定理。
定理4。下面的断言是真的如果所有的根(13)有负的实际部分。(一)如果没有积极的根,平凡平衡点的系统(1)是一个任意的时间延迟的渐近稳定,这被称为延迟独立的稳定。(b)如果至少有一个积极的和简单的根吗,存在一个关键的延迟这样的琐碎的平衡系统(1)是渐近稳定的。此外,如果横截性条件成立,系统(1)经历了霍普夫分岔。也就是说,它展示一个周期活动附近的分支从琐碎的平衡。(c)如果至少有两个积极的和简单的根源吗和横截性条件成立,存在一个有限数量的间隔。如果时间延迟是固定在这些间隔,琐碎的平衡点局部渐近稳定,同时如果延迟不属于的不稳定。其他神经系统满足开关从稳定到不稳定,然后回到稳定的时间延迟增加时,穿过关键值序列。
4所示。数值模拟
在本节中,一些数值结果的系统(1)提出了不同的参数值。使用数值模拟的方法,我们发现理论上预计值与数值的协议的行为。为简单起见,系统参数是固定的,,。耦合的重量和时间延迟被认为是作为变量参数。
首先,我们解决时间延迟和说明系统的动态行为(1)重量不同的值的耦合和时间延迟。它遵循从(17)多项式没有积极的根(参见图吗3(一个))固定耦合的重量。琐碎的平衡点是局部渐近稳定的任意延迟,这被称为延迟独立的稳定。对应的特征值有负的实际部分延迟变异,如图3 (b)。固定延迟的时间记录在图所示4(一)为和图4 (b)为;收敛到平衡点成螺旋形地。
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然而,当耦合的重量是固定的方程有两个积极的和简单的根源吗,,如图3 (c)。对应的特征值与不同的图所示3 (d)。存在一些关键延误由(25)。从定理3系统(1)展品稳定性切换延迟增加。事实上,琐碎的平衡点渐近稳定时。图5(一个)说明了历史的时间固定的延迟。当琐碎的平衡点失去稳定和发展不稳定。历史的时间如图5 (b)。此外,系统(1)获得静止状态当延迟增加和跨越的关键价值。历史的时间固定的延迟如图5 (c)。最后,当延迟平衡点失去稳定继续增加,如图所示5 (d)固定的延迟。图6显示了不同延迟对应的一维分岔图。它支持上述理论结果。神经系统(1)展示了多个交换机之间的静息状态和周期性的飙升。此外,值得一提的是,神经系统(1瞬态混乱(见图)展品7(一)),这意味着系统轨迹展览一个看似混乱的解决时间较长(见图7 (b)),但发展到最终nonchaotic状态,如周期性活动(见图7 (c))或最终平衡。
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(c)
部分特征值都是表现出图8为不同的延迟为了说明稳定静止状态之间的切换和周期性的飙升。图8(一个)显示的最大特征值与消极的部分由一对共轭固定的延迟。神经系统表现出静止状态。增加延迟收益率的共轭双穿过虚轴和飞机进入右半边。为,两人变成了如图8 (b)。琐碎的平衡点失去稳定。FHN神经系统表现出周期性的飙升。继续增加延迟,一对共轭返回,再次通过虚轴。最大特征值与负实际零件出现在左边的飞机。图8 (c)显示特征值固定的延迟。神经系统获得了静息状态。此外,如果延迟是固定的,,最大特征值的共轭对积极的部分,如图8 (d)。系统(1)展览周期性尖峰。一句话,时间延迟的增加可以诱导稳定静止状态之间的切换和周期性活动的神经系统(1)。
(一)
(b)
(c)
(d)
此外,我们修复时间延迟并找到延迟的影响重量和耦合神经系统的动态行为1)。函数的数据和特征值实部是显示在图9重量不同的耦合。图9(一个)曲线表明,与。没有交点成立。它意味着函数没有积极的根。所有特征值的实部有消极的部分,如图9 (b)。系统的平衡点(1任意延迟)是局部渐近稳定的。它被称为延迟独立的稳定。耦合的重量增加到0.8,曲线由功能决定的有两个正根如图9 (c)。它遵循从图9 (d)存在延迟间隔的特征值有消极的部分。琐碎的平衡点开关从稳定到不稳定,然后回到稳定状态延迟增加。神经系统表现出稳定静止状态之间的切换和周期性的飙升。当耦合重量增加到1.8,功能两对积极的根,如图9 (e)。然而,在这个时候,最大的特征方程的特征值(13固定延迟)有积极的实数部分吗。系统的平衡点(1任何延迟)是不稳定的,如图9 (f)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
此外,它遵循从图10延时的不同影响FHN周期性活动神经系统(1)。当选择联轴器重量和时间延迟,的特征值最大的部分是由负值变为积极的,如图10 ()。这意味着系统行为将从静止状态演变成周期性尖峰。也就是说,延时促进发生周期性活动的delay-coupling FHN神经系统。然而,对于参数的值和,系统nondelay的定期活动。增加延迟,最大的特征值实部展品的负面价值,如图10 (b)。这意味着平凡平衡点获得稳定的增加延迟。时间延迟抑制系统从周期动态活动进入休息状态,可用于控制的神经系统。
(一)
(b)
5。结论
时间延迟是不可避免的因素在神经元之间的信号传输。神经系统延时展品丰富的动力学行为。本文耦合FHN神经系统有两个延迟提出了。均衡数量的点的分析说明,神经系统有一个独特的平衡,三个不同的耦合权重值的平衡。它展示了多个平衡点采用界定非平凡平衡点分岔和超临界分岔的微不足道的一点。此外,平衡点的稳定性分析采用对应的特征方程。一些稳定标准涉及多个延迟和耦合的重量。结果表明,FHN神经系统展品所涉及的参数区域delay-independence稳定和delay-dependence稳定。时间延迟增加可以诱导稳定静止状态之间的切换和周期性的活动。最后,数值模拟被支持的理论结果。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢编辑和审稿人的宝贵的建议和意见。