文摘
我们引入一个新的建设域和证明的类别域对象和斯科特连续函数如射是笛卡尔封闭的类别。我们获得普罗金powerdomain在一个域是一个域。
1。介绍
Powerdomains非常重要结构域理论中扮演重要角色的语义建模不确定的编程语言。三个经典powerdomains霍尔或降低powerdomain [1],史密斯或上层powerdomain [2],和普罗金或凸powerdomain [3]。他们都是自由dcpo-algebras /(连续)dcpos满足一些方程和不等式的特殊二元操作符(见[4- - - - - -12])。
在[13),胡特霍尔powerdomain等人的结论指出在一个域是一个分配晶格。在[14),孟和Smyth powerdomain口了劳森的紧凑的域是一个域。然后我们有一个问题是否普罗金powerdomain可以通过一些特殊的特征域。在本文中,我们将引入一个新的域建设称为域是一个+ -semilattice和存在一个定向的家庭有限分离斯科特连续和+ -semilattice同态可以近似斯科特,手术+连续满足交换律,联想,幂等性法律。和类别域对象和斯科特连续函数如射是笛卡尔封闭的类别。我们将表明,普罗金powerdomain在一个域是一个域,普罗金powerdomain是在连续dcpo自由dcpo-semilattice。
接下来,我们需要收集一些基本概念。读者也可以咨询(4,5,15,16]。一个偏序集被称为直接完整的偏序集(简称dcpo,)如果任何非空的导演的子集有吃晚饭。为,下面的方式(用)当且仅当所有子集的存在的关系暗示的存在与。一个dcpo被称为连续域,如果,;也就是说,一组是导演,。的一个子集的,让,。我们使用(职责。)而不是(职责。)当。被称为上层(分别地。,一套低)(职责。)。如果斯科特是一个dcpo,我们定义拓扑中,用吗,作为其拓扑闭集的所有指示完成较低的子集,也就是说,低集导演小口小口地饮下封闭。一个函数从dcpo成一个dcpo斯科特是连续的拓扑如果保存suprema执导的子集。
召回的定义域:dcpo被称为一个域如果直接近似有限的家庭分离斯科特连续函数。斯科特连续函数被称为有限分离如果存在一个有限集这样,对于每个,存在这样。
2。域
2.1。类别的域
对于dcpos和,函数空间斯科特的连续函数来与dcpo逐点的订单。然后dcpo + -semilattices和,我们得出这样的函数空间斯科特的连续和+ -semilattice同态来逐点的顺序是dcpo + -semilattice从以下定理,手术+满足交换律,联想,幂等性法律。
定理1。让和dcpo + -semilattices;然后是一个dcpo + -semilattice。
证明。对于任何指导家庭和,设置。很明显,斯科特是连续的。然后
所以也是一个斯科特连续和+ -semilattice同态。因此是一个dcpo。
对于任何,,我们定义。对于一个有向组,我们有
然后斯科特是连续的。
用一双点在,
也就是说,是一个+ -semilattice同态。所以是一个+ -semilattice。
最后,斯科特的连续性操作+,我们得到以下的结论。少量的指示和,如果,然后
所以斯科特是连续的。
我们已获得是一个dcpo + -semilattice。
对这些特殊斯科特连续函数,我们将介绍一些新秩序结构。
定义2。一个dcpo被称为一个域如果是+ -semilattice和存在一个导演斯科特有限的家庭分离连续和+ -semilattice同态可以近似。
例如,一个域是一个连续dcpo-semilattice哪里由导演近似有限分离斯科特家族连续函数保存有限的正。
我们知道,一个域是一个域。
定理3。让和是域;然后和是域。
证明。假设和是近似的身份和,分别。然后我们声称的家庭
定义为
为是一个近似的身份在哪里是有限分离。证明的情况相似域。
这就可以证明。首先,很明显,斯科特是连续的。其次,用一双点,我们有任何
所以我们得出结论,是一个+ -semilattice同态。然后是一个域。同样的,也是一个域。
定理4。的类别域对象和斯科特连续函数如射是笛卡尔封闭的类别。
注意,类别域对象和斯科特连续和+ -semilattice同态像射不是笛卡尔关闭类别一般,因为评价地图不保留有限+通过。
2.2。分类Powerdomains
定义5(见[5])。让是一个dcpo-algebra配备了斯科特连续二进制操作+满足以下方程:对于任何(1)
(幂等性法律);(2)
(交换律);(3)
(结合律)。然后dcpo-algebra交换幂等半群,称为dcpo-semilattice。自由dcpo-semilattice dcpo被称为凸或普罗金powerdomain的它用。
如果二进制操作+满足不等式,然后我们获得上层或Smyth powerdomain,它用,在那里。
类似地,如果二元运算+满足,那么它被称为低或霍尔powerdomain用,在那里。
命题6(见[5])。的子集和一组收到的一个人(1) ;(2) 敌我识别;(3) 敌我识别存在一个有限的子集这样;(4) ;(5) 敌我识别;(6) 敌我识别敌我识别;(7) ,在那里敌我识别和;(8) 敌我识别和;(9) 敌我识别和。
接下来,我们得出结论,一些特别的东西域类别有关操作+可用于分类powerdomains。
定理7。如果是一个域,然后凸powerdomain是一个域。
证明。假设是一个域;然后是劳森紧凑的域。因此,也是一个域。假设近似的身份吗,在那里斯科特是有限的家庭分离的连续函数;也就是说,对于任何存在一个有限集合这样,对于任何,存在一些这样。我们声称近似的身份吗。只要考虑四个步骤如下。(1) 。为,定义。由命题6,。对于任何,让;然后意味着和。因此。(2) 。对于任何,很明显。假设。有这样和。通过和,有一些有限的设置这样。但对于任何有限集合,我们有,在那里敌我识别和。然后。这是一个矛盾。然后我们得出这样的结论:。(3) 是斯科特连续和有限分离。为一个有向家人在,我们有 然后斯科特是连续的。对于任何,是一个有限集。和,接下去。让。自和是有限的,它遵循了吗是一种有限的家庭吗。和我们有任何,存在这样;也就是说,是有限分离。(4) 是一个+ -semilattice同态。为,因为是一个+ -semilattice,: 然后我们得出这样的结论:近似的身份吗。因此,凸powerdomain是一个域。
结合胡特的工作等。13)、孟和口(14),我们得出以下定理。
定理8。让是一个域。然后下面的语句:(1)如果劳森紧凑,那么史密斯powerdomain吗是一个域在[14];(2)如果有一个最小点,那么霍尔powerdomain吗是一个分配晶格在[13];(3)如果是一个域,那么普罗金powerdomain是一个域。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由河南省基础教育部门(13 a110552)的基础河南省科学技术厅(142300410165),和河南师范大学的基础(2013 pl03)。