文摘
不变的解决方案和保护的法律(2 + 1)维布西涅斯克方程进行了研究。谎言对称方法用于获得不变的解决方案。守恒定律的基本方程推导出利用新的守恒定理和局部拉格朗日方法。
1。介绍
近年来,寻找非线性演化方程的显式的解决方案(需要雇)吸引了许多数学家和物理学家的关注。尤其是各种有效的方法被用来探索不同的解决方案需要雇,如逆散射法(1),达布变换(2)和Backlund变换(3),副大臣法(4),齐次平衡法(5,6[],相似的简化方法7,8),双曲正切法(9),和正弦余弦方法(10]。但到目前为止一个统一的方法,可以用来处理所有类型的需要雇并没有被发现。在上述方法中,谎言对称性方法是一种最有效的方法来确定解的微分方程。在过去的几十年中,有相当大的发展对称微分方程方法(11,12]。
本文我们考虑(2 + 1)维布西涅斯克方程: 一个著名的布西涅斯克方程孤子方程是: 方程(2),布西涅斯克推出了描述运动的长波浪浅水(13,14]。它也出现在各种各样的物理系统,如非线性晶格波,铁在等离子体声波和振动的非线性字符串。为接近音速的速度扰动,忽视波之间的相互作用在相反的方向移动,布西涅斯克方程(2)可以减少KdV方程。方程(2减少)本身也是一个维KP方程的框架。此外,布西涅斯克方程(2)是完全可积和承认逆散射。由于其深刻的重要性和不错的数学特性,投入了大量的研究工作近年来布西涅斯克方程的研究。Krishnan et al。15]研究了动力学的浅水波由布西涅斯克方程。杨et al。16获得解齐次和非齐次耗散布西涅斯克方程通过使用修改后的雅可比椭圆函数展开法和pseudospectral方法。然而,也需要雇在多维的研究越来越感兴趣,特别是(1 + 2)和(1 + 3)维度。找到一些精确孤波解在更高的维度是更加困难比在1 + 1维。最近,El-Sayed和岩石17)使用分解方法获得的精确孤波解(1)。Senthilvelan [18)获得了行波解(2 + 1)维布西涅斯克方程和(3 + 1)维KP方程齐次平衡方法和探索方程的某些新的解决方案。陈等人。19)获得许多的显式精确解(1)通过使用新的广义变换在齐次平衡法。更多的新双周期和多孤子解获得了广义(2 + 1)维布西涅斯克方程20.]。
本文的主要目的是使用谎言对称方法(21,22)获得不变的解决方案。此外,守恒定律将派生(1使用新的守恒定理()23,24)和部分拉格朗日方法(25,26]。
本文的概述如下。节2,我们现在的对称群分析和group-invariant解决方案(1)。节3的守恒定律(1)建立。最后,给出了一些结论4。
2。谎言对称性的方法
2.1。预赛
在本节中,我们简要介绍本文中使用的符号和相关的结果(21,22]。
考虑一个阶系统pd的独立变量和因变量: 在哪里表示集合的第一,第二,,阶偏导数;也就是说,分别与总导数算子对给出的 求和约定在哪里只要适当使用。
欧拉算子,为每一个的话,是 和Lie-Backlund操作符 在哪里微分函数的空间。操作符(6)是一个缩写形式的无限正式的总和: 额外的系数是用特有的延长的公式: 在这是谎言特征函数: 一个可以写Lie-Backlund操作符(7)的特征形式如下: Noether运营商Lie-Backlund对称操作符是由 欧拉算子对衍生品的吗获得(5)代替通过相应的衍生品。例如, 和欧拉、Lie-Backlund Noether运营商通过操作员身份: 的元组向量是一个保守向量(3)如果满足 方程(14)定义了一个当地的守恒律系统(3)。
2.2。谎言点对称
现在,我们考虑下面的李群的转换与独立变量和因变量: 在哪里是一组参数。李群的无穷小发电机转换可以表现在以下表格: 应用第四延长(1),我们获得以下确定方程: 解决上述系统(17我们达到的对称(1)是由五个向量张成的字段:
2.3。Group-Invariant解决方案
在这一部分中,我们将减少的形式(1利用对称群方法)。为此,特定的线性组合确定无穷小是及其相应的不变量。例如,对于对称算子,我们可以计算出积分不变量的特征方程: 相应的不变量是。现在治疗作为新的独立变量和作为新因变量,得到常微分方程: 积分(20.对两次)我们获得 采取和我们得到了 解决方案(22)是 在哪里是一个常数。请注意,;我们有 所以我们得到 回忆;我们的解决方案(1):
3所示。守恒定律
在这里我们简要介绍相关的两个下面我们利用变分方法的结果。
3.1。系统及其伴随变分法
系统的伴随方程的系统阶微分方程(3)被定义为23] 在哪里 和是新的因变量。
我们回忆起这里Ibragimov[中给出以下结果23]。
一个系统(3)据说是自伴的替换到系统的伴随方程(27)收益率相同的系统(3)。
假设系统的(3)承认对称发生器:
然后伴随方程的系统(27)承认接线员: 在操作符(30.)是一个扩展的(29日)的变量和可从
定理1(见[23])。每一个谎言点,Lie-Backlund和非局部对称(29日)系统承认的(3)产生一个系统组成的守恒定律(3)和伴随方程(27),组件守恒的向量是由 与拉格朗日的
3.2。部分Noether pde的系统方法
由于卡拉和Mahomed[以下结果26]基于部分拉格朗日方法构造守恒定律pde的一个系统。
假设系统的(3)是写成 如果存在一个函数和非零功能这样,(34)可以写成,只要,然后被称为拉格朗日部分(34);否则它是标准的拉格朗日。微分方程的形式 被称为一个部分欧拉方程组。
操作员在(10)是一种局部Noether算子对应部分拉格朗日的系统(35如果它可以确定) 为向量。在这里的特点是。
定理2(见[26])。如果操作员在(10)是一种局部Noether运营商部分拉格朗日对应的部分Eule-Lagrange系统形式(35),组件守恒的向量(3)或(35)可以由以下公式: 的特点的也是守恒定律的特点吗(3)。
3.3。守恒定律
我们现在构造守恒定律(1使用上述两种方法)。
应用程序的新的守恒定理。(2 + 1)维布西涅斯克方程给出 我们回想一下,(38)承认以下5个点对称发电机: 的伴随方程(38),通过调用(27),是 在哪里是一个新的因变量和(40)给 通过使用定理1,我们获得以下系统的拉格朗日(38)和(40): (1)我们首先考虑这个谎言点对称生成器,我们有。因此使用(32),我们获得以下组件的守恒的向量: (2)谎言点对称生成器谎言特征函数吗。因此,通过使用(32),由守恒的向量的分量 (3)现在这个谎言点对称生成器谎言特征函数吗。因此我们可以获得组件的守恒的向量 (4)谎言点对称生成器谎言特征函数吗。因此使用(32),由守恒的向量的分量 (5)最后,我们认为谎言点对称生成器 +特征函数和谎言。因此我们可以获得组件的守恒的向量
备注3。守恒的向量包含任意的解决方案伴随方程(40),因此可以获得无限的守恒定律。
部分的应用拉格朗日方法。考虑部分拉格朗日方法由卡拉和Mahomed26]。部分拉格朗日(1)是 Euler-Lagrange-type方程 (1)可以写成 确定Noether-type运营商。如果我们用(48)和(50)部分Noether-type运营商决定(36),我们得到 的条件 守恒的组件,使用(37),是
4所示。结论
在本文中,我们调查的谎言点对称,降低相似,不变的解决方案,和保护的法律(2 + 1)维布西涅斯克方程。最重要的一个应用程序的李群理论得到微分方程的守恒定律。众所周知,著名的Noether定理建立了对称性和守恒定律的微分方程之间的联系提供了方程的欧拉方程。然而,(1)不承认拉格朗日。我们获得的守恒定律(1)利用新守恒定理和局部拉格朗日方法。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作得到了中央大学(没有基础研究基金。2013 xk03)和中国国家自然科学基金(批准号11371361)。