文摘
借助符号计算的枫,我们扩展的应用Virasoro-type对称延伸法与双组分耦合系统的非线性方程。新的非线性系统承认无穷维无心Virasoro-type对称代数构造。以其中一个为例,我们介绍一些group-invariant解决方案的一个新模型系统。
1。介绍
如KdV方程可积模型,KP方程,非线性薛定谔方程,NNV方程,sine-Gordon方程,和户田拓夫晶格发挥着越来越重要的作用,几乎所有的自然科学。使它成为一项最基本的问题尽可能寻求新的非线性方程和系统具有一些不错的属性包括宽松的一对,Painleve性质,无数的守恒定律,bi-Hamiltonian结构。
存在许多强大的方法来构造非线性方程和系统多尺度方法,对称约束方法,和保形不变的方法1- - - - - -4]。在这些方法开发最近,Virasoro-type对称延伸(VSP)方法是非常有效的。基于这一事实所有已知的(维可积模型具有以下无心Virasoro-type子代数: 在哪里和是任意的函数相同的参数,没有已知的nonintegrable模型拥有这种类型的对称代数、卢和胡锦涛提出一个想法,如果一个吗独立模型具有Virasoro-type对称代数(1),该模型是维拉宿可积(5]。通过使用这个理论和选择特殊的实现,一些新的(维(维维拉宿可积模型派生(6- - - - - -8]。
然而,垂直地震剖面的方法和具体实现上面所讨论的所有属于单一方程。据我们所知,很少有结果关于与双组分非线性方程的耦合系统建设(9]。因此,我们扩展这种方法构建的应用程序几个(维维拉宿可积系统通过选择特殊的代数实现(1)。
本文的其余部分组织如下。垂直地震剖面法的一般理论为非线性系统提出了部分2。节3,一些()维维拉宿可积系统是由选择适当的实现。对于一个具体的例子,一维优化系统和group-invariant解决系统(21)节中给出4。最后一节包含一些结束语。
2。广义垂直地震剖面法
首先,我们给出一个简短的广义非线性系统的垂直地震剖面法。我们考虑向量场与以下形式: 我们定义的函数,,,,如下: 在哪里,,,,,,函数的变量,应该选择来满足对易关系(1)。为了构造不变阶偏微分方程,我们应该计算延长的向量场首先。的一般公式延长一个向量场是由 与 在哪里,,总衍生品对吗,,,分别。因此我们可以计算延长混凝土向量。众所周知,不变系统应该有以下形式: 在哪里满足 为了构建集团不变的方程,我们应该解决对应的特征方程 解决上述系统后,我们可以得到一组基本不变量 一般不变系统具有以下形式: 根据维拉宿可积性的定义,模型应该独立。因此,当我们发现独立组织不变量,我们可以构造新维拉宿积分模型(10)。与垂直地震剖面法(见[7]),此方法可以用来处理与双组分耦合系统的非线性方程。
3所示。应用程序
在本节中,我们将构建多个耦合系统承认Virasoro-type对称代数通过选择具体的实现(1)。我们考虑的是实现 在哪里,,表示第一、第二和第三阶的导数函数关于分别为,,任意常数。很容易验证是一种维拉宿对称什么时候。根据延长公式(4),一个可以获得相应的th延长枫借助符号计算: 对应的特征方程是 解决上述特征方程后,我们可以得到显式的基本不变量列出了其中一些如下: 用上面的不变量(10),一个可以建立各种各样的(维非线性系统。一般来说,很难找出所有的独立不变系统。在这里我们只列举一些具体的例子。
案例1。在选择,,,,,我们获得以下组不变系统: 在这里,以后,任意常数。从上面的不变系统,我们推导出相应的维拉宿独立的可积系统: 采取,,,上面的系统改变不对称NNV方程被认为是一个不可压缩流体和模型和速度的组件。
例2。让,,,。我们发现以下组不变系统: 我们构建维拉宿独立的可积系统如下:
例3。在选择,,,一个人可以到达以下组不变系统: 我们使用上面的系统,构建相应的维拉宿独立的可积系统如下: 在下一节中,我们会发现该集团不变量解决上述系统读取的特殊情况
例4。采取,,,我们有以下组不变系统: 从哪一个可以构造维拉宿独立的可积系统如下:
4所示。Group-Invariant系统解决方案(21)
自从group-invariant非线性模型的解决方案中扮演重要角色模拟自然现象(10- - - - - -16),因此我们构建group-invariant系统解决方案(21)作为一个例子。我们利用经典谎言对称群方法构建相应无穷小录取系统(21首先。
定理1。的对称系统(21)形成一个李代数生成的向量场: 在哪里和是任意的函数。
我们考虑三种特殊情况的功能和。
例5。当的对称发电机系统(21)减少到
的非零换向片,,,是
的帮助下伴随表示:
李群的伴随动作的李代数表中列出1。
应用该方法由Ovsiannikov [17),我们获得以下定理。
定理2。一维最优系统的是由 在哪里,是真正非零常数。
因此,我们获得14个非等值的一维代数和group-invariant解决方案为14非等值的类型进行分类。求解特征方程后,我们可以获得不变量和不变量形式。用不变的形式进入系统(21),我们可以减少原始(维系统(维系统。因为它是一项艰巨的任务,找到所有解决方案的每14非等值的代数中我们只显示结果为例,我们可以处理和解决系统列表(21)表2。在这里,以后,,是任意的函数对其变量。
例6。当的对称发电机系统(21)减少到
在这种情况下,最优的系统是一样的定理2我们可以找到一些新的解决方案如表所示3。
例7。当,的对称发电机系统(21)
通过简单的计算,我们得到最优系统在这种情况下是一样的,在定理2。我们列出新的解决方案表4。
5。结束语
在本文中,我们扩展了Virasoro-type对称延伸方法从单一方程耦合双组分非线性方程组。四种类型的新构造非线性维拉宿可积系统。此外,我们获得一维优化系统和group-invariant解决方案的一个模型系统,即系统(21)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究被做王Lizhen参观时数学科学研究所(IMS)的香港中文大学。这项工作是由中国国家自然科学基金会(批准号。11201371,11371323,11371323,11071195),陕西省的国家自然科学基金(批准号2012 jq1013),陕西省教育部的项目(批准号11 jk0482)。