文摘

摘要伯恩斯坦多项式的一个新的实现方法的一种特殊的奇异系统的数值解。对于这一目标,首先解决方案的系列截断伯恩斯坦多项式函数替换给定的问题。使用这些多项式的一些性质,减少问题的解决方案来解决一个线性代数方程组。为了证实了该方法的可靠性和准确性,一些弱阿贝尔积分方程系统与比较详细解决数值例子。

1。介绍

许多物理、生物、工程过程涉及有关利率变化的各种数量根据物理或其他原则。在某些情况下,这些过程的数学表示出现在自然的方式的奇异积分方程。应该注意的是,这些类型的方程包含更多的数学应用信息科学问题引起的自然现象。另一方面,更不容易解决奇异积分方程分析。因此,基于数值方法求解这些方程可以难以置信的强大。在众多数值方法已提供,让我们提一些著名的方法。例如,汗和冈德尔岛(1)合并拉普拉斯变换和分解方法,然后提出了一个新的机制来解决亚伯型奇异积分方程,也就是说,两步拉普拉斯分解算法。Bougoffa et al。2]Adomian分解方法用于求解线性和非线性阿贝尔积分方程。Abdulkawi et al。3)使用第二类切比雪夫多项式的柯西型奇异积分方程的数值解第一类,在一个有限的部分。奇异积分方程的解与对数内核在两个不相交的时间间隔由Banerjea获得使用函数理论方法,杜塔(4]。两个间隔条件产生了两个未知数的两个简单的代数方程组,是解决恢复中的反射和透射系数的散射问题。Helsing (5)提出了一个基于减少快速和稳定的解算器,Nystrom离散化,复合求积,递归逆预处理,压缩和多极加速技术对这些积分方程的数值解分段光滑曲线。Maleknejad和Salimi Shamloo [6)利用拉普拉斯变换的问题和操作的分段常数矩阵正交函数解决奇异沃尔泰拉积分方程。此外,黄等。7]提供了一个稳定的阿贝尔积分方程近似反演利用泰勒展开方法。这项工作改变了方程近似未知函数的线性代数方程组及其衍生品。a和侯赛因8)提出了一种方便、有效的数值方法治疗第一和第二类型的奇异积分方程。的方法产生了一个简单的和封闭的形式近似解通过Sinc函数平滑转换。最近,我们采用人工神经网络的结构模糊类型阿贝尔积分方程的近似解。同时,勒让德函数小波为基础的应用求解提供一种特殊的奇异系统(9]。最近,(10- - - - - -17),小波方法用于解决一类非线性奇异部分沃尔泰拉积分微分的方程组。在这工作,切比雪夫多项式和它们的属性被转到派生形成的一般程序操作矩阵的切比雪夫分数导数小波。

在许多科学与工程中存在的问题,我们有一些未知函数过于复杂的决定。伯恩斯坦多项式方法是最早的analytic-numeric算法近似未知的不同类型的数学问题。这是一种非常有用的方式表达一个复杂函数的简单的多项式。唯一的要求就是,给定的函数应该是光滑的。换句话说,在一个点的利息必须能够区分函数经常请我们。在我们的早期作品中,线性积分方程系统是由使用这些类型的多项式(18]。此外,在[19- - - - - -22伯恩斯坦多项式和伯恩斯坦操作矩阵用于解决某些类型的奇异积分和积分微分的方程。在本文中,我们将应用伯恩斯坦系列的开发方法系统的近似解的弱阿贝尔积分方程被认为是标准形式: 在哪里是一个真正的常数,和是预定的实值函数,是向量确定解决方案。更多细节的积分方程,读者这本书被称为(23]。据说现在的问题有一个独特的解决方案(23),获得一种舒适计算上述系统当伯恩斯坦多项式作为基函数。现在,把()将导致系统未知函数的线性代数方程组。然后,可以得到数值解解决由此产生的系统使用一个标准的规则。如果越来越多的条款使用从伯恩斯坦系列,然后更好的和更好的近似多项式表示未知数。很明显,th秩序级数解收敛于精确解如果未知函数多项式的程度。这是论文的大纲。部分2打算描述如何找到一个弱阿贝尔积分方程的近似解系统通过使用当前的方法。节3近似解的误差分析给出相应的奇异积分方程系统。为了演示该方法的效率和可靠性,给出了一些数值测试例子比较4。部分5总结了纸。

2。描述的方法

伯恩斯坦多项式表示从许多观点是极其重要的。这种方法可以用于简单的多项式近似更复杂的功能。在本节中,我们的目标是展示伯恩斯坦多项式的方法可以应用于数值解的奇异系统(1)。首先,假定函数和感兴趣的是连续可微的间隔。我们知道,伯恩斯坦函数近似多项式: 在哪里是一个常数系数和伯恩斯坦多项式的基础学位吗对于每一个正整数,这是由Mandal和巴塔查里亚(24]: 很明显的价值方法作为变大。假设我们把这个论点并试图确定多项式近似的程度在特定的问题的解决方案。要做到这一点,首先被替换为在系统(1)。现在,我们得到 或者同样的 在哪里 经过简化,(5)简化为以下形式: 在哪里 不同值的合适的选择()(例如,),我们获得以下线性代数系统: 在哪里 因此,系统(9),线性方程组的未知数()可以重写以矩阵形式如下: 或者同样的 块矩阵: 因此,系统(11)可以使用一个标准的解决规则获取未知常数()。最终,未知函数可以很容易地使用上述假设近似。

3所示。收敛性分析

在本节中,我们打算证明了数值方法收敛于精确解的系统(1)。

定理1。让(度的多项式他们的数值系数是由解决线性系统(11)。存在一个整数这样,,这些多项式收敛于精确解的积分方程系统(1)。

证明。我们知道,伯恩斯坦多项式的函数上连续区间一致收敛这个函数(24]。再考虑系统(1)。换句话说,可以扩展为一系列一致收敛伯恩斯坦在吗: 基于建议的过程中,阿贝尔积分方程系统(1)可以转化为下面的等价无穷线性方程组为未知: 与 在哪里,,是在前一节中定义的。上述系统,独特的解可以表示为 在哪里。另外,上述系统可以写成 在哪里 因此,发现一个向量由第一个精确解向量的元素必须满足以下关系: 此外,根据上述的分析部分,独特的解决方案(11)表示为 减去(21)(20.)的收益率 在哪里。扩大的右边(22),左边的这是表达的 在哪里和的元素是和,分别。因此, 遵循从知名cauchy - schwarz不等式。自和,所以我们可以得出结论,和完成的证据。

4所示。数值例子

在本节中,说明了上述方法的帮助下三个说明性的例子包括二类沃尔泰拉积分方程系统与亚伯内核。注意,这里的实证结果将与实现的泰勒展开方法(TEM)的程度(7]。

例1。考虑下面的奇异积分方程系统: 在哪里 确切的向量解决方案。在这个例子中,我们的目标是使用当前技术通过近似解的问题。级数形式给出的解决方案 如图所示,该方法很准确的多项式解程度。

例2。考虑到系统的阿贝尔积分方程: 有确切的解决方案吗和。适合不同的分()在这0和附近是吗,数值结果展示在表的泰勒展开式求积方法1。此外,精确和近似的解决方案比较图1。

例3。让我们考虑一下阿贝尔积分方程系统: 在哪里 确切的解决方案,,。在表2,这里的数值结果与精确解进行比较。很明显,错误的精确和近似值之间和为零。同样,订单3的系列解决方案与泰勒近似收敛于精确解和。同时,的精确和近似的解决方案比较图2为和。

5。结论

在本文中,我们提出了一个有用的数值方法是主要从伯恩斯坦多项式求解阿贝尔积分方程系统。这种方法目前的问题转化为一个未知函数的线性代数方程组。伯恩斯坦在确定未知系数解决方案的功能,立即产生的系列解决方案。这种方法的一个有趣的特性是精确解派生的如果是一个多项式的学位或小于。另一方面,如果无法获得精确解,那么获得的系列可以用于数值。在这种情况下,更多的条款必须评估更高的精度水平。此外,该技术已经与泰勒展开方法。所得数值结果分析的例子说明,在应用程序中涉及与多项式计算,伯恩斯坦形式提供了有效的算法与传统的泰勒规则,许多基本功能。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。