文摘
结果表明,对于每一个正整数n存在一个低能的加权转变一个有向树(有或没有根)的nth权力是密集而其定义()权力不是。因此,对于每一个正整数n存在一个非对称低能的组合算子C在一个l2讨论了σ有限测度空间等Cn是人口定义和不是。
1。介绍
当权力问题的线性算子定义的一个封闭人口密集的定义已经吸引了相当大的关注。1940年奈马克给了一个惊人的例子,一个封闭的对称算子的广场已经微不足道的领域(见[1];参见[2不同的建设)。40多年后,Schmudgen发现了另一种病态的行为域对称操作符(cf的权力。3])。众所周知,对称运营商弱智者(cf。4在附录定理1])。因此,封闭的低能的运营商可以定义疏的权力。反过来,利用运营商,也低于正常的(见[5,6),所有权力人口定义(cf。6])。在本文我们讨论上述问题在低于正常的加权定向树和弱智者组成运营商转变空间(超过有限的测量空间)。
最近显示(cf。7,命题3.1]),正式正常(尤其是对称)加权自动定向树是有界和正常变化(一般来说,正式正常运营商并不弱智者,cf。8])。这同样适用于对称构图运营商空间(cf。9,命题])。正式正常成分运营商空间,这可能是无限的(见[9,附件]),仍正常(cf。10定理9.4])。因此,所有权力运营商人口定义(见例如,[11推论5.28])。
上面的讨论表明,是否每一个正整数存在一个低能的定向树的加权移位th权力是密集而定义的权力不是。类似的问题可以要求运营商组成空间。要回答他们,我们进行如下。首先,通过应用一个最近建立了标准加权复合算子的失常空间密度使得大会不设上诉向量(见定理1),我们表明,加权定义的人口转变在指导树,承认一个一致的系统(即概率的措施。,一个系统波莱尔的概率措施满足(6)是低能的,更重要的是,它的th权力人口定义当且仅当所有的时刻,这些措施的程度是有限的(cf。定理呢3)。导演树的具体情况与一个分支顶点定理中进行讨论5和推论6。使用这两个结果,我们肯定的回答这两个问题(见例子1和评论8)。值得指出的是,尽管导演树有一个分支顶点有结构简单,它们提供了许多例子中是重要的算子理论(见,例如,12,13])。
现在我们介绍一些符号和术语。接下来,,,,,代表整数集的非负整数,正整数,分别为非负实数和复数。集。我们写为代数的波莱尔的子集。鉴于,我们表示波莱尔概率测度集中在。
操作员的域在一个复杂的希尔伯特空间用(本文所有运营商考虑线性)。集。回想一下,一个封闭的人口定义的算子在据说是正常的如果(见[11,14,15]更多这类操作符)。我们说一个人口定义操作符在是低于正常的如果存在一个复杂的希尔伯特空间和一个正常的运营商在这样(等距嵌入)对所有。我们参考读者6,16- - - - - -19)的基础理论有界和无界低能的运营商,分别。
2。加权复合算子
假设是一个有限的测量空间,是一个可测函数,是一个可测映射。定义有限的测量通过为。让的测量为。假设绝对是连续的对吗。Radon-Nikodym定理(cf。20.,定理]),存在一个唯一(乙醯。等价)可测函数这样 然后操作员在,由 是定义良好的(cf。21,命题7])。调用一个加权复合算子。由(21命题10],人口定义当且仅当吗乙醯。;此外,如果是这种情况,那么是有限,Radon-Nikodym定理,为每一个可测函数存在一个唯一(乙醯。等价)可测函数这样 我们称之为的条件期望的关于(见[21]的更多信息)。一个映射被称为一个衡量家庭概率的措施如果集合函数是每一个的概率测度和功能是可测量的每。
以下标准(阅读:一个充分条件)加权复合算子的失常无界的提取(21定理29]。
定理1。如果是人口的定义,乙醯。,存在一个衡量家庭概率的措施这样 然后是弱智者。
关于定理1记得,如果是低能的,那么乙醯。(cf。21推论13])。
3所示。权重变化对指导树
让是一个有向树(和顶点和边的集合、职责)。集为。表示由的部分功能来分配一个顶点它的父(即。,一个unique这样)。一个顶点被称为根的如果没有父母。根是独一无二的(提供它的存在);我们表示了。集如果有一个根和否则。我们说是一个分支点的和写,如果由至少两个顶点。我们参考读者12]本文所需的所有关于定向树。
由一个加权转变 与重量我们指的是运营商在定义为 在哪里上定义的映射函数吗通过 像往常一样,是平方可积函数复杂的希尔伯特空间与标准的内积。为,我们定义点集的特征函数。然后是一组标准正交基的。
以下有用的引理的延伸部分(iv)的13,定理]。
引理2。让一个有向树是一个加权转变与重量,让。然后人口定义当且仅当吗对于每一个。
证明。鉴于(13,定理(iv)),人口定义当且仅当吗对于每一个。注意,如果和,然后和,这意味着每当。反过来,如果,那么显然。使用以上和一个归纳论点(路径有关),我们推断出人口定义当且仅当吗对于每一个。
值得一提的是,如果那么,由引理2和[13,定理(iv)](或由引理的证明2),是密集的。特别是,这套经典加权变化及其伴随的情况。
现在我们给一个标准失常定向树的加权转变。而不是[22,定理),我们不承担的密度向量在底层讨论。此外,我们不要认为底层直接树是无根无叶的,这是需要在9定理47],权重都是非零的。唯一限制我们对定向树是可数无限。这总是满意如果定义的加权问题是人口转变和非零权重(cf。12,命题])。在这里,后来,我们采用的约定,和;我们也写在的地方。
定理3。让是一个加权转变可数无限定向树与重量。假设存在一个系统波莱尔的概率措施和一个系统这样的非负实数 然后下面两个断言持有:(我)如果人口定义呢是弱智者,(2)如果,然后人口定义当且仅当吗对所有。
证明。(我)的假设是人口的定义。集和。让计数测量(是有限的,因为是可数名词)。定义了加权函数和映射通过
显然,这项措施绝对是连续的对吗和
因此,通过(12,命题),对于每一个。我们声称乙醯。。这表明,如果是一样的和,然后。因此,如果和,然后应用(6),我们推断出;反过来,应用(6)与,我们得到,这证明了我们的索赔要求。
请注意,(不相交的联盟)。因此,有条件的期望的一个函数关于是由
在哪里(参见(8));在剩下的部分我们可以把。
替换到(6),我们看到对于每一个这样。因此,使用标准的理论测量参数,(6),我们推断出
集为和。它遵循从(9)和(10),:是(可衡量的)家庭的概率措施满足下列等式:
这意味着满足
。因此,通过定理1、加权复合算子(见(2)是弱智者。自(我)证明,断言。
(2)它很容易看到,如果是一种有限积极波莱尔测量吗和对于一些,然后对于每一个这样。这个事实结合引理2和[22,Lemmata(我),(我)]意味着断言(ii)。
备注4。假设是加权定义的人口转变可数无限定向树与重量。仔细检查证明定理3显示,如果(与)是一个系统的波莱尔概率措施满足(6),然后乙醯。,家庭定义为为满足 ,对于每一个。我们主张,如果乙醯。和是任何家庭满足概率的措施 ,则系统定义概率的措施 满足(6),在的地方。的确, 意味着(11)。因此,由(9在(),平等10)适用于每一个与为。这意味着通过平等的标准理论测量参数(6)适用于每一个。自乙醯。,我们推断出平等(6)适用于每一个与在的地方。显然,这也是如此。因此,证明了我们的索赔要求。
4所示。树木有一个分支顶点
定理3将被应用在加权的情况下在无叶的变化直接与一个分支顶点树。首先,我们回忆起这种树的模型(见图1)。为与,我们定义指示树如下(符号”“联盟的代表): 在哪里为。很明显,无叶的,是它唯一的分支顶点。从现在起,我们写而不是更正式的表达每当。
定理5。让是这样的,,让一个有向树是一个加权转变与非零权重。假设存在一个序列波莱尔的概率措施这样
这是满足以下三个析取条件之一:(我)
和
(2)
和
(3)
和等式(16)和(17)是有效的。
然后下面两个断言持有:(一)如果人口定义呢是弱智者,(b)如果,然后人口定义当且仅当吗
证明。在的证据23定理4.1],我们定义系统波莱尔的概率措施,并验证满足(6)。因此,断言(a)是一个定理的直接后果3(我)。
(b)修复。它遵循从定理3(二)人口定义当且仅当吗。使用显式的定义和应用标准的理论测量参数,我们看到
这就完成了证明的断言(b)(的情况下没有使用的定义也可以解决吗仅仅通过引理2和[12,命题(3)])。
请注意,定理5是真的如果条件(2)的条件(iii)所取代23定理4.1)(参见[23引理4.2)及其证明)。
推论6。假设下的定理5,如果,然后下面两个断言是等价的:(我) 是人口定义和不是,(2)条件(19)持有,。
5。这个例子
它遵循从[22,引理(我)],如果是一个加权的转变和,然后是密集的(这意味着推论6有趣的是只有)。如果,情况是完全不同的。使用定理5和推论6,我们表明,对于每一个每,存在一个低能的加权的转变在这样是人口定义和不是。为了这个目的,我们适应12、程序当前上下文。在最初的过程中,一开始的序列波莱尔的概率措施(其th是有限的每一时刻这样),然后构造一个非零权重体系满足定理的假设5(事实上,使用引理7下面,我们也可以保持条件(19))。然而,在一般情况下,是不可能维持的条件(2)推论6即使与两点支持措施(这里不讨论这个问题)。
例1。假设。考虑的措施与为。由(12,符号和程序),当且仅当。因此,一般性的假设没有损失。涵盖所有可能的选择,我们寻找一个非零权重体系满足(14),(16),(17),,(19),平等。设置为,我们降低我们的问题找到一个序列这样
事实上,如果是这样一个序列,那么条件乘以一个适当的正的常数,我们可以假设满足(21)和(16)。接下来,我们定义权重递归地以满足(17),,最后我们设置对所有这样。所以构造权重满足我们的要求。
下面的引理证明解决了问题时是有用的。
引理7。如果无限矩阵的条目吗,那么存在一个序列这样
证明。首先观察到,对于每一个,存在这样。因此,对于每一个。
自存在子序列序列的这样对于每一个。集。由引理7,存在这样 定义系统通过 自对所有,我们得到 结合(23)和(25),我们得到了(21),它解决了问题,因此给所需的例子。
注8。值得一提的是,如果,那么任何加权的转变在与非零权重酉等价单射算子构成的讨论了有限测度空间(cf。13,引理])。这一事实结合的例子1表明,对于每一个,存在一个低能的组合算子在一个讨论了有限测度空间等是人口定义和不是。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
该研究的第一作者支持的NCN(国家科学中心)授予DEC-2011/01 / D / ST1/05805。第三和第四作者的研究得到了MNiSzW(科学和高等教育)授予NN201 546438 (2010 - 2013)。