文摘
一类平面立方Kolmogorov系统与收获和两个积极的平衡分了。数学在计算机代数系统的帮助下,我们证明五可以分叉同时从两个重要极限环点(1,- 1)和(2,2),分别在第一象限。此外,中心的必要条件。
1。介绍
在数学生态学、一类系统的形式 经常用于模型交互占据相同生态位的物种。微分方程建模两个物种之间的交互 被称为Kolmogorov系统已经被广泛的研究。众所周知,古典Lotka-Volterra-Gause模型中不存在极限环,和是线性的。当然只能有一个临界点在现实的内部象限在这种情况下,但这可能是一个中心;然而,没有孤立的周期解。
如果和类比是二次,有人可能会认为,第一象限内的行为类似于二次系统。我们给的例子表明,情况并非如此,即使和工厂。有许多关于这个系统的贡献(见[1,2])。后者提出了质疑捕食系统周期可以有两个或两个以上的生态稳定。如果和立方,也有很多工作要考虑其极限环和动力学行为,看到3,4]。在[5),作者讨论了一类立方Kolmogorov系统有三个不变代数曲线。
最近,一个系统有三个积极的平衡分调查,作者调查了center-focus问题和极限环分支。他们已经证明每个2分和在一定条件下可以分叉1小极限环,和3点附近会出现极限环吗在相同的步骤6]。最近在[其他Kolmogorov系统也被调查7,8]。在这篇文章中,我们将考虑极限环分叉的一类系统的形式 这有两个积极的平衡分吗和。我们使用我们的计算机代数描述的过程数学((9])来计算焦值的临界点和。我们将表明,五个极限环分叉点和同时进行。此外,一些必要和充分条件两个积极平衡点中心也得到。
本文分为三个部分。节2,我们使用递归算法获得5限制圈可以分岔点和。节3必要和充分条件,两个积极平衡点中心。
2。分岔点限制圈在两个积极的平衡
首先,它很容易证明点和有两个积极的平衡系统(3),他们都是中心或重点。所以我们需要计算李雅普诺夫常数来确定它的奇异。现在,我们考虑这一点。
通过转换,,,我们仍然表示通过为了方便。这一点将搬到的新系统,该系统将改变成以下系统: 此外,由转换 系统(4)可以转化为以下系统: 应用定理2.5的递归公式(9),我们计算奇异点数量和简化;然后,我们有如下定理。
定理1。前四个奇点量在原点的系统(6)如下: 在哪里
而下面的定理。
定理2。系统的起源6)是一个四阶弱专注当且仅当
证明。 意味着以上参数之间的关系。进一步的,当, 我们有 在哪里表示的合成关于。所以当。也就是说,点是一个四阶弱的焦点。
我们接下来研究的摄动系统的极限环分叉(4)。当条件(9),我们可以获得
事实上, 所以,即,当。
上述声明收益率以下定理成立。
定理3。如果系统的起源4)是一个四阶弱聚焦,使一个小扰动系数的系统(4),然后,摄动系统(4),在原点的一个小邻域内,存在5小振幅极限环封闭。
用类似的方法,我们可以讨论的极限环分叉点。通过转换,我们仍然表示通过为了方便。然后点将进入点的新系统,该系统将改变成以下系统: 此外,由转换 系统(14)可以转化为以下系统: 直接计算可以给下面的定理。
定理4。前四个奇点量在原点的系统(16)如下: 在哪里
而解决和,我们可以立即获得以下定理。
定理5。系统的起源16)是一个四阶弱专注当且仅当
此外,下面的定理也适用于系统(14)。
定理6。如果系统的起源14)是一个四阶弱聚焦,使一个小扰动系数的系统(14),然后,摄动系统(14),在原点的一个小邻域内,存在5小振幅极限环封闭。
结果还屈服,当点是一个四阶弱的焦点,点系统是一个一阶弱集中在同一时间。点是一个一阶弱的专注点是一个四阶弱的焦点。即同时摄动,5个极限环可以用两个不同的分支分布;参见图1。
(一)
(b)
3所示。中心两个积极的平衡条件点
如果所有李雅普诺夫常数等于零,这将是一个中心一个临界点的条件。因此定理1和4意味着下面的定理。
证明。当系统(4)可以写成
通过转换
系统(21)成为
这是对称的轴。
当系统(14)可以写成
转换
把系统(24)
这是对称的轴。的起源是一个中心系统(14)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究部分由中国国家自然科学基金(没有。11201211,11201211,11261020)和湖南省级教育部门的科学研究基金(没有。12 b034),湖南省自然科学基金(没有。13 jj3106)。