文摘

我们考虑一类非线性的数值解(标准)沃尔泰拉积分方程。我们证明一个点的存在性和唯一性搭配梯形规则重复的解决方案和解决方案的非线性沃尔泰拉积分方程。我们分析的融合搭配方法和重复梯形法则。数值实验是用来说明理论结果。

1。介绍

在本文中,我们考虑到非线性(标准)沃尔泰拉积分方程: 在哪里和是连续函数。一些例子的非线性VIE (1)来自非线性常微分方程用于表示保守系统。在[1我们提供的解决方案的存在性和唯一性的充分条件(1)。我们也近似的解决方案(1)使用搭配方法,重复梯形法则,重复辛普森法则。

搭配沃尔泰拉积分方程的解决方案已经几年来的工作的主题。布鲁纳(2]研究搭配解的存在性和唯一性的线性沃尔泰拉积分方程第二种产量和显示方法的全局收敛性。在[3与多个比例延迟)非线性沃尔泰拉积分方程进行了研究;他们提供了充分条件的存在性和唯一性分析和搭配方案。此外,(3]证明了产量的搭配方法的全局收敛性。其他作者等(4- - - - - -6]也分析了搭配沃尔泰拉积分方程方法的收敛与不同类型的内核。在这个工作我们学习条件的数值解的存在性和唯一性(1),进行收敛性分析的搭配方法和重复梯形法则。

2。数值解的存在性和唯一性

考虑非线性竞争 在哪里,,。我们证明一个定理类似的(3),建立搭配解的存在性和唯一性(2)。搭配的解决方案(2)给出 在哪里

让 ,;然后

解决(7我们使用一个迭代过程;因此我们重写(7)的形式 在哪里。让 然后(8)可以写成

定理1。假设给定的函数和在非线性VIE (2)是连续的在各自的领域和。那么存在一个常数,对于任何统一的网格与,(3)定义了一个独特的搭配方案属于分段常数多项式,(2)。

证明。因为内核在(2)是连续的,然后在(10)是有界的。每当,。因此,对在(10),存在,是有界的。
对于一些假设是有界的。然后,理由如上所述,存在,是有界的。
如果有一个以上持有这样一个统一的网格与,条件适用于所有。因此存在一个独特的解决方案(3)。

推论2。在相同条件下的定理1, 定义了一个独特的解决方案(2重复的梯形法则)。

证明。扩大(11),我们得到 在哪里,,为。让 然后我们有 从定理结果如下所示1通过

推论3。应用搭配方法或重复梯形法则的结果在一个独特的解决方案(1)。

证明。的存在性和唯一性,遵循从定理1和推论2。的情况下,存在性和唯一性的搭配的解决方案是建立在2]。的情况下,解决方案的存在性和唯一性的重复梯形规则遵循连续性的和。结合这两种情况建立了搭配的解决方案和解决方案的存在性和唯一性的重复梯形法则(1)。

3所示。数值方法的收敛性

3.1。全局收敛性的搭配方法

情况下的全局收敛性在(1)进行了分析(见[2]);因此我们将研究的情况和在哪里和非零。我们使用一个过程类似于一个用于3]分析了全局收敛性的搭配方案,。

定理4。假设,,,定义为(3),是搭配的解决方案(2)。
然后对所有足够小,我们有 在哪里是拉格朗日插值算子对应参数的搭配吗和常数不依赖于。

证明。定义如下: 然后操作员VIE配方(2)及其搭配方程给出
基于竞争及其搭配方程的可解性和获取我们实现一个迭代过程 在哪里和。
然后之间的误差和可以写成 这意味着 从插值的误差估计,我们有 和适当的假设和, 导致

另一方面,回想一下,搭配的解决方案(1)是由

推论5。如果解决方案定义为(25)是搭配的解决方案(1),那么,对于一个足够小, 适用于任何一组搭配点的。常数取决于但不是在。

证明。从[2我们知道竞争的搭配方案, 满足 使用我们的三角不等式

3.2。重复的梯形法则

考虑的解决方案(2)重复梯形法则

定理6。近似方法给出的(30.)收敛收敛,其顺序是至少有一个。

证明。把在(2),我们有 使用李普希兹条件,(31日)可以写成 在哪里和是集成的错误规则。
然后,让;因此
然后我们有 的功能和我们至少有一阶导数,。因此我们有

推论7。重复的梯形的解决方案(1),定义为 收敛收敛,其顺序是至少有一个。

证明。自重复使用时梯形法则来解决(2)和(27),因此,(1)我们有

4所示。数值结果

在这一部分中,我们将从搭配方法和数值结果重复梯形法则。获得收敛速度的估计,我们使用以下数量: 在哪里,,近似表示为使用步骤大小,,。结果如图1和2,这表明一阶收敛,这是在协议与定理的结果部分3。收敛率使用的近似结果从下面的例子。

例1。考虑

例2。考虑

5。讨论

在这工作,我们提供了充分条件的存在性和唯一性搭配梯形规则重复的解决方案和解决方案(2)。我们进行了数值分析的非线性(标准)沃尔泰拉积分方程(1)。在定理4和推论5我们证明了搭配方法产生全局收敛性的顺序。我们还证明了在部分3.2重复的梯形法则已经收敛阶。收敛的数值近似隐式欧拉的订单,隐含的中点,梯形法则都是重复和部分所示4。计算订单的收敛与理论结果一致3。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突的。