文摘
拉普拉斯变换的计算有效的杂交和两个空间离散化技术研究time-fractional线性偏微分方程的数值解的两个空间变量。切比雪夫搭配方法与标准的有限差分空间离散化和绝对误差得到了几个测试问题。准确的数值解决方案实现了切比雪夫搭配方法狄利克雷和诺伊曼边界条件。这些混合的方法获得的解决方案允许评估在任何时候不需要呢,一个特定的时间点。
1。介绍
近年来,部分衍生品和部分偏微分方程(fpd)收到高度重视分析和应用程序(参见[1- - - - - -3)和引用)。尽管如此,有很少的工作解决fpd有限域。Agrawal [4利用拉普拉斯变换和有限的正弦变换来获得一个分步扩散波方程解析解有限域。许多作者应用他的变分迭代法(VIM) [5]fpd取得了巨大的成功。然而,像微分变换法(6)(DTM)和Adomian分解方法(7)(ADM), VIM假设FPDE躺在无限域。
大量的工作在混合动力技术提出了拉普拉斯变换在哪里加上勒让德小波,ADM, VIM (8- - - - - -12]。阴et al。13]也夫妇VIM和勒让德小波非线性pde的解决方案。歌等。14)比较结果分数VIM和ADM认为方法是相似的;然而,VIM不需要Adomian多项式的计算。Atangana和Kılıcman15)夫妇同伦摄动方法(HPM) Sumudu变换,拉普拉斯积分变换相似变换,获得解决某些非线性热量的火焰。Bhrawy等人造成了相当大的努力,专注于解决问题通过移位的勒让德τ分数微分方程法和谱方法fpd (16- - - - - -20.]。最近,有一个大型运动对新技术解决fpd(见[21- - - - - -28])。最好的作者的知识,这些变换技术无法执行狄利克雷或诺伊曼边界条件有限域,因此我们研究新方法尝试规避这个问题。
扩散方程的应用图片是丰富的29日- - - - - -34]。然而,time-fractional偏微分方程的应用尚未彻底检查。保存图像的空间地形是必须保持形象被认为是有用的信息。记住这个应用程序,我们专注于扩散方程在两个维度,一个平流项的引入到模型将传播信息。同样,考虑到time-fractional扩散方程再次,我们获得扩散波方程,具有propagational属性。因此,我们限制我们的选择在。引入分数阶导数提出了一个问题:如何使离散或导数变换产生一种适合现有技术。
Grunwald-Letnikov离散化已用于数值方案部分偏微分方程(35- - - - - -37),是由 在哪里 和。计算,这种离散化变得极其昂贵的长时间模拟时间依赖的每个后续步骤每一个之前的时间步。
利用拉普拉斯变换允许绕过时域离散化中出现的问题。然而,使用分数阶导数的拉普拉斯变换提出了反相转换的问题找到一个解决方案。分析反演的变换是不可行的,因此数值方案评估的布罗姆维奇积分Weideman和Trefethen [38)是广泛使用。布罗姆维奇积分的形式 在哪里是收敛横坐标。利用抛物型保形映射 方程(3)成为 然后可以近似梯形规则简单,或任何其他正交技术,是吗 在抛物线轮廓的指数因子(3)部队迅速衰减被积函数使其适合正交。剩下的就是选择参数和优化是通过渐近平衡截断误差和离散化误差的尖端。描述的方法通过Weideman和附近Trefethen达到最优结果(见[38)和数字在其中)和感兴趣的读者是有彻底的实现方法的描述。在这项工作中,我们利用抛物线轮廓由于易用性和双曲轮廓只有展品抛物线轮廓提高性能。
我们在座的扩展工作由雅各布斯和哈雷(39]。本文扩展了上述工作的一般形式time-fractional抛物型偏微分方程以及包括两种类型的边界条件,边界条件和诺伊曼。
以下部分介绍了初步定义方法的描述,包括边界条件不同的情况下的部分3。部分5提出了基于三个完全不同的结果进行比较线性,易发的例子。结果和他们的关系的讨论超出了本研究提出了部分6以及一些结束语。
2。预赛
在这个工作我们采用卡普托的分数阶导数的定义Riemann-Louiville导数因为卡普托利用导数的物理边界条件,而Riemann-Louiville需要分数阶导数边界条件。
定义1。Riemann-Louiville积分的一个函数是
定义2。的分数阶导数根据卡普托定义,,是
如果卡普托分数阶导数减少,普通的一阶导数。Podlubny [2)说明了取悦卡普托导数的拉普拉斯变换的性质,我们可以看到在9)。在我们的例子中,,我们有 这个属性允许将分数阶导数代数。
定义3。广义米塔格-莱弗勒函数的参数是
3所示。方法:Semidiscrete混合变换方法
本节介绍的方法用于二维FPDE,在一维情况下这里介绍的方法是一个简单的减少。
考虑到time-fractional微分方程的形式 与 在哪里是一个线性函数的参数,满足所需的域切比雪夫多项式,和是一种函数式表示的图像数据或多变量函数。边界条件可以狄利克雷或纽曼和将在稍后讨论。我们现在可以应用拉普拉斯变换(11)获得 在哪里 边界条件的形式可能是狄利克雷条件如下: 因此, 另外,诺伊曼边界条件 与 的参数,,,可能的功能时间变量的一个空间变量;也就是说,。不失一般性,我们假设,,,是常数。
这个模型是离散的空间组件在两个方面:切比雪夫搭配和有限的差异。
3.1。切比雪夫搭配
切比雪夫多项式形式的基础因此我们决定的领域PDE。我们注意到这里,然而,任何领域可以非常畸形的比赛吗。我们的空间域离散化使用Chebyshev-Gauss-Lobatto点: 这里需要注意的是,,,表明域实质上是逆转,必须施加边界条件时要特别小心。
鉴于我们的输入函数或图像映射到,我们可以假设;也就是说,我们在每个空间有相同数量的搭配点方向。我们现在定义一个微分矩阵: Bayliss et al。40)描述一个方法减少舍入错误发生在区分矩阵的计算。因为我们写,我们实现的方法,描述了在40),为了减少舍入误差的传播空间的二阶导数。
的导数矩阵方向 在哪里切比雪夫分化矩阵的大小吗。
因为我们认为,我们推导出的属性和。
写作的离散化(14以矩阵形式)的收益率 在哪里 通过扩大(24在求和符号), 为,。通过提取第一个和最后一个在资金方面,我们获得 为,。我们使用的形式(27施加边界条件。
解决方案,,这是未知的内陆点的矩阵系统,可以得到解决 在哪里是内陆点的矩阵呢和是内陆点的矩阵呢,所以和匹配的尺寸。也 为,。通过使用克罗内克张量产品,用和词典重新排序,或重塑和我们可以写成 这是一个线性系统,迎刃而解了吗LinearSolve在Mathematica 9。
3.1.1。狄利克雷边界条件
狄利克雷边界条件可以直接取代了(16)(27),并收集所有已知的条款。
3.1.2。诺伊曼边界条件
诺伊曼边界条件由(17)离散 类似的(18),我们有 通过提取和第一个和最后一个条件,离散可以写成 这些线性系统解决方案,然后替换成(27)。
3.2。有限差分离散化
下面我们利用有限差分公式如下: 在哪里和。
3.2.1之上。狄利克雷边界条件
离散化(14)使用一个标准的中心差分方案和在矩阵表示法,我们推断 在哪里和三对角矩阵相应的有限差分微分矩阵维度和 我们写成一个线性系统解决,再次使用LinearSolve在Mathematica 9,如下所示: 边界条件(16),可以直接执行到矩阵,内陆点是。
3.2.2。诺伊曼边界条件
通过离散化边界条件(17)和(18我们推导)使用一个标准的中心差分方案 包括上述矩阵的条件和每个维度我们可以把整个系统 在哪里 这可能是解决线性系统通过编写
4所示。分析
4.1。可解性
我们已经减少了4例系统的线性系统,提出了(30.),(37)和(41)。如前所述在前面的部分中,我们实现了Mathematica解算器LinearSolve,分析了矩阵结构和自适应地选择最合适的解决方案的方法。我们有一系列标准溶液方法相比,如转速、速度比没有找到一种算法LinearSolve。一个系统有一个独特的解决方案,,提供了矩阵有一个逆存在。在接下来的分析我们各自表示的长度在一维矩阵通过,因为这个长度是计划相关的。
命题4。如果是一个不可约对角占优矩阵的吗至少一个,然后是可逆的41]。
上述命题的证明可能会发现在41]。剩下的就是表明矩阵总是不可约和满足命题吗4对于一些。一个有用的描述一个不可约矩阵如下:给定一个系统 ,矩阵 不可约如果任何组件的变化吗 将导致变化的解决方案 。
证明。让并考虑;然后,。假设然后,一个矛盾。所以和任何改变将导致的改变。因此是不可约的。
以下4.4.1。有限差分格式
右边的结构矩阵(37)和(41减少我们的对角优势准则 来 在近似梯形的布罗姆维奇积分规则,我们截断集成的极限来。的轮廓路径积分的定义是一个抛物线,表示上图,在复平面最小截断参数成比例和最后一次我们整合成反比,。这意味着提供了比足够大的抛物线将遍历所需的复杂的空间避免下界条件(43)。因此,有限差分格式是可解决的评估提供了一个选择参数满足上述条件的布罗姆维奇积分。上面的例子如图1的就像半径2代表上述条件所需的下界。
4.1.2。切比雪夫搭配
切比雪夫的搭配可解性标准更难以满足,因此我们只能得到一个必要的标准,我们选择反演参数必须满足。再一次的结构(30.)规定的条件 减少到 很容易在实践中验证上述条件;然而,由于分辨率上的导数矩阵参数的依赖性和,很难写一个封闭形式的一般情况。选择适当的参数反演的分辨率确保解决方案如前一节所述。鉴于导数矩阵切比雪夫搭配充满,右手边的可解性条件(45)产生一个下界与一个更大的大小比有限差分;此外,下界的增长。轮廓给出的例子在图2和在图3说明构建良好的轮廓的依从性的可解性条件(45)。
4.2。精度
4.2.1。准备有限差分格式
从理论上讲,该方法的准确性是众所周知的(41]。节中获得的错误5同意的理论界限。
4.2.2。切比雪夫搭配
布鲁尔和艾弗森的工作42],也和Solomonoff [43)两个参数在切比雪夫搭配的准确性。在实践中,方法是通过测量的准确性数值微分的函数和比较数值导数的解析结果。获得的结果在当前工作中给出的结果一致(42,43)获得很好的小值的错误和。切比雪夫搭配错误的增加而大幅非常大的价值矛盾的典型的经验法则。上述工作解释说,虽然截断误差随着分辨率的增加,减少舍入误差积累明显,占主导地位。
5。结果
示例5(一维time-fractional扩散方程与同质诺伊曼边界条件)。我们认为首先time-fractional在一维扩散方程:
边界条件
和初始条件
有限的结果差异和切比雪夫搭配比较确切的解决方案由大使和Erjaee44]
在哪里广义米塔格-莱弗勒函数的参数吗。我们选择符合(44];然而,实验结果表明,该方法是健壮的任何价值。我们注意到这领域最初因此一个线性变换在空间域映射到所需的变量,根据切比雪夫多项式的领域。有限差分和切比雪夫计划中的错误都列在下表中1。
数据4和5说明了减少错误发生的过程中拉普拉斯反变换。拉普拉斯变换的反演,甚至在分析的情况下,可能会导致一个奇点。这出现在数值反演和结果在一个相对较大的误差在目前计划附近。然而,这个错误减少迅速,我们计划获得一个精确的解决方案。
例子6 (diffusion-advection方程狄利克雷边界条件)。这个例子中认为time-fractional diffusion-advection在一维方程: 受 作者的知识,不存在精确解的time-fractional diffusion-advection方程。比较目前的方法NDSolve在Mathematica 9产生令人满意的结果可以找到,但没有解决方案部分。我们不是比较我们在拉普拉斯域的解决方案,我们获得一个转换方程精确解DSolve在Mathematica 9。这允许一个比较的性能存在不同值的方法。错误了表中给出2。鉴于这些错误是有效的在变换域,我们注意的数值误差发生反转的拉普拉斯变换,由Weideman和Trefethen [38),通常是50。
示例7(二维time-fractional扩散方程与同质狄利克雷边界条件)。我们现在考虑二维time-fractional扩散方程 与边界条件 和初始条件 的边界条件与初始条件相一致。的参数采取的是0.8。Momani [45]给出了一个精确解 在哪里订单的米塔格-莱弗勒功能吗。这些分数阶导数方法的疗效见表3。
6。结束语
上面的结果强烈提倡利用切比雪夫搭配空间离散化方法考虑到快速错误减少和增加空间分辨率。这些混合的方法提供一个健壮的方式可以解决线性time-fractional偏微分方程在有限域诺伊曼和狄利克雷边界条件,尤其是考虑到离散初始数据。
切比雪夫搭配提出了非常小的错误相比,确切的解决方案。我们用数值实验证实的方法,应用离散初始条件,一个确切的解决方案可能不存在。图6说明了减少误差与越来越多的搭配点在前一节中给出的例子。
拉普拉斯变换的效率这个杂化方法的上下文中呢方案三倍。首先,我们可以把分数阶微分代数。错误发生在时间维度只归因于布朗的评价积分,此外,这个错误会迅速下降,增加决议见(38]。最后获得的解决方案是一个时间的函数,所以我们可以评估我们的解决方案而不是需要3月。中给出的Grunwald-Letnikov离散化(1)的一个例子呢。所需计算时间很长一段时间的解决方案通过Grunwald-Letnikov离散化是巨大的,由于依赖于每一个时间步的fractionality先于当前时间。此外,每一个时间步产生的截断误差,以便进一步解决游行误差就越大;与之相反,目前方法的误差会随着时间的演变。作为一个观点,如果一个人正在寻求一个解决方案在很短的时间之后,然后呢方案可能更合适。
上面描述的方法和实施是一个直接,因此没有任何迭代计划。因此,融合方案是很难讲的。图6说明了近似解收敛于精确解,获得越来越多的搭配点目前的例子。然而,由于众所周知的切比雪夫搭配方法的现象表现出大量的搭配大舍入错误点,由于有限精度误差积累(42,43),混合的搭配方案不符合任何给定的问题或。
本研究提出了一个数值实验比较标准的有限差分法和切比雪夫搭配法作为一种空间离散化时杂化与拉普拉斯变换。这些方法享受的好处一个精确的变换在时间变量而且允许轻松高效地处理一个分数阶导数,代价是数值拉普拉斯反变换。
这些方法的目的是应用分数阶扩散方程在有限的二维图像域。因此使用离散化是不可避免的,因为初始条件实际上可能是离散的。
离散方程的解是发现通过编写一个二维系统的大小和作为一维系统的大小。虽然这是更多的计算昂贵,它表现出建筑的优雅。另一种方法是实现一个交替方向隐式(ADI)类型方案(46),每个维度是行动而不是一次。
由于拉普拉斯变换是线性算子,这个方法不适合非线性问题,也适用于火焰与分数空间衍生品和部分时间衍生品。
我们展示了拉普拉斯变换相结合的混合方法和空间离散化,可以非常有效地解决二维有限域上线性fpd狄利克雷或诺伊曼边界条件。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者想感谢裁判的言论,提高文章的质量。