文摘
一个存在对称向量拟均衡问题解集的结果,允许不连续。此外,充分条件广义Levitin-Polyak对称向量拟均衡问题的适定性问题。
1。介绍
首次研究了优化问题的适定性问题Tykhonov [11966年)。从那时起,一直延伸到适定性问题的概念不同的优化问题(见[2- - - - - -5])。在书中由Lucchetti和Revalski[编辑6],Loridan做了一个调查,适定性问题的一些理论结果近似解,变分原理在向量优化。首次研究了约束优化问题的适定性问题列维京和波里亚克7]。研究Levitin-Polyak凸标量优化问题的适定性问题功能制约因素来自8]。最近,这种研究扩展到一般约束向量优化问题(9],功能性约束广义变分不等式问题[10),和与功能约束向量平衡问题11]。
2003年,富12]介绍了对称向量拟均衡问题(简称),研究了存在的条件。是一个泛化的平衡问题,提出了布卢姆和Oettli [13),和一个统一的模型的几个问题,例如,向量优化问题,矢量纳什均衡问题,矢量变分不等式、向量互补问题。Farajzadeh [14]认为对称向量拟均衡问题解的存在定理的豪斯多夫拓扑向量空间和傅回答提出的问题12]。在[15),李等人获得结果存在两类广义向量拟均衡问题。张(16]介绍了广义Levitin-Polyak的适定性问题和获得充分条件广义Levitin-Polyak的适定性问题。
在本文中,我们将介绍存在和适定的定理不连续的向量值映射,扩展中相应的结果(12在度量空间)。然后,利用解的存在性定理的条件(SVQEP) (14),我们获得足够的条件广义Levitin-Polyak的适定性问题,改善的结果(16定理4.1)。
本文组织如下。节2,我们提出一些初步的概念。节3,我们存在性定理的证明这允许不连续。节4,得到广义Levitin-Polyak适定的结果。
2。预赛
让和是真实的局部凸豪斯多夫空间,让和非空的子集的和,分别。让是一个真正的豪斯多夫拓扑向量空间和一个封闭的凸和尖锥。
假设是一个非空的子集。一个点被称为最小点的,如果。一个点被称为弱极小点的如果。一个点被称为一个弱的最小点如果。通过,,我们表示集的最小点,弱极小点,和弱的最小点,分别。很明显,。
让是一个非空的子集,让是一个向量值映射。考虑下面的向量值优化问题: 一个点被称为(弱)的最小值如果是一个最小点集(弱极小点);也就是说,每, 所有(弱)解的集合用()。很明显,。
让和是两个,让集值映射是两个向量值映射。傅(12)定义了一个类对称向量拟均衡问题(简称),在于发现这样,, 我们称之为一个解决方案的和表示的解集。平衡问题包含优化问题作为特殊情况(见[17,18])。提出的问题是quasi-optimization的泛化问题Crespi和棕褐色19]。
定义1。让是一个有序拓扑向量空间,让是一个非空的凸子集的一个向量空间,让是一个向量映射。(我) 被称为凸,如果对每一个每,一个 (2) 就是正确的-quasiconvex,如果对每一个和,一个或。(3) 据说是自然吗-quasiconvex上如果,每,,存在这样 (iv) 被称为严格凸,如果对每一个与每,一个
备注2。很明显,每一个严格的凸凸映射,每个凸或适当的-quasiconvex映射是自然的-quasiconvex。一个向量映射凸,不适当的-quasiconvex相反(见[20.])。一个向量映射可能是自然的-quasiconvex但是没有凸,也没有合适的-quasiconvex。
让是一个集值映射。据说是上半(。简称)如果开集存在一个社区的这样 如果是。每一点的,然后据说是。 下半连续(据说是。简称)如果对任何和任何社区的存在一个社区的这样;我们有 据说是。如果是。在每一个点。此外,据说是连续的如果既。和。从[21),我们可以看到低半连续在当且仅当,对于任何和任何净与,有一个网这样和。据说是封闭的图吗,也就是说,,是一个闭集。
让是一个集值映射。一个点被称为集值映射的不动点吗如果。
引理3。让是一个度量空间,让,让是一个序列收敛于在。让和是两个元素这样假设存在两个序列和价值在这样 在哪里和。然后对所有足够大的人。
3所示。存在的结果(SVQEP)
在本节中,我们,,是度量空间,让集和非空的,凸和紧凑的子集,让是一个封闭的,凸尖锥。
定理4。假设(1)
和是连续的,对于每一个,,非空的,闭凸子集;(2)对于任何,对所有,收敛于,下列条件:
(3)对于任何和收敛于这样,存在这样;对于任何和收敛于这样,存在这样;(4)
和紧凑集;(5)对于任何固定,是适当的-quasiconvex在;对于任何固定,是适当的-quasiconvex在。
然后(SVQEP)有一个解决方案。
证明。让我们定义集值映射和通过
类似的证明12第二节定理),一组非空的和凸。我们只需要显示以下。
(我),一组是关闭的。事实上,让一个序列和;我们需要证明。它遵循从的封闭收获那。自
我们有
如果存在这样
从条件,;因此,
从引理3,为足够大。这是一个矛盾。
(2)是南加大。,因为是一个紧集,。由(12,引理),我们只需要表明集值映射是关闭的。让一个序列,和。自和集值映射是连续的,我们有什么。对于任何,因为l.s.c。,there is a sequence,这样。自,我们得到
如果存在这样从(2),
(3)存在这样
由引理3,与(16)。
备注5。显然,如果和是连续映射和条件成立,那么条件,,的定理4持有。下面的例子显示,定理4改善(12第二节。定理)。
例6。假设,,,让和被定义为和,分别。对所有,让
很明显,映射和不是连续的,而是所有定理的条件吗4持有。
此外,让;我们可以从[23引理2.2],映射和是自然的-quasiconvex但不是demicontinuous(见[14定义2.4])。因此,定理4不同于(14定理3.1)。
4所示。(SVQEP)的适定性问题
在本节中,我们讨论的概念广义Levitin-Polyak的适定性问题。
定义7。一个序列被称为Levitin-Polyak近似解序列(总之LP序列)如果存在与这样
定义8。这个问题据说是广义Levitin-Polyak适定(总之LP适定的)(我) ;(2)对于每个LP序列存在子序列和一个元素这样。
让我们说明的概念广义LP的适定性问题一些例子。
示例9。让,,。对所有,让和。集值映射和是由;广义LP适定的。
示例10。让,,。对所有,让和。集值映射和是由和;不是广义LP适定的。
备注11。(我)广义LP的适定性问题意味着一组紧凑。
(2)很容易发现的适定性问题的概念概括的概念中引入广义LP向量均衡问题的适定性问题[20.]。
定理12。让与。假设下的定理4,广义LP适定的。
证明。让与和 自是连续和compact-valued存在子序列和一个元素这样。如果存在,这样从定理4(二), 从定理4(3)存在这样 由引理3, 当足够大,这是一个矛盾。因此, 同样的, 从定义7,广义LP适定的。
定义(见[1323])。让是一个拓扑空间,让是一个拓扑向量空间。一个函数据说demicontinuous如果 是封闭的为每一个封闭的半空间。
引理14(见[23])。让是一个拓扑空间,一个拓扑向量空间,一个demicontinuous函数。然后对任何复合函数是连续的,拓扑的对偶空间吗。
让是一个封闭的凸和尖锥和 由(24定理2],p。165年,存在这样 我们得到。
引理15。如果对所有,然后。
证明。如果我们假设存在这样对所有,那么我们就有 如果没有,存在,,这样。因此, 这是一个矛盾。因此,(30.)持有。由(24定理2],p。165年,存在这样,, 和所有, 然后,和。然而,这矛盾的事实对所有。
定理16。假设(1)
和是连续的,对于每一个,,非空的,闭凸子集;(2)
demicontinuous;(3)对于任何固定,是自然的-quasiconvex在;对于任何固定,是自然的-quasiconvex在。
然后广义LP适定的。
证明。从[14定理3.1),。让与和
自是连续和compact-valued存在子序列和一个元素这样。如果存在,这样
对所有,我们有
然后,
自l.s.c.在,存在这样。由引理14,当足够大。由引理15,
这与(34)。因此,广义LP适定的。
让是一个闭集,让,考虑一个锥被关闭,凸尖,非空的内部。我们考虑下面的向量优化问题。 找到这样
由于定理16,我们有以下适定的解决方案的结果。
推论17。让是一个紧集,让是demicontinuous和自然-quasiconvex上。然后,广义LP适定的。
评论18。(我)的话2,每一个严格的凸映射是自然的-quasiconvex。然后定理16改善(16定理4.1)。
(2)从[23,引理),每一个自然-quasiconvex函数-quasiconvex。假设的是连续的,必然的17是一个特例的18定理4.2)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢匿名裁判对他/她有价值的意见和建议,帮助改善。这项工作由基础研究基金支持中央大学(JBK130401),由教育部人文社会科学项目(14 xjc),四川省和软科学研究项目(2014 zr0027)。