文摘

我们考虑一类二维非线性动态系统与强迫项的时间尺度并获得充分条件的所有解决方案系统的振荡。我们的结果不仅统一二维微分系统和差分系统的振荡也提高振荡的结果建立了猎隼,2005年,由于我们的结果是不受限制的情况对所有和。给出一些例子来说明结果。

1。介绍

让是一个时间范围,也就是说,一个非空的封闭的子集,这是无界的。本文是关于二维动态系统 在。我们假设这很方便让并定义时间刻度值。对于系统(1),我们假设以下。 ,,。 是不减少的函数符号属性和,尽管。 。

振动和振动问题的二阶动力学方程在时间尺度上已经成为一个重要的研究领域为各种应用程序由于其巨大的潜力。我们参考读者最近的论文(1- - - - - -3)和引用。这是一个有趣的问题将振动标准二阶动力学方程扩展到二维动态系统。

系统(1)包括二维线性和非线性微分和差分系统,在文献调查;见,例如,(4,5)和引用。的一种特殊情况(1),当系统(1可以减少) 振动的振动和一些作者获得的结果;见,例如,(6- - - - - -8)和引用。当,尽管和系统(1)可以减少到一个单一的动力学方程 的振荡行为调查;见,例如,(9,10)和参考引用。

然而,我们所知,很少有处理结果解的强迫振动的时间尺度上的动态系统。出于[4,5,11),我们将考虑系统的振动特性(1),建立一些振荡系统(标准1摘要)。我们的结果不仅统一二维微分系统和差分系统的振荡也提高振荡的结果所建立的猎隼[9),因为我们的研究结果是不受限制的情况,尽管和。

本文的其余部分组织如下。部分2包含一些有关时间尺度的基本定义和必要的结果。节3,我们介绍一些有用的前题。节4,我们现在和证明的主要结果。示例说明所得结果的正确性。

2。初步

出于完整性的考虑,我们记得以下概念和结果关于时间尺度,将用于续集。可以找到更多的细节在12- - - - - -14]。

向前和向后跳转运营商定义的 在哪里和,在那里表示空集,一个点被称为left-dense如果和,right-dense如果和,left-scattered如果,right-scattered如果。一个函数据说rd-continuous如果它是连续的在每一个right-dense点和左极限存在在每一个left-dense点。所有这类的集合rd-continuous功能用。微粒态函数对于一个时间尺度被定义为,对于任何函数的符号表示。

让

引理1。假设是可微的和。然后,是可微的和

引理2。如果和,然后

引理3(链式法则)。假设是连续可微的,三角洲可微的;然后是可微的,

3所示。一些基本的前题

一个解决方案(1)据说是可持续的如果它存在于整个区间。一个可持续的非平凡解是振荡,都是振荡。一个组件(或)的一个解决方案据说是振荡当且仅当吗(或)最终最终既不积极也不消极。注意,如果的振荡之前的。此外,我们观察到替换,变换(1)到系统 在哪里,,,。的函数和受强加的条件吗和。因此,我们限制我们的讨论的情况是正的。为了证明我们的结果,我们需要下面的前题。

引理4。假设和持有。如果是一个系统的非振动解的解决方案(1),那么该组件也非。

证明。假设是一个解决方案(1),振荡,但是建立。不失一般性,我们在。针对第一个方程的系统(1),和,我们有在。因此,或对于所有大在,导致矛盾。

引理5。假设条件下和举行,让表示系统的建立解决方案(1)间隔,,对所有;此外,让。如果存在一个正的常数这样 的函数被定义为 然后

证明。从第二个方程(1)和引理3,我们获得 由(10)和(11),我们有 自 它遵循从那和,尽管。
把 然后 针对,我们有 这意味着 自 在哪里满足 使用非线性版本的比较定理在时间尺度13推论6.12) 因此, 的前题1和3,我们获得 然后,我们得到,。因此, 完成证明。

4所示。主要结果

为简单起见,我们列出的条件中使用的主要结果

对于每一个和足够小,

定理6。假设,(26)和(27)举行。然后,每一个解决方案的系统(1)振荡。

证明。假设系统(1)有一个非振动解在。由引理4,我们知道是建立在。不失一般性,我们可以假设,尽管。针对和(26),存在和,这样,因为。通过,我们有 在哪里是一种有限的正的常数。鉴于(27)和(30.),存在一个足够大,这样(10)是满意的。应用引理5,我们获得 自不减少的,我们有什么 结合上面的不平等来,我们得到作为,这是一个矛盾。证明已经完成。

例7。考虑到系统 在哪里。

让,,,。自 系统振荡的定理6。事实上, 就是这样一个振荡的解决方案。

定理8。假设,(26),(28)和(29日)举行。进一步假设 对于每一个。然后,系统(1)振荡,如果 对于一些。

证明。假设系统(1)有一个非振动解在。由引理4,我们知道是建立在。不失一般性,我们可以假设对所有。针对和(26),存在和这样,因为。
见引理的证明5,我们有 请注意, 否则,(11为正数)是有效的。然后,通过引理5,我们有,尽管。因此, 持有,及其随后的矛盾。现在是 在哪里 我们现在证明。事实上,如果,然后(28),(30.)和(39),分别暗示 由(43),(44)和(45),我们有 然后,通过引理5,让;我们有,尽管。因此, 持有,及其随后的矛盾。鉴于(41),,我们有 对于所有大,在那里。为了方便起见,我们 对于所有大;然后在视图的(29日), 因此,通过(36),我们有 然而, 相反(37)。完成证明。

备注9。定理6和8扩展和改进的一些结果2- - - - - -5,9]。

示例10。考虑到系统 为。
在这里,,,,,。很容易看到满足条件的定理8, 因此,它遵循从定理8系统(1)振荡。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这个项目是由NSF山东(ZR2013AL011)。