文摘
我们将演示再生核希尔伯特空间的效率方法seventh-order满足边界条件的边值问题。这些结果与结果相比,通过变分迭代法(VIM),同伦摄动法(HPM) Adomian分解方法(ADM),变化参数方法(VPM),和同伦分析方法(火腿)。结果表明,我们的方法是非常有效的。
1。介绍
考虑seventh-order边值问题(1- - - - - -5]: 与边界条件 seventh-order微分方程的解析解很少存在于文学。然而,有各种数值方法的解决方案(1)- (2)。这项工作的目标是应用再生核希尔伯特空间方法(RKHSM) [6- - - - - -28解决seventh-order边值问题。seventh-order边值问题的数值结果已经通过这种方法在我们的工作。这项研究表明,该方法可以被视为一种技术求解线性和非线性问题在科学和工程29日- - - - - -31日]。
本文组织如下。部分2介绍了几种复制内核空间。我们提供的主要结果和精确和近似的解决方案(1)- (2节)3。我们已经证明了近似解收敛于精确解一致。一些数值试验说明部分4。在上一节中有一些结论。
2。复制内核空间
在本节中,我们定义了一些有用的复制内核空间。
定义1。我们定义的空间通过 内积和规范分别定义 的空间是一个内核空间及其繁殖复制内核函数是由
定义2。我们定义的空间通过以下: 内积和规范分别定义 的空间是一个复制内核空间;也就是说,对于每个固定的和任何存在一个函数这样
定理3。的空间再生核希尔伯特空间的再生核函数是由 在哪里和可以获得枫叶16和定理的证明吗3附录中给出了。
3所示。精确和近似解(1)- (2)
解决方案(1)- (2)在复制内核空间。线性算子 是有界的。均质化边界条件后,我们获得 我们选择一个可数稠密子集在,让 在哪里是共轭算子的和是由(5)。此外,为简单起见让;也就是说, 现在人们可以推断出下面的前题。
引理4。 完成系统的。
证明。为,让;也就是说, 请注意,中设置的密度吗;因此,。由此可见,存在的。
引理5。下面的公式是: 其中下标的运营商表明运营商适用于函数。
证明。考虑以下: 这就完成了证明。
注6。正交系统的可以从gram - schmidt正交化过程, 在哪里是正交系数。
在下面,我们将给出精确解的表示(11在复制内核空间)。
定理7。如果的精确解(11),然后 在哪里一套密集在吗。
证明。从(17)和独特的解决方案(11),我们有 这就完成了证明。
现在的近似解可以通过删除吗术语的精确解作为
引理8。假设的解决方案(11),是近似解之间的误差和精确解。然后误差序列是单调递减的感觉吗和。
证明。从(18)和(20.),我们得到 因此 除了 然后,是单调递减的。
备注9。seventh-order边界值问题在建筑工程出来,梁柱理论,化学反应。因此seventh-order边值问题的解决方案在文献中是非常重要的。seventh-order复制内核函数边值问题还没有计算到现在。所有的计算都是由枫16。RKHSM不需要离散化的变量,也就是说,时间和空间,它不受计算影响舍入错误和不面临着大型计算机内存和时间的必要性。的准确性RKHSM seventh-order边值问题的控制与当前选择的绝对误差很小(见表1- - - - - -6和数字1- - - - - -6)。所得数值结果证明这种方法的优势。我们转换了同质化的边界条件的例子。此外,我们改进了我们的项目找到数值的结果。如表所示1,3,5所有计算结果都在很短的时间内找到。
4所示。数值结果
在本节中,提供三个数值例子显示本方法的准确性。
示例10。我们首先考虑seventh-order非线性边值问题:
确切的解决方案(24)是(1]
均质化后的边界条件(24),我们得到
我们使用以下转变:
使用这个例子中,我们获得的RKHSM表1- - - - - -2和数字1- - - - - -2。
例11。我们现在考虑seventh-order线性BVP
确切的解决方案(28)是(3]
均质化后的边界条件(28),我们得到
下面,我们使用转换
使用RKHSM这个例子中,我们得到表3- - - - - -4和数字3- - - - - -4。
示例12。考虑以下seventh-order非线性BVP
确切的解决方案(32)是(3]
均质化后的边界条件(32),我们有
我们使用以下转变:
使用RKHSM这个例子中,我们得到表5- - - - - -6和数字1- - - - - -6。
的话13。我们选择使用我们的方法点。在表中1- - - - - -6,我们计算绝对错误在点。RKHSM测试三个问题,一个线性和两个非线性。比较与VIM (1],HPM [2],ADM [3],VPM [4),和火腿5)是见过,目前的方法产生好的结果(见表1- - - - - -6和数字1- - - - - -6)。
5。结论
在本文中,我们介绍了一个算法求解的seventh-order问题边界条件。出于演示目的,我们选择三个例子的选择显示了计算精度。这可能得出的结论是,RKHSM非常强大和有效的找到广大类边值问题的精确解。目前的方法得到的近似解是一致收敛。显然,级数解的方法可以应用到更复杂的非线性微分方程边值问题。然而,如果问题是非线性,RKHSM不需要离散化或扰动,它不会让关闭近似。算例的结果表明,本方法是一种准确、可靠seventh-order边值问题的分析方法。
附录
定理的证明3。让。通过定义2我们有 通过几个分部集成(. 1)我们有 注意,属性复制内核的 现在,如果 然后(a .)意味着 当,然后 因此 自 我们有 自,接下去 从(各)- (A.10),未知系数和可以获得。这就完成了证明。
信息披露
本文是一个阿里Akgul博士论文的一部分。
利益冲突
作者宣称他们没有任何竞争和利益冲突。