文摘

对于两种非线性约束优化问题,我们提出了两个简单的惩罚函数,分别通过增加原始问题的维数与一个变量控制的重量处罚条款。两个点球享受改进的光滑函数。在较弱的条件下,它可以证明我们的惩罚函数都是准确的,当地的解相关的处罚问题正是当地原约束问题的解。

1。介绍

罚函数总是一个重要的角色在解决多约束优化问题在工业设计和管理科学等领域。是传统的构造来解决非线性程序通过添加一些处罚或障碍方面的约束目标函数或对应的拉格朗日函数。然后它可以被一些无约束优化或有界约束优化软件或序贯二次规划(SQP)方法。不管采用什么样的技术,罚函数总是取决于一些参数或大参数。作为;罚函数的最小值,如一个障碍函数或二次罚函数(1),收敛于原问题的最小值。通过使用一些如精确罚函数罚函数(见[2- - - - - -7]),得到相应的处罚问题必须得到原问题是足够小。有一些非光滑惩罚函数非光滑优化问题,如使用距离函数的非光滑精确罚函数变分不等式问题在希尔伯特空间8]。在[9),低阶的收敛约束的具体处罚标量集值优化问题给出足够的条件下很容易验证。

传统的精确罚函数(3总是非光滑。当它作为价值函数接受一个新的迭代一个SQP方法,这可能导致Maratos效应(10]。另一方面,传统的光滑的罚函数,如二次不能精确罚函数。所以我们必须计算最小化子问题的序列。当时,病态点球时可能发生参数太大或小,也计算带来困难。在[11,12),一些类型的增广拉格朗日代价函数提出了改善强条件下精确。在[13),精确罚函数通过正则化函数变分不等式的差距也被赋予。在[14),作者研究精确和客观的罚函数的不等式约束优化算法。所有这些功能享受一些平滑,但是在刚开始的时候,使用这个平滑我们需要问题的二阶或三阶导数信息功能,在实践中是很难估计的。除此之外,上述所有类型的惩罚函数(见[11,15- - - - - -18]总结)可能是无界甚至低于有界约束问题时,可能使其难以找到一个最小值。

大多数文献的结果具体处罚主要是关心找到条件约束优化问题的一个解决方案是一个无约束惩罚优化问题的解决方案,和反向产权很少研究。在[19),作者研究了反向的财产。本文提出了两个改进简单的精确罚函数两种约束非线性规划问题,这一术语简单的意味着罚函数构造原始变量空间中只包含原始信息的目标函数和约束函数约束优化问题,但不包含他们的差异和乘数的信息。这种传统的精确罚函数可以表示成如下形式: 在哪里满足,,如果是可行的,否则。一个简单的这种精确罚函数罚函数,众所周知,这个罚函数非光滑。没有乘数得到的惩罚函数(12,17,20.,21]。在较弱的条件下,这些惩罚函数被证实是准确的和光滑;然而,因为它们包含的信息差异的目标函数和约束函数约束优化问题,他们不是简单的由我们的定义。在[22),一个新的精确罚函数构造通过添加一个新的有限维甚至一维决策变量来控制处罚条款。在温和的条件下,证明了足够大的惩罚参数,每一个局部最小值上述罚款问题,有限的罚函数值的形式,在那里是一个局部最小值的问题。

受这种思想的启发,本文通过增加程序的尺寸一个变量,我们提出一个简单的平等的精确罚函数约束的数学程序和一个简单的确切barrier-penalty函数不等式约束的数学程序,分别。我们新的平等罚函数约束的数学程序不同于一个在22]以来,在[22),作为变量由函数控制的属性,,不需要的功能。在[22),构造罚函数的不等式约束的数学程序,必须转换为原始优化问题是一个等式约束问题。不等式约束的数学程序,我们提出一种新的简单的日志类型barrier-penalty函数,这是不同于古典log-barrier功能和更广泛的可行域。

2。一个修改简单精确罚函数等式约束优化问题

现在我们准备提出一个简单的平等精确罚函数约束的数学程序。

我们考虑以下问题: 在哪里是一个有界开集的维欧氏空间和和都是连续可微的。我们假设是有界的下面。

然后我们考虑一种新的罚函数如下: 在哪里是一种新的一维变量,是违反约束措施,三个整数,,都是偶数,是一个惩罚参数。特别是,我们可以设置,。是一个预设变量,例如,我们可以设置吗。与文献[22,23),这里我们摆脱限制是有界的,积极的。

基于函数(3问题),我们建立如下处罚:

让表示的梯度在,那么我们就有

在下面我们认为罚函数的光滑性。

为,如果,,然后 如果,然后 很明显,是连续可微的准备好了吗。

我们现在讨论的精确罚函数。

定理1。假设满足,是惩罚的局部最小值问题与有限的,对于任何,,当,一个和,如果满秩,那么,,。

证明。因为对于任何,的局部最小值吗与有限的,,那么我们就有,也就是说, 方程(9)等价于
让我们知道,从假设,,如果由上面的平等,那么,我们知道第一和第二项左边都是有限值,和第三项往往。这是不可能的,所以。
此外,由(8)我们知道 让,从和,接下去 自满秩,它遵循了吗和;这就完成了证明。

定理2。假设为,如果存在一个序列令人满意的,,在那里是当地的处罚问题的解的集合和满秩,是严格递增序列和是有限的,那么存在呢这样,当, 在哪里是局部解的集合(2)。

证明。我们首先证明存在一个足够大这样,当,。如果不是这样,那么存在的子序列,可仍然是不失一般性,这样对于每个,的局部最小值吗与有限的,,当,我们有和。由(9)我们知道 然后我们有 因此, 然后我们可以得到 由定理1,我们知道什么时候,,。从假设我们知道,左边第三项(17)往往第二项趋于0,因此我们有 让,,很明显,;不失一般性,我们假设,然后。
此外,由(8)我们知道 让,然后由,,我们获得 自是满秩的,然后,这导致矛盾,所以存在一个这样,当,。自是有限的,那么的定义我们有 再一次的定义存在一个社区的,足够小,这样在令人满意的,我们有 因此。

它显示了从定理1和2在某些约束资格条件,当地的处罚问题的最小值对应于一个局部最小值的原始问题,因此我们对平等的罚函数约束的数学程序喜欢精确。

3所示。一个新的简单精确Barrier-Penalty函数不等式约束优化问题

我们现在来构造一个类简单的光滑精确罚函数的不等式约束优化问题: 在哪里,都是连续可微的函数。在本节中,我们假设是一个非空的和有界集。22],作者将不等式约束问题转换为一种平等的约束优化问题,通过添加一些参数来控制约束。在本节中,我们将给出一个新的平滑和精确barrier-penalty功能。

对于问题(23),经典的屏障功能 在哪里是一个参数。相应的问题 因为构造一个空腔壁的边界点满足,上述问题相当于以下问题: 所以操作集是内政的,这意味着内点方法需要一个严格的内部点为一个原始点。

在本节中,我们的罚函数是由增加一个变量。问题(23)等价于 考虑以下罚函数: 在哪里,是一个惩罚参数。罚函数是一个类的对数barrier-penalty功能,操作组可以放大为一组,其中包含原问题的可行域。

如果,,然后 如果,,然后 很明显连续可微的一组吗,在那里是一个常数。

考虑相应的罚函数 假设是一个有界集;问题相当于

在下面我们将讨论的精确罚函数。

定理3。如果存在一个序列让人满意的原因:(1) ,是有限的,是一组本地解,(2) ,当,,,(3)EMFCQ条件(扩展Mangasarian-Fromovitz约束条件)是满意的;也就是说,存在一个向量这样 在哪里 然后我们有,。

证明。我们的假设, 对于任何,是当地一个优化的,是有限的,那么对于任何我们有, 和当且仅当。
假设,然后由(37),当这一事实,我们有, 因为是有界的,,所以是有界的。当,我们有 自至少,存在这样,当, 因此 让是一组这样的索引。然后由(36)的有界性,我们有任何, 当;所以 这与假设EMFCQ是满意的。因此。通过,,那么我们就有 也就是说,。

定理4。假设是一个有界集,存在一个序列这样,在那里是局部解的集合,EMFCQ满意,是一个增序列,是有限的,那么存在一个足够大的这样,当, 在哪里是局部解的集合。

证明。我们首先证明存在一个足够大这样,。如果不是这样,那么存在的子序列;这里我们假设不失一般性子序列,这样吗,,是有限的,当,。然后从定理3,接下去 由(37), 定理的证明3,上述结果与假设矛盾EMFCQ条件满足。因此存在一个足够大这样,因为。
因为对于任何,是有限的,那么的定义, 然后定义的存在一个社区的,在那里是足够小,这样对吗, 因此。

这是定理所示4一些约束条件情况下,局部最小值对应的局部最小值的原始问题的惩罚参数是足够大,因此,罚函数(28)是一种精确罚函数。自罚函数(28)是一个罚函数的一个障碍,因此对问题(23),我们仍然可以应用内部的方法。注意,我们可以使用一个内部点与原始点,。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突在他们提交的论文。

确认

作者希望感谢匿名裁判的努力和有价值的评论。作者还要感谢张教授弋阳县对于一些非常有用的评论的初步版本。这项研究得到了国家自然科学基金资助下的中国11271233和11101248,山东省自然科学基金资助下ZR2012AM016,和4041 - 409012年山东科技大学的基础。