文摘
接种疫苗是最有效的措施之一,抑制计算机病毒的传播,和双线性发生率假设对于大多数先前的模型,这是一个好的第一近似的发病率,在分歧与现实。在本文中,一个新的动力学模型与两种通用的非线性概率(发病率和疫苗接种的概率)。一个详尽的数学分析模型表明,(a)有两个平衡,均衡和病毒均无毒化,(b)(或病毒)无毒化均衡是全局渐近稳定,基本繁殖数量不如统一(或更大)。分析的基本繁殖数量也包括在内。此外,给出了一些数值例子来说明的主要结果,从中可以看出通用非线性接种有助于加强计算机安全。
1。介绍
建立合理的动力学模型底层计算机病毒的传播机制是一个重要的问题在计算机安全学中,可以抵御病毒传播给重要的见解。由科恩(自开创性的工作1和莫里2)以及Kephart和白色(3),各种传播模型,如susceptible-infected-susceptible (SIS)模型(4,5),susceptible-infected-recovered(先生)模型(6,7),susceptible-infected-recovered-susceptible (SIRS)模型(8- - - - - -13),susceptible-exposed-infected-removed(西)模型(14,15),susceptible-exposed-infected-quarantined-recovered-susceptible (SEIQRS)模型(16),susceptible-antidotal-infectious-contaminated (SAIC)模型(17),susceptible-antidotal-infected-removed (SAIR)模型(18),susceptible-latent-breaking-susceptible (slb)模型(19,20.),susceptible-latent-breaking-recovered-susceptible (SLBRS)模型(21),susceptible-infected-countermeasure-susceptible(中心)模型(22],susceptible-infected-external-susceptible (sy)模型(23- - - - - -25),被广泛开发。
疫苗接种(即。,the measure that an uninfected computer has the newest-version antivirus software installed) plays an important role in repressing computer virus, by which a susceptible computer would have temporary immunity. The fact that a large number of susceptible computers are infected would enhance the probability that the user of a susceptible computer has his/her computer vaccinated, implying that vaccination probability is related to the number of infected computers. Indeed, Gan et al. [9,11)先生们最近调查了两种模型,通过融合一个线性或非线性接种疫苗(即概率。,the probability that a susceptible computer gets vaccinated is linear or nonlinear in the number of currently infected computers). Unfortunately, the bilinear incidence rate assumption for these two models, which is a good first approximation of the general incidence rate, is inconsistent with the actual conditions [10]。在现实中,拥挤的被感染的电脑和主动保护措施将使这个近似非常失败。因此,值得探索与通用的非线性动力学模型接种概率下更合理的假设。
有这个想法,在本文中,一个新的动力学模型与通用计算机病毒提出了非线性接种概率和非线性发生率。提供一个详细的研究模型。具体来说,基本的繁殖数量(即。,the average number of secondary infections produced by a single infected computer during its life time),、确定无病毒(病毒)均衡是全局渐近稳定(或),这意味着计算机病毒会灭绝或持续的价值。的相关分析也进行了。此外,一些数值例子进行说明的主要结果,从中可以看出通用非线性接种有助于抑制计算机病毒扩散。
剩下的纸是组织如下。部分2制定的新模型。部分3证明了全球稳定性无病毒和病毒的平衡。参数分析的基本繁殖数量执行4。最后,部分5总结了这项工作。
2。模型公式
像往常一样,电脑是内部(即。在互联网上)或外部(即。外,互联网)。此外,一个内部计算机被认为是三种状态之一:敏感(即。未受感染的但不是免疫),感染,和恢复(即。、感染和免疫)。
现在,让我们介绍一些符号如下,将采用续集: :敏感的内部电脑的平均数量, :感染的内部电脑的平均数量, :恢复内部电脑的平均数量, :内部电脑的平均数量;也就是说,。
为简便起见,我们,,,代表,,,,分别。
以下新模型的基本假设。(A1)外部电脑进入互联网,其中的一小部分(职责。(职责)是敏感。、免疫)。(A2)每个内部电脑离开互联网单位时间的概率。(A3)每一个敏感的内部计算机被感染内部电脑单位时间的概率,在那里;函数是连续可微的和。(A4)由于治疗,感染每一个内部计算机成为恢复(分别地。每单位时间敏感)的概率(职责。)。(A5)由于接种疫苗,每一个敏感的内部计算机获得临时免疫概率单位时间,在那里;函数是连续可微的和。(A6)每单位时间内恢复内部计算机失去免疫力的概率。
这组假设可以示意图如图1从哪一个可以推导出微分系统 与初始条件。
3所示。模型分析
这部分是致力于研究模型(1)理论。这个模型的分析包括基本的繁殖数量,平衡的存在,他们的全局稳定性。
3.1。基本的繁殖数量
采用新一代方法(参见[26])模型(1),基本的繁殖数量可以派生
3.2。平衡
很明显,系统(1总是有一个独特的平衡无毒化,在那里 接下来,让我们检查病毒平衡的存在。以下结果。
引理1。系统(1)有一个独特的病毒平衡如果。
证明。所有病毒的平衡系统(1)是由下列方程组: 在哪里。可以得到简化 第一个方程用最后两个方程,可以获得 请注意,,。然后, 因此,函数有一个独特的积极零。证明已经完成。
为了方便起见,在接下来我们将调查下面的等效系统的模型(1)。考虑 与初始条件。显然,集 对系统(积极不变8)。
3.3。无毒化全球稳定的平衡
定理2。 是全局渐近稳定如果。
证明。让,;然后,系统(8)可以写成 考虑李雅普诺夫函数: 然后, 当且仅当;也就是说,。因此,声称结果遵循从拉萨尔不变的原则27]。
备注3。定理2意味着计算机病毒在互联网上可能会灭绝,当基本的繁殖数量小于或等于团结。
例4。考虑系统(1),,,,,,,,,,。然后,。图2(一个)显示的时间情节,,的初始条件,图2 (b)展示了系统的相图1),都符合定理2和评论3。
| (一)时间的情节, |
(b)相图对系统(1)
3.4。病毒的全球稳定平衡
首先,让我们考虑下面的引理。
引理5。假设。为,让 然后,。此外,当且仅当。
证明。在这里,我们只会证明的结果。剩下的五个函数的证明是相似的。它遵循从那减少在和增加。作为,声称的结果。
现在,让我们探讨病毒的全球稳定平衡。
定理6。 是全局渐近稳定如果。
证明。让,。重写系统(8), 考虑李雅普诺夫函数: 然后, 当且仅当;也就是说,。因此,声称结果遵循从拉萨尔不变的原则27]。
注7。定理6意味着计算机病毒在互联网上倾向于坚持当基本繁殖数量大于团结。
示例8。考虑系统(1),,,,,,,,,,。然后,。图3(一个)演示了块的时间,的初始条件,图3 (b)展品的相图系统(1根据定理)6和评论7。
| (一)时间的情节,, |
(b)相图对系统(1)
4所示。讨论
讲话3和7在互联网上告诉我们这样一个事实:计算机病毒会灭绝或者持续的价值基本繁殖数量。所以,分析执行。
定理9。考虑(2)。然后,,,,,,。
证明。很容易看到,前四个是真实的不平等现象。考虑 证明已经完成。
此外,系统参数的影响(例如,,)说明在图4,5,6在一致性定理9。
此外,下面的例子表明不同的发病率和疫苗接种的影响概率(见图7)。
示例10。考虑系统(1),,,和初始条件。
5。结论
本文研究了计算机病毒的长期行为的一种新的传播模式与一般非线性发病率和非线性接种概率。精心的分析模型,包括基本的繁殖数量,无病毒和病毒平衡的存在,和他们进行了全局稳定性,但从它在互联网上发现计算机病毒会灭绝或者持续的价值基本繁殖数量。为了说明获得的主要结果,检查了一些数值例子,可以看出通用非线性疫苗接种是有用的抑制病毒传播。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢匿名评论者对他们有价值的建议,本文的质量有了很大的提高。支持这项工作由中国自然科学基金(批准号11347150和11347150),中国的博士教育部门的基础(批准号20110191110022)。