文摘
探讨nonconvolution等效分布下的有缺陷的更新方程类。有缺陷的渐近解更新方程给出了重尾分布和light-tailed情况下,分别。
1。介绍
本文将考虑缺陷更新方程 在哪里是一个适当的分布,是一个已知的和局部有界函数,。唯一的解决办法(1)是由 在哪里 (见例如Asmussen [1第五章])是倍的卷积与本身,,,是分布退化为零。
因为在大多数情况下是不容易计算(2),更关注的渐近解。当渐近的已被许多研究人员调查,如Embrechts et al。2],Embrechts和戈尔迪[3],克莱恩(4]。Asmussen [5)和Asmussen et al。6考虑的情况是一个subexponential密度。阴和赵7)获得的渐近为单调函数。对于上述情况,k . Wang和y王(8给当地的渐近。崔et al。9)被认为是一个新的情况 在哪里是一个积极的常数。推论5.1和定理5.2的崔et al。9),他们得到了渐近条件下,和对于一些与,分别。的类和这些分布类的定义,(下面)是卷积等价分布类。但除了卷积等价分布类,存在一些其他发行版。如何估计的渐近解nonconvolution等效分布将是一个有趣的问题。本文将调查这个案件。条件下(4),可能不属于卷积等价分布类,本文获得的渐近解。为了更好地说明我们的动机和结果,我们会介绍一些概念和符号。
没有特别声明,本文作为一个限制。对两个非负函数和,我们写如果,写如果,写如果,写如果 。一个适当的分配在的尾巴是。对于一个实数,表示生成的函数。
首先,我们将介绍一些重尾分布和light-tailed分布类。说一个随机变量(r.v)。(或其相应的分布如果所有)是重尾分布,;否则,说它是light-tailed。让是一个分布。说的分布属于类对于一些,如果任何, ,当和是一个晶格分布,和都是作为一个晶格的多个步骤。说的分布属于类对于一些,如果,, 类,称为卷积等价分布类,并介绍了由[10)和Chover et al。11,12)的分布和pak [13)的分布。特别是,我们叫和subexponential分布类和长尾分布类,用和,分别。
本文将主要分布调查此案可能不是卷积等价的。我们将介绍另一个分布类。说的分布属于类,如果足够大的和 显然,如果对于一些然后。因此,对于每一个,。如果对于一些然后,可以通过引理2.4 Embrechts和戈尔迪3)和定理1.1和1.2的et al。14]。类首先引入了Kluppelberg [15),详细研究了Kluppelberg和学校16),志和渡边17],渡边和Yamamura [18林),和王19),杨和王20.王,et al。21),等等。本文将考虑的情况,。如前所述,王et al。21),为每个,和类非空的。
我们第一次呈现的主要结果重尾分布情况。
备注2。如果然后定理1的克莱因(4]。因此,。定理的结果1意味着 推论5.1 (ii)的崔et al。9]。
在下面,我们给light-tailed案件的结果。
定理3。更新方程(1),假设(4)持有。如果对于一些令人满意的和,然后 在哪里
备注4。如果对于一些由定理1,克莱恩(4),然后和。因此,。然后我们可以获得从定理3那 这是定理5.2(2)崔et al。9]。
2。定理的证明
之前给的证明定理1和3,我们首先给出一些前题。第一个引理来自引理2.2 Yu和王22),这将需要以下符号。为一个分布在和任何,定义
引理5。假设是一个分布和属于类对于一些。然后对任何,
引理6。随机的总和(3),假设对于一些。当,让;当,让和。然后,
证明。我们首先证明(15)。让是一个随机变数分布。当由于是重尾分布和杰尼索夫骑兵连的是light-tailed,由定理2 et al。23),它认为
当由于存在这样
由定理1.2余et al。14),它认为
另一方面,通过费托pak的引理和引理5.413),我们有
这就完成的证明(15)。
现在我们证明(16)。自为和为,存在这样,对于,
因此,Yu的推论1和王(22),我们得到和(16)持有。
定理的证明1。自,我们得到由引理6。对于任何固定正的常数,当是足够大的,我们得到了什么
由(4),,我们得到
因此,
为,因为,通过和引理6,它认为,
为,我们首先估计的渐近
因为首先让然后让。对于任何,它认为,
自,我们有
因此,意味着
,结合(4)和引理6收益率,
因此,(8可以通过()22)- (25)和(30.)。
定理的证明3。它遵循从引理6和那。采取,当是足够大的,我们得到了什么 由(4),,我们有 由(4),前题5和6,它认为, 为利用引理6和处理的方式在定理5.2的崔et al。9),我们可以得到 因此,(10可以通过()31日)- (34)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢编辑和裁判的非常有价值的论文的评论,表示已得到改进。这项工作是由中国国家自然科学基金的支持,田元(没有基础。11226211),江苏省自然科学基金(没有。BK2012165)、中国博士后科学基金会(没有。2012 m520963), SUST研究基金会。