文摘

病毒动力学模型与物流功能、通用函数,发病率和治愈率。通过数学分析,我们表明,无感染平衡是全局渐近稳定,如果基本的繁殖数量。如果,那么感染平衡下是全局渐近稳定的一些假设。此外,我们也获得的条件模型存在一个轨道渐近稳定周期解。例子是提供给支持我们的分析结论。

1。介绍

数学模型已被证明有价值的理解病毒动力学。基本的病毒感染模型提出了诺瓦克et al。1,2在以下形式: 在哪里,,表示未受感染的细胞,感染细胞,分别和免费的病毒颗粒。未感染的细胞产生在一个常数和死在。被感染的细胞产生细胞无毒性和免费的病毒和死在。免费病毒从被感染的细胞产生率和下降率。

发病率函数模型(1)是基于质量作用定律。然而,许多研究人员认为,双线性发生率功能不足以在感染过程的详细描述,并提出了一些非线性发病率功能。例如,李和马3)被认为是hiv - 1模型与温和II型函数。分钟et al。4)被认为是乙肝病毒发病率与标准函数模型。Elaiw [5)被认为是病毒动力学模型与发病率更一般的非线性函数,满足一些条件。

当乙肝病毒感染细胞,感染细胞也可能恢复到未受感染的状态失去所有共价闭合环状DNA (cccDNA)从他们的核6]。乙型肝炎病毒感染模型使用模型包括cytokine-mediated感染细胞的“治愈”7- - - - - -9]。王等人。10)被认为是一种改进的乙肝病毒模型与标准发生率功能和治愈率。根据病毒学基础中(11),当一个艾滋病毒进入休息t细胞,病毒RNA可能不是完全反向转录成DNA。如果细胞激活感染后不久,逆转录可以继续完成。然而,未整合的病毒在静息细胞可能存在衰减随时间和部分DNA转录是不稳定和迅速降低12]。因此休息感染细胞的比例可以恢复到未受感染的状态(13]。最近,周et al。14)被认为是HIV感染的模型t细胞与双线性发生率功能和治愈率。Hattaf et al。15)被认为是病毒动力学模型与一般发生率功能和治愈率。然而,田和刘16)指出,主要结果的证明(15不纠正。他们引入了一个更一般的非线性发病率功能包括形式(15]。

目标细胞种群动态的原因还不是很清楚。许多模型与物流未感染的细胞增殖方面介绍了。例如,Culshaw和阮17)被认为是HIV感染的时滞微分方程模型t细胞与物流功能项。霁et al。18)被认为是病毒感染乙型肝炎病毒感染与物流功能的模型。李和舒19)被认为是在东道主模型与未感染的靶细胞的有丝分裂物流术语和一个有限的细胞内延迟发生率。

在这篇文章中,我们旨在研究下面的模型与物流功能,一般函数,发病率和治愈率: 与初始条件。在这里,,,,定义为早。最大的未感染细胞的增殖率和吗的最大容量是宿主器官的细胞。新感染的发生率。是治疗的速度,也就是说,noncytolytic感染细胞的损失。这个函数满足下列条件:(我) 对所有和;(2) ,尽管,,;(3) 和,尽管,,;(iv) ,尽管,,。

一些病毒动力学模型适合模型(2)。例如,歌曲和诺伊曼20.)被认为是病毒模型和,在那里感染速率常数和吗是一个积极的常数。霁et al。18)被认为是病毒感染乙肝病毒感染模型和。周et al。14)被认为是HIV感染的模型t细胞与。

本文组织如下。节2,我们进行数学分析模型。节3,证明了平衡点的局部稳定性。节4,无感染的全球稳定平衡或感染建立平衡,分别。的条件存在轨道渐近稳定周期解。节5,提供了两个例子来说明我们的定理。结论部分给出6。

2。数学分析

首先,我们显示解决方案的系统(2)是有界的。

定理1。系统的解决方案(2)是积极和有界。

证明。让 计算的推导解决方案的系统(2),我们有 这意味着 在哪里和。很明显,和是有界的。从第三个方程系统(2)的有界性,很容易看到也有界。这就完成了证明。

它可以证明有界集 正不变量对系统(2),是凸的。

计算后的基本繁殖数量(21),我们有基本的繁殖数量

为了使数学,让 和积极的根吗。很明显,和系统(2)有一个无感染平衡当。

定理2。如果和对于任意的感染,那么存在一个独特的平衡。

证明。为了找到感染平衡,集 的收益率 用的表达和通过,我们有 很明显,和 这意味着存在这样。想,相反,存在感染另一个平衡状态。不失一般性,我们假设。自,我们有。这个收益率和。因此,我们得到。另一方面,我们有。这是一个矛盾。因此,独特的感染平衡。

3所示。当地的稳定平衡

在本节中,我们将讨论无感染的局部稳定性的平衡感染和平衡的系统(2),分别。

定理3。如果,无感染平衡局部渐近稳定和变得不稳定吗。

证明。系统的雅可比矩阵(2)是 的一个特征值是。剩下的两个特征值解二次方程 Routh-Hurwitz定理,是局部渐近稳定时。当,有一个积极的特征值和是不稳定的。

定理4。如果和对于任意的,那么唯一的地方病平衡点是局部渐近稳定的。

证明。系统的雅可比矩阵(2)是 的特征方程可以写成 与 自,我们有。因此, 通过直接计算,我们有。然后Routh-Hurwitz定理意味着感染平衡是局部渐近稳定的。

4所示。全球稳定的平衡

在本节中,我们研究无感染的全球稳定平衡感染和平衡的系统(2),分别。

定理5。如果,无感染平衡是全局渐近稳定的。

证明。考虑一个李雅普诺夫函数 计算的时间导数解决方案的系统(2),我们得到 如果旷,从推论5.2 [22),是全局渐近稳定的。同时,为,意味着。很容易显示,最大的不变集是单例。拉萨尔不变的原则,是全局渐近稳定的。

接下来,我们证明感染平衡是全局渐近稳定的。我们需要下面的定理。

定理6。如果,然后系统(2)是均匀持久。

证明。结果遵循从应用定理4.6 (23),与和。我们只需要证明是一种弱反射极。
假设存在一个解决方案这样。当是足够大,我们有吗 在哪里是一个任意小正的常数满足。然后,
考虑以下辅助系统: 系统(23总是有一个简单的均衡。自和连续可微的函数,我们有 对于一些足够小。通过计算,系统(23)有一个独特的积极的平衡,在那里满足根方程 系统的雅可比矩阵(23)是 特征值和的满足 我们得到了和。因此,是局部渐近稳定时。
表示系统(的右手边23)和,分别。我们有 因此,全局渐近稳定的本迪克松标准二维常微分方程。的比较定理,我们有作为对于系统(23)。这是一个矛盾。因此,是一种弱反射极。

通过观察系统的雅可比矩阵(2),并选择矩阵作为 系统(2)是有竞争力的关于定义的偏序象限。

定理7。假设和对于任意的;然后感染平衡的系统(2)是全局渐近稳定的。

证明。让是一个周期解的轨道中。第二个周期线性系统复合方程如下: 在哪里和是第二个添加剂复合矩阵系统的雅可比矩阵(2)。
系统的雅可比矩阵(2)是 和第二添加剂复合矩阵 在哪里
的解决方案系统(30.)成为 现在,定义函数 这是一个系统的李雅普诺夫函数(30.)。然后,我们有 从系统(36),我们有 在哪里和。因此, 在哪里 从第二个和第三个方程系统(2),我们有 因此, 因此, 我们有 这意味着作为。这意味着作为,因此线性系统(34)是渐近稳定周期解是渐近稳定轨道。
根据定理4.1 (24),系统(2)满足Poincare-Bendixson财产。使用定理1,定理4和6,我们所有的条件(定理2.225)满足系统(2)。这就完成了证明。

如果条件在定理4不能满足,会存在一个轨道渐近稳定周期解。我们有下面的定理。

定理8。假设和;然后系统(2)有一个轨道渐近稳定周期解。

证明。的非线性系统(2)分析在。我们得到的结论从定理1.2 (26]。把域名系统(2)的内部积极的象限,只有稳定状态。如果和,然后是不稳定的。定理1.2的耗散度假说(26遵循从定理1和6。系统(2)是有竞争力的和。因此,所有条件(定理1.2的26]感到满意。这就完成了证明。

5。例子

在本节中,我们给出两个例子来展示我们的定理的应用。

例1。考虑以下系统: 这是一个特殊情况的系统(2),让和。该模型研究了霁et al。18]。应用定理5,定理7和8,我们有下面的结果。

定理9。(我)如果,无感染平衡的系统(44)是全局渐近稳定的。(2)如果和感染,那么独特的平衡的系统(44)是全局渐近稳定的。(3)如果和,然后系统(44)存在一个轨道渐近稳定周期解。

例2。考虑以下系统: 这是一个特殊情况的系统(2),让。该模型研究了周et al。14]。由定理5,定理7和定理8,我们得到下面的结果。

定理10。(我)如果,无感染平衡的系统(45)是全局渐近稳定的。(2)如果和对于任意的感染,那么独特的平衡的系统(45)是全局渐近稳定的。(3)如果和,然后系统(45)存在一个轨道渐近稳定周期解。

6。结论

在本文中,我们考虑一种病毒动力学模型与物流功能,通用函数,发病率和治愈率。获得基本的繁殖数量,它决定了全球动力学的模型。如果,无感染平衡全局渐近稳定的。如果,然后病毒仍在宿主,解决方案方法感染平衡或一个周期轨道。我们的模型是一个泛化的几个模型出现在文学作为它的特殊情况。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作是为高级项目专项资金支持的种植在浙江外国语大学(090500442012)。