文摘
在最近的一篇论文阿克巴和Gabeleh(2013),使用的概念性质,证明了一些后期的结果是最好的邻近点的存在性和唯一性可以获得相关的现有版本的不动点理论的结果。沿着同一条直线,在这篇文章中,我们证明这些结果可以获得一个较弱的条件下,即弱财产。
1。介绍和预赛
让和是两个非空的度量空间的子集。通过和,我们表示以下设置: 在哪里。
定义1。让和是一个非空的一个度量空间的子集,让是一个映射。人会说,是最好的距离如果
在[1),作者介绍的概念属性如下。
定义2(见[1])。让是一个非空的一个度量空间的子集与。然后,两人据说有吗财产如果 在哪里,和,。
最近,Zhang et al。2]介绍了弱财产。
定义3(见[2])。让是一个非空的一个度量空间的子集与。然后,两人据说有吗财产如果 在哪里,和,。
很明显,如果一对有财产,那么弱财产。在[2),作者建立了一些例子来证明上面的交流语句是错误的。
在文献中,出现了大量的不动点定理推广,扩展,提高庆祝巴拿赫的收缩原理。其中,我们现在这些结果的两个例子证明他们的版本中最好的邻近点理论可以推导出的后果导致了不动点理论的设置。
让表示所有功能的集合它满足 是连续的,不减少的; 是积极的和。
定理4(见[3])。让是一个完备度量空间一个算子满足 在哪里它满足。然后,有一个独特的定点。
备注5。请注意,定理4如果我们删除的假设仍然是有效的。
定义6。让表示所有功能的家庭它满足 为每一个,在那里是th迭代的。 不减少的。
注7。一个函数,,被称为比较函数或Bianchini-Grandolfi规函数在文献[4]。此外,它很容易看到这样的函数满足的条件
2012年,Romaguera [5]证明了模拟的不动点定理的部分度量空间。很明显,其度量版本仍然是正确的。
定理(见[85])。让是一个完备度量空间一个算子满足 在哪里和 然后,有一个独特的定点。
2。主要结果
我们开始本节以下引理,隐式地出现在[2]。我们这个引理证明纸是自包含的。
引理9。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集。假设持有下列条件:(我) ;(2)这一对有弱财产。然后,设置是关闭的。
证明。我们有由于假设。让是一个序列,这样。我们将证明。事实上,自,我们发现一个序列这样
通过使用弱财产,我们推断
作为是一个柯西序列;的不平等(10),我们得到的序列是一个柯西序列。因此,自关闭,我们推断出对某些。
最后,连续性的度量在一起(9),它给了我们。因此,。
引理10。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集。假设持有下列条件:(我) ;(2)这一对有弱房地产;(3) 是一个连续映射。然后,我们有。
证明。这足以证明,如果,然后。事实上,自,我们可以找到一个序列这样。由于(iii)。自映射是连续的,由引理是关闭的9,我们得出这样的结论:。
说明本文的主要结果之前,我们需要召回的主要结果Sankar Raj [1]。
定理11。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集与。让是一个映射满足 在哪里。还假设有财产和。然后,最好有一个独特的邻近点。
现在,我们论文的主要结果。如果在定理11我们替换房地产的疲软财产,我们得到以下的结果。
定理12。定理11假设下的弱财产,而不是房地产是一个定理的结果4。
证明。假设所有定理的条件11实现的假设下弱吗财产,而不是财产。我们首先注意到是连续的,因为
对于任何。因此,由引理10,我们有。
接下来,我们定义一个操作符通过这样。作为,我们可以发现这样。此外,是一个良好定义的映射。相反,假设存在另一个这样。通过使用这一事实有弱财产,我们推导
,因此,。
现在,我们考虑到运营商。在续集中,我们将证明操作员满足所有定理的假设4。请注意,是一个完备度量空间因为是关闭的。
另一方面,我们有
为。随着对有弱财产,我们推断出从(14),
关于(11),我们得到
对于任何,。
因此,通过定理4,存在唯一的不动点的,也就是说,。根据定义,我们有
因此,是一个最好的邻近点的映射这就完成了存在证据的一部分。
我们将显示独特的最佳距离映射吗。相反,假设是另一个最好的距离映射。因此,我们有
也。此外,考虑到操作者的定义,这意味着
因此,是一个不动点的。定点的独特性,我们推断出,完成了证明。
定理4对定理11因为我们已经使用一个较弱的条件下,即弱的概念财产。
定理13。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集与。让是一个连续映射满足 在哪里和 还假设有弱财产和。然后,最好有一个独特的邻近点。
为了避免重复,我们省略了证明定理14。
评论15。注意,在公式14,我们假设是连续的自收缩条件(20.)出现在定理13并不意味着的连续性。
推论16。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集与。让是一个连续映射满足 在哪里和 还假设有弱财产和。然后,最好有一个独特的邻近点。
我们跳过证明自映射是不减少的,因此我们得到了什么 因此,推论16是定理的结果吗13。
评论17。必然的结果16可以被认为是定理的部分版本的206]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样显著,在写作本文。所有作者阅读和批准了期末论文。
承认
作者感谢评审人员仔细的审查和有用的评论。