文摘

我们构建一个隐式序列适用于近似的解决方案K艾滋病的算子方程的巴拿赫空间。此外,隐含的错误估计和融合显示获得更快的学显式Osilike获得的误差估计和Udomene (2001)。

1。介绍

让是一个真实的巴拿赫空间,让表示规范化对偶映射来定义为 在哪里表示的对偶空间和表示广义对偶配对。众所周知,如果是严格凸的,那么是单值的。我们将表示的二元性单值映射。

让巴拿赫空间。的平滑系数的是函数。

定义为 巴拿赫空间被称为均匀光滑如果 巴拿赫空间据说是严格凸如果两个元素这是线性无关的我们有吗。

让是一个密集的巴拿赫空间的子空间。一个操作员与域被称为连续可逆的范围,,在视为经营者限制是密集的和有一个有界逆。

让巴拿赫空间,让是一个线性无界算子定义在一个密集的领域,,在。一个操作员将被称为正定(pd) [1如果存在一个不断可逆的封闭线性算子与和一个常数这样, 不失一般性,我们假设。

在[1],Chidume Aneke建立扩展的pd运营商Martynjuk [2]和Petryshyn [3,4从希尔伯特空间任意真正的巴拿赫空间。他们证明了下面的结果。

定理1。让是一个真正的分离和严格凸双巴拿赫空间,让是一个pd算子与。假设 然后,存在一个常数这样对所有 此外,运营商关闭了,,方程有一个独特的解决方案对于任何给定的吗。

作为定理的特例1在这()空间,,Chidume Aneke [1]介绍了迭代过程收敛强烈方程的唯一解,在那里和通勤。最近,Chidume和Osilike [5]扩展Chidume的结果和Aneke [1]更一般的真正的分离巴拿赫空间均匀平滑,,通过移除交换性的假设和。后来,Chuanzhi [6]证明了迭代收敛定理近似的解决方案pd算子方程在更一般的可分均匀光滑的巴拿赫空间中。

在[7),Osilike Udomene证明下面的结果。

定理2。让是一个真正的分离和严格凸双,让巴拿赫空间是一个pd算子与。假设对所有。选择任何和定义通过 然后从任意Picard迭代计划生成通过 强烈收敛解的方程。此外,如果表示方程的解决方案,然后

最一般的迭代公式近似解非线性方程和非线性映射的不动点是曼迭代法(8产生一个序列通过递归方法为非线性映射,最初的猜测任意选择。这个方案的收敛结果和相关迭代计划,看,例如,(9- - - - - -15]。

在[16),徐和Ori介绍了隐式迭代的过程曼的修改,生成的,,因为、扩张映射的映射和。他们证明了这一过程的弱收敛扩张映射的公共不动点的有限的家庭在希尔伯特空间的映射。从那时起不动点问题和解决(或近似)基于隐式非线性方程组迭代过程被认为是由许多作者(见,例如,17- - - - - -21])。

这是我们的目的本文介绍隐格式的收敛强烈的解决方案pd算子方程在一个可分离的巴拿赫空间。即使我们的方案是隐式的,获得的误差估计表明,隐格式的收敛速度相比,显式方案通过Osilike和Udomene [7]。

2。主要结果

我们需要以下结果。

引理3(见[10])。如果一致凸,那么存在一个连续不减少的功能这样,对所有和 对所有。

引理4(见[22])。如果存在一个正整数这样对所有,(所有正整数的集合), 然后 在哪里,和。

备注5(见[6])。自不断可逆的,存在一个常数这样

在延续,和是常数中出现(4),(6)和(12),分别。此外,被定义为

使用这些符号,现在我们证明我们的主要结果。

定理6。让是一个真正的分离和严格凸双,让巴拿赫空间是一个pd算子与。假设对所有。让表示方程的解决方案。对于任意的,定义序列在通过 然后,强烈收敛与 在哪里。因此,选择收益率。此外,是独一无二的。

证明。方程的唯一解的存在来自定理1。从(4)我们有 加藤和引理1.1 (23),我们获得 对所有和。现在,从(14),线性事实上,我们获得 这意味着 这 的帮助下(14)和定理1,我们有以下评估: 这给了 此外,不平等(20.)可以写成 此外,从(17)和(22),我们得到 这意味着 在哪里 从(25)和(26),我们有 因此,评论5,我们得到 作为。因此,作为。

在[6),Chuanzhi提供下面的结果。

定理7。让是一个真正的均匀光滑分离巴拿赫空间,让是一个pd算子与。假设对所有。对于任意的和,定义序列通过 在哪里是在 ,不断出现在不平等(6),不断出现在不平等(4), 然后,收敛强烈的独特的解决方案。

然而,它的隐式版本如下。

定理8。让是一个真正的均匀光滑分离巴拿赫空间,让是一个pd算子与。假设对所有。对于任意的和,定义序列通过 然后,收敛强烈的独特的解决方案。

证明。方程的唯一解的存在来自定理1。使用(31日)和(32我们获得 考虑 这意味着 因此,是有界的。让 还从(6),它可以很容易地看到也有界。让 表示;然后。
通过使用(34)和引理3,我们有 在哪里 通过使用(6)和(34)我们获得 因此, 表示 条件(33)保证一个等级的存在这样,尽管。自是连续的,所以(通过条件(33))。现在的帮助下(33),(42),引理4我们从(39), 最后的评论5,作为;这是作为。因为有界逆,这意味着独特的解决方案。这就完成了证明。

备注9。 据估计Martynjuk [(6 - 8)2),我们有 在哪里 为或,。因此, 为我们观察到, 因此,Martynjuk[之间的关系2)和参数收敛,即两者之间和分别如下:
尽管我们的方案是隐式的,不平等(49)的结果表明,Osilike和Udomene7)是我们计划改进,收敛速度更快。

示例10。假设,,,(的解决方案是);然后为显式迭代计划由于Osilike Udomene [7我们有 这意味着 因此 也对我们有隐式迭代方案 这意味着 它可以很容易地看到和,(4)和(6)感到满意。假设和;然后,,,,所以。取;然后从(52)我们已经表1和(54)我们得到表2。

例11。让我们以,,,(的解决方案是);然后为显式迭代计划由于Osilike Udomene [7我们有 这意味着 因此 也对我们有隐式迭代方案 这意味着 它可以很容易地看到和,(4)和(6)感到满意。假设和;然后,,,,所以。取;然后从(57)我们已经表3和(59)我们得到表4。
即使我们的方案是隐式我们观察它收敛强烈的解决方案pd算子方程与速度的误差估计比较明确的错误估计了Osilike和Udomene7]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这篇文章是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达。因此,第一作者承认他感谢域金融支持。本文致力于教授踩踏Mateljevi 'c在他的65岁生日。